数学物理方程--- 3 Bessel 函数ppt课件

本章中心内容,第3章Bessel函数,求解多个自变量的方程,如果别人思考数学的真理像我一样深入持久,他也会找到我的发现。-高斯,第一节、二阶线性常微分方程的幂级数解法,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y+p(x)y+q(x)y=f(x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f(x)称为自由项，当f(x)0时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当f(x)恒为0时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中p(x)、q(x)和f(x)都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含y或y或y，,且每项均为y或y或y的一次项，,例如y+xy+y=x2就是二阶线性非齐次方程.,而y+x(y)2+y=x2就不是二阶线性方程.,定理1如果函数y1与y2是线性齐次方程的两个解，,y=C1y1+C2y2,仍为该方程的解，,其中C1，C2是任意常数.,则函数,定义设函数y1(x)和y2(x)是定义在某区间I上的两个函数，,k1y1(x)+k2y2(x)=0,不失一般性，,考察两个函数是否线性相关，,我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，,事实上，当y1(x)与y2(x)线性相关时，有k1y1+k2y2=0，,其中k1,k2不全为0，,如果存在两个不全为0的常数k1和k2，,使,在区间I上恒成立.,则称函数y1(x)与y2(x)在区间上是线性相关的，否则称为线性无关.,即y1与y2之比为常数.,反之，若y1与y2之比为常数，,则y1=ly2，即y1-ly2=0.,所以y1与y2线性相关.,因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；,例如函数y1=ex，y2=e-x，,所以，它们是线性无关的.,如果不是常数，则它们线性无关.,定理2如果函数y1与y2是二阶线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关的特解，,y=C1y1+C2y2,是该方程的通解，,则,其中C1,C2为任意常数.,定理3如果函数y*是线性非齐次方程的一个特解，,y=Y+y*，,是线性非齐次方程的通解.,Y是该方程所对应的线性齐次方程的通解，,则,求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：,(1)求线性齐次方程y+p(x)y+q(x)y=0的线性无关的两个特解y1与y2，,得该方程的通解Y=C1y1+C2y2.,(2)求线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的一个特解y*.,那么，线性非齐次方程的通解为y=Y+y*.,又Y是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，,故y=Y+y*中含有两个任意常数.,即y=Y+y*是线性非齐次方程y+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解.,这说明函数y=Y+y*是线性非齐次方程的解，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)，,y+p(x)y+q(x)y=f1(x)，,和,y+p(x)y+q(x)y=f2(x),定理4设二阶线性非齐次方程为,的特解，,二、二阶常系数线性微分方程的解法,如果二阶线性微分方程为,y+py+qy=f(x)，,其中p、q均为常数，,则称该方程为二阶常系数线性微分方程.,设二阶常系数线性齐次方程为,y+py+qy=0.,考虑到左边p，q均为常数，,我们可以猜想该方程具有y=erx形式的解，其中r为待定常数.,将y=rerx,y=r2erx及y=erx代入上式，,erx(r2+pr+q)=0.,1.二阶常系数线性齐次方程的解法,由于erx0，因此，只要r满足方程,r2+pr+q=0，,即r是上述一元二次方程的根时，,y=erx就是式的解.,方程称为方程的特征方程.,特征方程根称为特征根.,得,例1求方程y-2y-3y=0的通解.,解该方程的特征方程为r2-2r3=0,它有两个不等的实根r1=-1，r2=3,其对应的两个线性无关的特解为y1=e-x与y2=e3x,所以方程的通解为,例2求方程y-4y+4y=0的满足初始条件y(0)=1，y(0)=4的特解.,解该方程的特征方程为r2-4r+4=0，,求得,将y(0)=1，y(0)=4代入上两式，得C1=1，C2=2，,y=(1+2x)e2x.,其对应的两个线性无关的特解为y1=e2x与y2=xe2x，,所以通解为,因此，所求特解为,它有重根r=2.,例3求方程2y+2y+3y=0的通解.,解该方程的特征方程为2r2+2r+3=0，它有共轭复根,对应的两个线性无关的解为,所以方程的通解为,例4求方程y+4y=0的通解.,解该方程的特征方程为r2+4=0，它有共轭复根r1,2=2i.即a=0，b=2.,对应的两个线性无关的解y1=cos2x.,y2=sin2x.,所以方程的通解为,2.二阶常系数线性非齐次方程的解法,1自由项f(x)为多项式Pn(x).,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Pn(x),其中Pn(x)为x的n次多项式.,当原方程中y项的系数q0时，k取0；,当q=0，但p0时，,k取1；,当p=0，q=0时，k取2.,因为方程中p、q均为常数且多项式的导数仍为多项式，,所以可设式的特解为,其中Qn(x)与Pn(x)是同次多项式，,例5求方程y-2y+y=x2的一个特解.,解因为自由项f(x)=x2是x的二次多项式，,则,代入原方程后，有,且y的系数q=10，取k=0.,所以设特解为,比较两端x同次幂的系数，有,解得,A=1，B=4，C=6.,故所求特解为,例6求方程y+y=x3x+1的一个特解.,解因为自由项f(x)=x3x+1是一个x的三次多项式，,则,代入原方程后，有,且y的系数q=0，p=10，取k=1.,所以设方程的特解为,比较两端x同次幂的系数：,解得,故所求特解为,2自由项f(x)为Aeax型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=Aeax，,其中a，A均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，,其中B为待定常数，,当a不是式所对应的线性齐次方程的特征方程r2+pr+q=0的根时，取k=0；,当a是其特征方程单根时，取k=1；,当是其特征方程重根时，取k=2.,因此，我们可以设的特解,例7求方程y+y+y=2e2x的通解.,解a=2它不是特征方程r2+r+1=0的根，取k=0，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,例8求方程y+2y-3y=ex的特解.,解a=1是特征方程r2+2r-3=0的单根，取k=1，,则,代入方程，得,故原方程的特解为,所以，设特解为,3自由项f(x)为eax(Acoswx+Bsinwx)型,设二阶常系数线性非齐次方程为,y+py+qy=eax(Acoswx+Bsinwx)，,其中a，A，B均为常数.,由于p，q为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数，,正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，,因此,我们可以设有特解,其中C，D为待定常数.,取k=0，,是根时，,取k=1，,代入式，求得C及D.,当a+wi不是式所对应的齐次方程的特征方程的根时，,例9求方程y+3y-y=excos2x的一个特解.,解自由项f(x)=excos2x为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，,则,且a+wi=1+2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程r2+3r1=0的根，,取k=0，所以设特解为,代入原方程，得,比较两端cos2x与sin2x的系数，得,解此方程组，得,故所求特解为,例10求方程y+y=sinx的一个特解.,解自由项f(x)=sinx为eax(Acoswx+Bsinwx)型的函数，且a=0，w=1，,则,代入原方程，得,且a+wi=i是特征方程r2+1=0的根，,取k=1，所以，设特解为,比较两端sinx与cosx的系数，得,故原方程的特解为,而对应齐次方程y+y=0的通解为,Y=C1cosx+C2sinx.,故原方程的通解为,例11方程y+4y=x+1+sinx的通解.,解自由项f(x)=x+1+sinx可以看成f1(x)=x+1和f2(x)=sinx之和，,y+4y=x+1，,y+4y=sinx.,和,方程的特解易求得，,设方程的特解为,的特解.,所以分别求方程,代入，得,3Asinx=sinx.,所以,得原方程的特解,原方程所对应的线性齐次方程为y+4y=0，其通解为,Y=C1cos2x+C2sin2x，,故原方程的通解为,二、变系数线性方程的幂级数解法,定理1考虑下面的二阶变系数线性常微分方程,y+p(x)y+q(x)y=0(3),如果p(x)、q(x)在x0的邻域,解析，即在,邻域可展成Taylor级数，则方程（3）有如下形式的解析解,其中,可由待定系数法求出。,例12求解下列方程,解（1）根据定理，可设解为,将该级数求一阶和二阶导数并将y(x),y(x)和y(x)代入到原方程,或,系数全为零,此即,可得,此题中,得,将上面的结果代入到,，它们都是R上的解析函数。根,据定理，可设,。将次级数带入原方程，可得,或,又,代入到（5），可得,展开可得,系数全为零，可得,代入，可得,练习：用幂级数方法解方程,定理2考虑下面的二阶变系数线性常微分方程,y+p(x)y+q(x)y=0(5),如果（x-x0）p(x)、（x-x0）q(x)在x0的邻域,解析，即在x0最多为p(x)和q(x)的一,阶和二阶极点。则在该去心邻域,方程（5）,有如下形式的级数解析解,其中,，可由待定系数法求出。,设,，二阶线性常微分方程,称为r阶Bessel方程。,r阶Bessel方程可以写成,利用幂级数解法，待定系数，注意到,令,其中,和,为待定常数。,例如,第二节Bessel函数,一、函数,记,为函数。它对任意,有定义，该广义积分收敛。,其具有下面两条性质,证,下面求,，令,并记,利用极坐标变换可得,所以,利用性质还可得到,延拓问题，将定义域延拓到,例如，当,时，定义,则,在区间（-1,0）有定义。类似可以定义,在区间,（-2，-1）上的值，如此继续下去，可以扩充到整个实轴（,去掉负实数点集），其图象如下：,例1计算下列积分,解（1）,二、Bessel方程和Bessel函数,设,，二阶线性常微分方程,称为r阶Bessel方程。,r阶Bessel方程可以写成,利用幂级数解法，待定系数，注意到,令,其中,和,为待定常数。将（3）代入（1），有,有,即,整理，有,有,即,比较,前面的系数，可得,由于,，故有,首先取,则由（4）可得,如果选取,，则有,代入到,得到原方程的一个解,此函数称为r阶Bessel函数，通常记,如果,则由（4）式,可得,如果选取,，则有,代入到,得到原方程的另一个解,此函数称为-r阶Bessel函数，通常记,注1当r为正整数时，例如,，取,此时,。当,时,的系数等于零。,此时求解失效。,特别r=m时为正整数，求,要用到上面的式子。,当r=m，,，注意到，当时，,，所以，,中幂级数部分的系数，当,时为零，在,中带入r=m，就得到,所以，对所有的实数r，,都有意义。,注2记,表达式中幂级数部分的系数为,，直接计算,可得,即,表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大。,类似可证,表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大。,因此，,中幂级数部分是两个在实数轴上的解析函数。,注3注意到,在x=0右连续而,在x=0的邻域无界，,故当r0不等于整数时，,是线性无关的，它们构成,原方程一个基解组。,当r=m时，直接计算可得,令,n阶第一类贝塞尔函数,1n不为整数时，贝塞尔方程的通解,n阶第二类贝塞尔函数（Neumann函数）,n为整数时,2n为整数时，贝塞尔方程的通解,A、B为任意常数，n为任意实数,性质1有界性,性质2奇偶性,三贝塞尔函数的性质,当n为正整数时,性质3递推性,例1求下列微积分,性质4初值,性质5零点,有无穷多个对称分布的零点,的零点趋于周期分布，,性质6半奇数阶的贝塞尔函数,性质7大宗量近似,性质8正交性,贝塞尔函数的模,四、Bessel方程的特征值问题,前面我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子,，带有不同边界条件下的特征值问题。而,，相当于二阶线性微分算子,在一维的情形，当空间变量为,二维时，在直角坐标系下，,.在极坐标下，直接计算,可得,二阶线性微分算子,在圆域上的特征值问题即为,边界条件为,Direclet边界条件，或者,Newumann边界条件.,下面利用分离变量法求解（1）.,令,，并将其带入到（1），有,变形为,即,故有,对（2），有定理,定理对（2），其特征值和特征函数为,将,代入到（3）中，得到,方程（4）结合一定边界条件便是Bessel方程特征值问题。,考虑Direclet边界条件下n阶Bessel方程特征值问题,其中,是一个正常数，n为非负数，,为待定常数，称为（5）,的特征值，而相应于,的非零解称为（5）的特征函数。,对于Bessel方程特征值问题（5），有如下定理,定理1设n为非负整数，,为,的第m个正,零点，即,的正根，,则（5）的特征值和特征函数分,别为,特征函数系,关于权函数,是正交的，且有,其中,证明1.证明特征值非负。,两边积分,由已知,，可得,即,所以可得.,2.求解特征值问题。,当n=0，,时，方程,化为,其解为,利用边界条件,可得,，即,，因此,不是特征值，,即一切特征值都大于0.,当,时，对原方程,作自变量变换,，方程化为,记,则有,n阶Bessel方程的通解为,即,所以,由,，可得,。又由,得,又,，所以,为,的正零点。故有,代入,并略去常数得,特征值,特征函数,3.证明特征函数系,关于权系数,的正交性。,设,，则,分别满足如下方程,和,有,或,积分，得,即,关于权系数的正交性。,4.求