2.6.2菱形的判定

2.6菱形,湘教版八年级数学下册,第2章四边形,2.6.2菱形的判定,一组邻边相等,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,平行四边形,菱形的定义：,菱形的性质,菱形,（5）菱形是轴对称图形，两对对角线所在的直线是它的对称轴.,（3）菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；,（2）菱形的对角相等，邻角互补；,（1）菱形的对边平行，四边相等；,（4）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.,S菱形=底边底边上的高=两条对角线乘积的一半,根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：,AB=AD，,四边形ABCD是平行四边形，,四边形ABCD是菱形。,几何语言表示：,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,怎样判定一个四边形是不是菱形？,如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？,图2-52,下面我们来证明这个结论.,AD=BC，AB=DC，,如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.,四边形ABCD是平行四边形.,四边形ABCD是菱形.,图2-53,又AB=AD，,(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形),四条边都相等的四边形是菱形.,由此得到菱形的判定定理1：,AB=BC=CD=DA,四边形ABCD是菱形。,几何语言表示：,例2已知：如图2-54，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，1=2.求证：四边形ABCD是菱形.,图2-54,举例,证明线段BD垂直平分AC，,BA=BC，DA=DC，OA=OC.,OABOCD(AAS),AB=CD.,BA=BC=DA=DC.,四边形ABCD是菱形.(四条边都相等的四边形是菱形),菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？,过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图2-55.,图2-55,如图2-55，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？,你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？,图2-55,我们来进行证明.,又由于DB是线段AC的垂直平分线，,由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.,因此，DA=DC.,从而平行四边形ABCD是菱形.,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.,由此得到菱形的判定定理2：,ACBD,AO=CO,DO=BO;,四边形ABCD是菱形。,几何语言表示：,例3如图2-56，在平行四边形ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的长.,图2-56,AB=AD=5.,解四边形ABCD为平行四边形，,DAO是直角三角形.,DOA=90，即DBAC.,平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）,又AD=5，满足，,1.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；,2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；,3.有四条边相等的四边形是菱形。,菱形的判定定理：,2.一组邻边相等,3.对角线互相垂直,1.四条边相等,五种判定方法,四边形,菱形的判定方法：,1.画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.,提示：作一条线段长为4cm，再作该线段的垂直平分线，以垂足为一点在垂线上各取1.5cm的线段，依次连结两条线段的相邻顶点，所成四边形则为所求的菱形.,2.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作MNBD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.,1.下列三个图形都是菱形吗?为什么？,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。,对角线互相垂直的平行四边形是菱形。,有四条边相等的四边形是菱形。,随堂练习,2.判断,并说明理由.,(1)对角线互相垂直的四边形是菱形.(),(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.(),(3)有两边相等的平行四边形是菱形.(),(4)有一组邻边相等的四边形是菱形.(),(5)有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.(),(6)对角线相等且互相平分的四边形是菱形.(),(7)有一个角是60的平行四边形是菱形.(),3.ABCD的对角线AC与BD相交于点O，（1）若AB=AD，则ABCD是形；（2）若AC=BD，则ABCD是形；（3）若ABC是直角，则ABCD是形；（4）若BAO=DAO，则ABCD是形。,矩,菱,矩,菱,4.已知:ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于E,F.四边形AFCE是菱形吗?为什么?,5.已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PDAC，PCBD，PD、PC相交于点P。,(1)猜想：四边形PCOD是什么特殊的四边形？,(2)试证明你的猜想。,(3)PO与CD有怎样的关系？,四边形PCOD是菱形。,PO与CD互相垂直且平分,6.已知:如图,ABC中,ACB=90,CD是高,AE是角平分线,交CD于F,EGAB,G是垂足,四边形CEGF是菱形吗?为什么?,7.已知，如图，ABC中，ACB=90,BF平分ABC，CD垂直于AB于D，和BF交于点G，GECA.求证：CE和FG互相垂直平分。,8.如图，已知AD平分BAC，DE/AC，DF/AB,AE=5.（1）判断四边形AEDF的形状？（2）它的周长为多少？,9.如图，RtABC中，ACB=90，BAC=60，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。,10.已知如图，在ABC,ACB=90，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EFBC。求证：四边形CDEF是菱形,O,1,2,11.如图，已知在ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF;证明:CEDF.,矩形与菱形,有一角是直角的平行四边形叫做矩形.,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.,性质,边,角,对角线,四个角都是直角,相等且互相平分,互相垂直且平分每一组对角,