高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算课件苏教版选修2_1.ppt

第3章3.2空间向量的应用,3.2.3空间的角的计算,1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤.,学习目标,知识梳理自主学习,题型探究重点突破,当堂检测自查自纠,栏目索引,知识梳理自主学习,知识点一两条异面直线所成的角,(1)定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，则a与b所成的锐角(或直角)叫做a与b所成的角.(2)范围：两条异面直线所成角的取值范围是,(3)向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为，则a，b所成角的余弦值为cos|cos|.,(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角.(2)范围：直线和平面所成角的取值范围是0.(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有,知识点二直线与平面所成的角,知识点三二面角,(1)二面角的取值范围：0，.(2)二面角的向量求法：若AB，CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量与的夹角.设n1、n2是二面角-l-的两个面，的法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.,返回,例1如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点.求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值.,题型探究重点突破,题型一两条异面直线所成角的向量求法,解析答案,反思与感悟,解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，,反思与感悟,则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，,建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围.,反思与感悟,跟踪训练1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB上的动点.若异面直线AD1与EC所成角为60，试确定此时动点E的位置.,解析答案,解以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.,设E(1，t,0)(0t2)，,所以t1，所以点E的位置是AB的中点.,题型二直线与平面所成角的向量求法,解析答案,反思与感悟,解析答案,反思与感悟,解建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面AMC1的法向量为n(x，y，z).,反思与感悟,设BC1与平面AMC1所成的角为，,借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系.,反思与感悟,跟踪训练2如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.,解析答案,(1)证明MN平面PAB；,又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.,解析答案,(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.,(2)解取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，,设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则,例3如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；,题型三二面角的向量求法,解析答案,(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.,因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以，AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，且CKACC，所以BF平面ACFD.,反思与感悟,解析答案,(2)求二面角BADF的平面角的余弦值.,反思与感悟,(2)解如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形.,取BC的中点O，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.,反思与感悟,设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2).,反思与感悟,设n1，n2分别是平面，的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面所成角的大小，如图.,反思与感悟,用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.(2)求法向量：在建立的空间直角坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角，cos.(4)定值：若二面角为锐角，则为；若二面角为钝角，则为.,跟踪训练3在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.,解析答案,返回,(1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；,解析答案,(1)证明设FC中点为I，连接GI，HI，在CEF中，因为点G是CE的中点，所以GIEF.又EFOB，所以GIOB.,在CFB中，因为H是FB的中点，所以HIBC，又HIGII，所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI，所以GH平面ABC.,解析答案,(2)连接OO，则OO平面ABC.又ABBC，且AC是圆O的直径，所以BOAC.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.,返回,设m(x，y，z)是平面BCF的一个法向量.,返回,因为平面ABC的一个法向量n(0，0，1)，,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为_.,解析答案,30,1,2,3,4,5,2.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为_.,二面角的大小为45或135.,45或135,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,解析建立如图所示的空间直角坐标系，,即AB1与C1B所成角的大小为90.,答案90,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_.,解析设正方体的棱长为1，建系如图.,则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).,解析答案,1,2,3,4,5,5.在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知DADC4，DD13，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为_.,解析答案,解析如图，建立空间直角坐标系.,由已知得A