高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件新人教A版选修2_2.ppt

1.6微积分基本定理,主题微积分基本定理一物体沿直线做变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t)(v(t)0)，则物体在时间间隔T1,T2内经过的路程为s.据此回答下列问题(1)s(t)与v(t)的关系是什么？提示：s(t)=v(t).,(2)s用s(t)如何表示？提示：s=s(T2)-s(T1).(3)s用v(t)如何表示？提示：由定积分的概念，可以表示为v(t)dt.,结论：1.函数的原函数如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数,即f(x)=_,通常称F(x)是f(x)的一个_.,F(x),原函数,2.微积分基本定理(1)内容：如果f(x)是区间a,b上的_函数，并且F(x)=f(x)，那么f(x)dx=_.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做_.,连续,F(b)-F(a),牛顿莱布尼,茨公式,(2)表示：为了方便，常常把F(b)-F(a)记成_，即f(x)dx=_=_.,F(b)-F(a),【微思考】1.如果f(x)dx=g(x)dx,则一定有f(x)=g(x)成立吗？提示：不一定.例如f(x)=2x,g(x)=3x2满足f(x)dx=g(x)dx=1，但f(x)g(x).,2.微积分基本定理中,满足F(x)=f(x)的函数F(x)唯一吗?提示：不唯一.比如f(x)=2x时F(x)=x2+c,c为任意常数.,3.利用微积分基本定理求定积分的关键是什么？提示：找到满足F(x)=f(x)的函数F(x).,【预习自测】1.f(2x)dx等于()A.f(b)-f(a)B.f(2b)-f(2a)C.f(2b)-f(2a)D.2f(2b)-f(2a),【解析】选C.f(2x)dx=f(2b)-f(2a).,2.2xdx等于()A.6B.5C.4D.3【解析】选D.,3.已知自由下落的物体的运动速度v=gt(g为常数)，则当t1,2时，物体下落的距离为()A.gB.gC.gD.2g【解析】选C.物体下落的距离,4.(2017双鸭山校级期中)已知(3x2+k)dx=16，则k=()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.由微积分基本定理可得，(3x2+k)dx=(x3+kx)=23+2k=16.所以k=4.,类型一简单函数的定积分【典例1】(1)若s1=x2dx，s2=dx,s3=exdx,则s1,s2,s3的大小关系为()A.s1s2s3B.s2s1s3C.s2s3s1D.s3s2s1,(2)求下列定积分的值：(2x+3)dx；(1-t3)dt；(t+2)dx；(cosx+ex)dx.,【解题指南】(1)分别求出三个定积分值再比较.(2)根据微积分基本定理，关键求相应被积函数的一个原函数.,【解析】(1)选B.因为(x3)=x2,(lnx)=,(ex)=ex,所以s2s1s3.,【方法总结】微积分基本定理应用的理解(1)找原函数：利用微积分基本定理计算定积分f(x)dx的关键是找到使F(x)=f(x)成立的F(x)，通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，求出F(x).,(2)检验：求导数运算与求原函数运算互为逆运算.为避免出错，在求出F(x)后，可利用F(x)=f(x)对F(x)进行求导验证.,【拓展】奇函数、偶函数的定积分的性质(1)若f(x)是偶函数时，f(x)dx=2f(x)dx.(2)若f(x)是奇函数时，f(x)dx=0.,【巩固训练】计算下列定积分.(1)(1+x+x2)dx.(2)(3x2-2x+5)dx.(3)(cosx-sinx)dx.(4),【解析】(1),类型二分段函数的定积分【典例2】(1)(2017德州高二检测)计算：(|x+1|+|1-x|)dx=_.(2)求函数f(x)=在区间0，3上的定积分.,【解题指南】(1)把被积函数化为分段函数，利用定积分的性质转化为多个定积分的和.(2)分段函数在区间a,b上的积分可分成几段积分的和的形式，标准是使每一段上的函数表达式确定.,【解析】(1)由于y=|x+1|+|1-x|=所以原式=答案：20,(2)f(x)在0，3上的积分可按照f(x)的分段标准，分成0,1,1,2,2,3三段的积分的和.由积分性质知,【延伸探究】1.本例(1)中积分区间改为0,3,其他条件不变，求定积分的值.,【解析】y=|x+1|+|1-x|=答案:10,2.本例(1)中被积函数改为f(x)=|x+1|-|x-1|，其他条件不变，求定积分的值.,【解析】因为f(x)=|x+1|-|x-1|=答案：0,【方法总结】求分段函数定积分的步骤(1)根据分段函数和定积分的性质，把所求定积分写成若干个定积分的和.(2)分别应用微积分基本定理求出各个定积分的值.(3)把各个值相加得到结果.,【补偿训练】求曲线y=3-2x与坐标轴及直线x=1和x=2所围成的图形面积.,【解析】设围成图形面积为S，S=3-2xdx=3-2xdx+3-2xdx=(3-2x)dx+(2x-3)dx=(3x-x2)+(x2-3x)=.,类型三定积分的综合问题【典例3】(1)若f(x)=x2+2f(x)dx,则f(x)dx=()A.-1B.-C.D.1(2)设函数f(x)=ax2+c(a0)，若f(x)dx=f(x0)，0x01,则x0的值为.,【解题指南】(1)用m表示f(x)dx，则被积函数f(x)可用m表示，从而可求解.(2)用方程思想加以解决.,【解析】(1)选B.设f(x)dx=m，则f(x)=x2+2m,m=f(x)dx=(x2+2m)dx,答案：,【方法总结】求定积分的常用方法(1)定积分的定义法分割、近似代替、求和、求极限.(2)利用定积分的几何意义.(3)微积分基本定理通过F(x)=f(x),求F(x)进而求解.,【巩固训练】1.(2017自贡高二检测)设=dx，tan=3，则tan(+)=.,【解析】因为=dx表示y=在0，1的积分，即圆面积的，所以=，所以tan(+)=答案：-2,2.已知f(x)=ax2+bx+c(a0)，且f(-1)=2，f(0)=0，f(x)dx=-2，求a，b，c的值.,【解析】由f(-1)=2，得a-b+c=2，又f(x)=2ax+b，所以f(0)=b=0，而f(x)dx=(ax2+bx+c)dx=所以