高二数学单元复习人教版知识精讲

高二高二数学数学单单元元复习复习人人教教版版 【同步同步教教育信息育信息】 一. 本周教学内容： 单元复习 【教学目标】 1. 理解并掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义，并会应用于解题过程中； 2. 理解并掌握椭圆，双曲线，抛物线的标准方程及几何性质，并会应用。 【能力训练】 掌握求轨迹的常用方法直译法、定义法、中间变量法； 熟练掌握待定系数法求圆锥曲线的方程，进一步巩固数形结合的思想方法，落实坐标 法及方程思想。 【教学过程】 一. 知识结构 圆 锥 曲 线 椭 圆 椭圆的定义 标准方程 几何性质 第二定义 双曲线 双曲线的定义 标准方程 几何性质 抛物线 综合应用 第二定义 几何性质 标准方程 抛物线定义 统一定义 二. 思想方法总结 1. 待定系数法是求椭圆、双曲线、抛物线方程的一个基本方法。 2. 直线和圆锥曲线的位置关系，可转化为直线和圆锥曲线的方程的公共解问题，体现了 方程的思想。数形结合也是解决直线和圆锥曲线位置关系的常用方法。 3. 一些最值问题常用函数思想，运用韦达定理求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方 法。 4. 坐标法是研究曲线的重要方法，学会如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及 用坐标法证明简单的几何问题等。 三. 重点知识提要 1. 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程（各取其中一种）和图形、性质如下表：） 椭 圆 双 曲 线 抛 物 线 几何条件 与两个定点的距离的 和等于常数 与两个定点的距离的 差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定 直线的距离相等 标准方程 x a y b ab 2 2 2 2 1 0 () x a y b ab 2 2 2 2 1 00 ()， ypx p 2 2 0 () 图形 顶点坐标 （a，0） （0，b） (a，0) （0，0） 对称轴 x 轴，长轴长 2a； y 轴，短轴长 2b x 轴，实轴长 2a； y 轴，虚轴长 2b x 轴 焦点坐标 () c cab ，0 22 () c cab ，0 22 () p 2 0， 离心率 e c a 01e e 1 e 1 准线方程 x a c 2 x a c 2 x p 2 渐近线方程 y b a x 2. 椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次的，所以它 们属于二次曲线。 （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的 点的集合（或轨迹），这个定点是它们的集点，定直线是它们的准线。只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线。 （3）这三种曲线都是可以由平面截圆锥面得到的截线（见章头图）。 在宇宙间运动的天体，如行星、彗星、人造卫星等，由于运动速度的不同，它们的 轨 道有的是椭圆，有的是抛物线，有的是双曲线（图1） 图 1 四. 例题分析： 例 1. 选择题： 1 10036 110 22 . 椭圆上的点 到它的左准线的距离是，那么点 到它右焦点的 xy PP 距离为（ ） A. 15B. 12C. 10D. 8 2. 已知 A（0，-5），B（0，5），|PA|-|PB|=2a，当a=3 和 5 时，点 P 的轨迹为（ ） A. 双曲线和一条直线； B. 双曲线和两条射线； C. 双曲线一支和一条直线； D. 双曲线一支和一条射线。 3175 2 2 2 2 1212 .,设点 为双曲线上一点， 、为它的焦点，如果P x a y b FFPF F PF F 21 15，则双曲线的离心率为（） ABCD. 4 3 3 6 2 23 的420 2 112233 .(,)(,)(,)抛物线，（）上有，三点， 是它ypxpA xyB xyC xyF 焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则（ ） A. x1，x2，x3成等差数列； B. y1，y2，y3成等差数列； C. x1，x3，x2成等差数列； D. y1，y3，y2成等差数列。 解：解：11068 4 5 .,由椭圆方程知：abce c a 由椭圆第二定义 | | PF PF 1 1 10 4 5 8 由椭圆第一定义| |PFPFaPF 122 22012 点 到它的右焦点的距离为，选（ ）。PB12 解：解：2. 双曲线第一定义： 平面内：动点 M，定点 F1，F2，若|MF1|-|MF2|=2a （1）当 2a|F1F2|时，动点没有轨迹。 特别： |MF1|-|MF2|=2a，且（1）成立时，为右一支 |MF2|-|MF1|=2a，且（1）成立时，为左一支 210326caa，时， 22acP， 点轨迹为上一支 aaacP521022时，点轨迹为一条射线。 选（ ）。D 解：解：3. 设|PF1|=m，|PF2|=n ncmc275215sinsin ， nmca275152(sinsin) c a C 1 7515 2 sinsin ，选 。 y P n m x F1 F2 75 解：解：4. 由抛物线定义：|AF|=|AA| BFBBCFCC 2| | |BFAFCF 2| | |BBAACC 又，|AAx p BBx p CCx p 123 222 2 222 2 213213 ()x p x p x p xxx 选 。A y x C B A C B A F p () 2 0， x p 2 例 2. 填空题： 值1925225 22 12 . 椭圆上一点 到两焦点、的距离之积为 ，当 取最大xyPFFmm 时，PF1F2的面积为_。 右210040 2 2 2 2 . 双曲线（，）的一个焦点为 （ ， ），过双曲线的 x a y b abF 顶点作垂直于 x 轴的直线交渐近线于 A、B 两点，则AOB 的最大面积为_。 3. 设抛物线 y2=2px（p0）上各点到直线 3x+4y+12=0 的距离的最小值为1，则 p 的值为 _。 4. 与圆 x2+y2=1 外切，且和 x 轴相切的动圆圆心 M 的轨迹方程为_。 解：解：1 259 153 22 . 原方程化为：， xy ab |(| | |) PFPF PFPF 12 122 2 25 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立 点 P 只有在 y 轴上时等号成立。 即 m25，m 取最大值 25。 此时，Sc bb c PF F 1 2 1 2 23412 y P 3 x F1 O F2 5 解：解：2. ABxa的方程为 xa y b a x Aa b （）, Sb aa b AOB 1 2 2 又，cbca4 22 Sabaaaa aa AOB 1616 16 2 8 222 22 2 ()() 当且仅当，即时等号成立。aaa 22 162 2 AOB的最大面积为 。8 y y b a x A x O a F（4，0） B x=a 解：解：3. 设抛物线上一点 P（x，y） 则点 P 到 3x+4y+12=0 的距离等于 1 的直线方程为：3x+4y+7=0 ypx xy x p yy 2 2 2 3470 3 2 470 消去 ： 1628 3 2 0 21 8 () p p y x 4 -4 解：解：4. 设两圆的切点为 A，M（x，y） | |AMMN | | |MOMNy 1 xyy 22 1 | | 化简得：xy 2 21| | 动圆圆心的轨迹方程为：Mxy 2 21| | y M A x O 1 N 例 3. ABC 的三边 a、b、c（abc）成等差数列，两顶点 A、C 的坐标分别为 A（- 1，0），C（1，0）求ABC的重心的轨迹方程。 分析：分析：由已知：2b=a+c 即 2|AC|=|BA|+|BC|=4 由椭圆定义可知：点 B 的轨迹是以定点A、C 为焦点的椭圆，方程为 x a y b 2 2 2 2 1 又24213 2 aacb 点 的轨迹方程为：，（）B xy x 22 43 120 设 （ ， ），GxyB xy() 11 又分得比GBO 2 x xxx xx 121 1 13 3 y yyy yy 121 1 13 3 点 （ ， ）在上Bxy xy 11 22 43 1 ()()3 4 3 3 1 22 xy 即， 9 4 31 2 3 0 2 2 x yx() y B（x1，y1） G（x，y） x A（-1，0） 0 C（1，0） 注：这是典型的利用中间变量法把所求的轨迹上的点（x，y）通过中间变量(x1，y1)转 移到已知曲线上，通常这种方法也叫转移法。（或叫代入法）。 【模模拟试题拟试题】 1. 抛物线 y2=4x 经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ） A yxB yx.() 22 121 C yxD yx. 22 1 2 21 2. 当 从 0到 180变化时，曲线x2+y2cos=1 怎样变化。 点3 916 1 22 1212 . 双曲线的两个焦点、，若点 在双曲线上，且，求 xy FFPPFPF P 到 x 轴的距离。 试题试题答案答案 1. 解：解：设过焦点的直线为 y=k(x-1) yk x yx y () 1 4 2 消去 k xkxk 2222 240() 设 （ ， ）， （，）AxyBxy 1122 xx k k 12 2 2 24 设弦 AB 的中点为 M（x，y） x xxk k yk x 12 2 2 2 2 1() yk k kk () 2 2 2 1 2 即消去 得 x k k y k kyx 2 2 2 2 2 21() y A（x1，y1） M（x，y） x O F(1，0) B（x2，y2） 2. 解：解：（ ）当时，方程为：表示圆101 22 xy （ ）当时，209001 1 1 cos cos 方程：表示焦点在 轴上的椭圆x y y 2 2 1 1 cos （ ）当时，方程为，表示平行 轴直线3901 xy （ ）当时，49018010 1 1 cos cos 方程表示焦点在 轴上双曲线。x y x 2 2 1 1