高二数学二次函数苏教版知识精讲VIP

高二数学高二数学二次函数二次函数苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 二次函数 教学目标： 1 要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法， 二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用 2. 能利用二次函数的零点研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最 值 教学重点： 二次函数性质的运用。 教学难点： 二次函数性质与分类讨论的思想方法。 二、知识点归纳 二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联 系 1 二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，cbxaxy 2 a b x 2 顶点坐标是。 a bac a b 4 4 2 2 ， 2. 二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法 有三种形式，即，和（一般式）cbxaxxf 2 )()()()( 21 零点式xxxxaxf （顶点式） nmxaxf 2 )()( 3. 根的分布问题：一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题， 用图象求解，有如下结论：令 f（x）=ax2+bx+c （a0） （1）x1，则 0)( )2/( 0 af ab 0)( )2/( 0 af ab （3）x1，x2，则（4）x1 （0（0（0（1 时方程有 2 个不等的根； （2）当 0t1 时方程有 4 个根； （3）当 t=1 时，方程有 3 个根。 故当 t=0 时，代入方程，解得 k=0，此时方程有两个不等根 t=0 或 t=1，故此时原 方程有 5 个根；当方程有两个不等正根时，即，此时方程有两根且均小于 1 1 0 4 k 大于 0，故相应的满足方程的解有 8 个，即原方程的解有 8 个；当时，方 2 1xt 1 4 k 程有两个相等正根 t，相应的原方程的解有 4 个；故选 B。 1 2 例 2. 已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函2x x4(0, 1) 数的解析式。 解：解：二次函数的对称轴为，2x 可设所求函数为， 2 ( )(2)f xa xb 又截轴上的弦长为，( )f xx4 过点和，又过点，( )f x(22,0)(22,0)( )f x(0, 1) ， ， 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 40 21 ab ab 1 2 2 a b 2 1 ( )(2)2 2 f xx 例 3. 已知函数的最大值为，求的值。 2 1 sinsin 42 a yxax 2a 分析：分析：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题。sintx 解：解：令，sintx 1,1t ，对称轴为， 22 1 ()(2) 24 a ytaa 2 a t （1）当，即时，得或11 2 a 22a 2 max 1 (2)2 4 yaa2a （舍去） 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3a （2）当，即时，函数在上单调递增，1 2 a 2a 22 1 ()(2) 24 a ytaa 1,1 由，得。 max 11 12 42 yaa 10 3 a （3）当，即时，函数在上单调递1 2 a 2a 22 1 ()(2) 24 a ytaa 1,1 减， 由，得（舍去） 。 max 11 12 42 yaa 2a 综上可得：的值为或。a2a 10 3 a 变变 ：若求函数的最小值要分几种情况讨论。 例 4. 已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值 22 ( )(21)2f xxaxaxa 范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解法一：解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根x 22 (21)20 xaxa 为 12 ,x x 则或，得。 12 0 x x 12 12 0 0 0 x x xx 9 2 4 a 解法二：解法二：由题知或，得。(0)0f (0)0 (21) 0 2 0 f a 9 2 4 a 解法三：解法三：当函数与非负轴没有交点时， 22 ( )(21)2f xxaxax 则或，得或。0 (0)0 (21) 0 2 f a 2a 9 4 a 函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为 22 ( )(21)2f xxaxaxa 。 9 2 4 a 例 5. 设二次函数，已知不论 ， 为何实数，恒有),()( 2 Rcbcbxxxf . 0 )cos2(0)(sinff和 （1）求证：; 1 cb （2）求证：; 3c （3）若函数的最大值为 8，求 b，c 的值。)(sinf 解：解：（1）由产生 b+c，只要消除差异，这可令),()( 2 Rcbcbxxxfx . 1 x 1sin1(sin)0,(1)0.ff 且恒成立 12cos3(2cos)0,(1)0.ff且恒成立 从而知. 1 . 0 1. 0) 1 (cbcbf即 （2）由12cos3(2cos)0,(3)0.ff且恒成立 即 ，930bc93()20bcc 又因为 . 3 . 1 ccb （3） ,) 2 1 () 2 1 (sinsin)1(sin)(sin 222 c c c ccf 当 . 8 )(sin ,1sin max f时 由 解得 . 0 1 , 81 cb cb . 3 , 4cb 点评点评 注意：且， 这是用不等式证明等式的有效方法，很值得重ba baba 视。 例 6. （2020 年上海春卷）设函数.54)( 2 xxxf （1）设集合. 试判断集合和), 64, 02,(,5)(BxfxAA 之间的关系，并给出证明；B （2）当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的2k5, 13ykxk)(xf 上方. 解：解： （1） 方程的解分别是和，由于在5)(xf4, 0,142 142 )(xf 和上单调递减，在和上单调递增，因此1,(5, 22, 1), 5 . ,1424, 0142,A 由于. AB , 2142, 6142 （2）解法一：解法一：当时，.5, 1x54)( 2 xxxf )54()3()( 2 xxxkxg)53()4( 2 kxkx ， 4 3620 2 4 2 2 kkk x . 又， , 2k1 2 4 k 51x 当，即时，取，1 2 4 1 k 62 k 2 4k x . min )(xg6410 4 1 4 3620 2 2 k kk ，064)10(,64)10(16 22 kk 则. 0)( min xg 当，即时，取， .1 2 4 k 6k1x min )(xg02 k 由 、可知，当时，.2k0)(xg5, 1x 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方. 5, 1)3( xky)(xf 解法二：解法二：当时，.5, 1x54)( 2 xxxf 由 得， , 54 ),3( 2 xxy xky 0)53()4( 2 kxkx 令 ，解得 或， 0)53(4)4( 2 kk2k18k 在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点5, 12k)3(2xy)(xf ； 当时，的图像与函数的图像没有交点。 )8, 1(18k)3(18xy)(xf 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直)3( xky)0, 3(2k)3( xky 线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，)3(2xy)0, 3(5, 1 的图像位于函数图像的上方。 )3( xky)(xf 例 7. 是否存在实数 a， b， c 使函数 f(x)=ax2+bx+c (a0)，的图像经过 M(-1，0)，且 满足条件“对一切实数 x，都有 xf(x) ” 2 1 2 x 解：解：因为图像经过 M(-1，0)，所以 a-b+c=0 又因为 xf(x) 2 1 2 x 当 x1 时，1f(1) 1 ， 所以 f(1) =1 即 a+b+c=1 从而 所以 b= 1 0 cba cba ac 2 1 , 2 1 xax2+对一切实数 x 恒成立ax 2 1 2 1 2 1 2 x 即的解集为 R 2 2 21 20 (1 2 )20 axxa a xxa a=0 或 a=，显然不成立 2 1 所以 a=c=，b= 0) 14( 014 2 2 2 1 a a）（ 4 1 2 1 例 8. 已知 a 是实数，函数，如果函数在区间 axaxxf322 2 xfy 上有零点，求 a 的取值范围.1 , 1 解：解：若 ， ，显然在上没有零点， 所以 .0a ( )23f xx1 , 10a 令 ， 解得 2 48382440aaaa 37 2 a 当 时， 恰有一个零点在上； 37 2 a yf x1,1 当，即时，在上也恰有 05111aaff15a yf x1,1 一个零点. 当在上有两个零点时， 则 yf x1,1 或 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 2 0 82440 1 11 2 10 10 a aa a f f 解得或5a 2 73 a 综上所求实数的取值范围是 或。a1a 2 73 a 例 9. 设函数 f(x)=|xa|ax，其中 0a1 为常数。 （1）解不等式 f(x)0； （2）试推断函数 f(x)是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由。 解：解：（1）由 f(x)0 得，|xa|ax，即axxa0，求实数 p 的取值范围。 14. （12 分）已知函数 f（x）=ax2+（2a1）x3 （a0）在区间3/2，2上的最大值为 1，求实数 a 的值。 15. （14 分） （2020 年上海理）对定义域分别是 Df、Dg的函数 y=f（x） 、y=g（x） ， 规定： 函数 ( )( ) ( )( ) ( ) fg fg fg f xg xxDxD h xf xxDxD g xxDxD ，当且 ，当且 ，当且 （1）若函数 f（x）=，g（x）=x2，xR，写出函数 h（x）的解析式： 1 1 x （2）求问题（1）中函数 h（x）的值域； （3）若 g（x）=f（x+） ， 其中 是常数，且 0，请设计一个定义域为 R 的函 数 y=f（x） ，及一个 的值，使得 h（x）=cos4x，并予以证明。 试题答案试题答案 1. C2. A3. A4. C5. D6. D 7. 19 8. 3 , 2 9. k12 10. （3，2） 11. 解：（1）m=2 时，交点为（1/4，0） ， （2）m2 时， （i）一正一负， （m2） （2m6）0， 2m3， （ii）两负，1m2， （iii）一根为零，一根为负，无解， 综合得 1m0，即 2p2p10，或 2p2+3p90， 1/2p1 或3p3/2， 301 时， 则 h（x）4，其中等号当 x=2 时成立 若 x1 时， 则 h（x） 0，其中等号当 x=0 时成立 函数 h（x）的值域是（-，