高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质人教版知识精讲

高二数学高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质二面角、两平面垂直的判定和性质人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 二面角、两平面垂直的判定和性质 二. 重点、难点： 重点： 1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线 叫二面角的棱。 二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫直二面 角。 2. 作二面角的平面角常有以下方法： 若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形） ，可根据特殊图形的 性质作出平面角。 若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是 二面角的平面角，称为垂面法。 若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角， 称为三垂线法。 由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二 面角的平面角。 当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用 上述方法之一作出平面角。 3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。 作用：用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。 两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。 4. （1）两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两 个平面互相垂直。两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是 找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以 转化为证线面垂直。 （2）性质定理 如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直 于另一个平面。简言为：“面面垂直，则线面垂直” 。 难点： 1. 二面角平面角的作法与计算。 2. 判定定理和性质定理的应用。 【典型例题典型例题】 例 1. 如图。AC 为圆 O 的直径，B，D 为圆上在 AC 两侧的两个点，SA平面 ABCD，连 SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。 解：解：SA平面 ABCD。 过 SA 的平面垂直于平面 ABCD。 面 SAB，面 SAC，面 SAD 都与平面 ABCD 垂直。 又CDAD。 CDSD（三垂线定理） 。CD面 SAD。 经过 CD 的平面垂直于平面 SAD。 面 CDS，面 ACD 分别垂直于平面 SAD。 同理，面 CBA，面 SBC 分别垂直于平面 SBA。但其中面 SAD面 ACD，面 CAB面 SAB。 在第一种情况中已得到。 故共有五对平面互相垂直。 例 2. 在四面体 ABCD 中，DA面 ABC，ABC90。若，aABaAD ，求二面角的正弦值。aAC3ADCB 证明：证明：过点 A 作 AECD 于 E，AFBD 于 F 如图。 AD面 ABC ADBC 又ABC90。 BCAB BC面 DAB。 DB 是 DC 在面 ABD 内的射影。 AFDB AFCD（三垂线定理） 。 又AECD CD平面 AEF。 CDEF CD面 AEF CD面 BCD 面 AEF面 BCD 由 EFCD，AECD AEF 为二面角 BDCA 的平面角 在中ADBRta 2 2 AFa2BD 在a a aa AEaCDADCRt 2 3 2 3 2 中， 又AFDB，AFCD，BDCDD AF平面 DBC， 例 3. 在 60的二面角 MaN 内有一点 P，P 到平面 M、平面 N 的距离分别为 1 和 2， 求点 P 到直线 a 的距离。 分析：分析：设 PA、PB 分别为点 P 到平面 M、N 的距离，过 PA、PB 作平面 ，分别交 M、N 于 AQ、BQ。 同理，有 PBa， PAPBP， a 垂直于面 PAQB 于 Q 又 AQ、BQ 平面 PAQB AQa，BQa。 AQB 是二面角 MaN 的平面角。 AQB60 连 PQ，则 PQ 是 P 到 a 的距离，在平面图形 PAQB 中，有 PAQPBQ90 P、A、Q、B 四点共圆，且 PQ 是四边形 PAQB 的外接圆的直径 2R 在PAB 中， PA1，PB2，BPA18060120，由余弦定理得 AB214212cos1207 由正弦定理： 评注：评注：本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。 例例 4.4. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是棱 AA1的中点。求截面 MB1D 与底面 ABCD 所成二 面角的大小。 分析：分析：如图。面 MB1D 与面 ABCD 只相交于点 D，因此，要求二面角的大小，需先找或 作出它的棱。由公理 2 及二面角棱的定义知，这条棱必过点 D。只要再找出两个面的另一 个交点即可。 解：解：M 是 A1A 的中点，MAB1B 是直角梯形。 延长其腰 B1M 与 BA 必相交于一点 N。 MB1面 B1DM，NMB1。 N面 B1DM。 同理：N面 ABCD。 连结 ND 即为二面角的棱。 连结 DB，NABAAD，ADBADN45。 BDN90。 BDND。 B1B平面 ABCD。 NDB1D（三垂线定理）。 B1DB 是所求二面角的平面角。 在 RtB1DB 中， 【疑难解析疑难解析】 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形。 1. 定义用于证明两个平面垂直，即它们组成的二面角是直二面角，首先作出它的一个平 面角，然后证出这个平面角是直角。 2. 判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个 平面的依据。 3. 从两个平面垂直的判定定理和性质定理中，可看出平面与平面的垂直问题仍可转化为 直线与平面的垂直问题即从线面垂直可得出面面垂直。反之，由面面垂直又可得出线面 垂直所以两个平面垂直的性质定理 1 也可看作是直线与平面垂直的判定定理。 当面面垂直时，作辅助线一般作交线的垂线，当线面垂直时可利用三垂线定理求二面 角、求线面角。 二面角的求法： 求解过程：1. 作出二面角 2. 认定（证明） 3. 计算 4. 结论 作二面角最重要的方法是应用三垂线定理或用定义。无论用三垂线定理还是用定义作 二面角都是利用二面角所在的平面垂直棱这一性质，先找棱的一条垂线（或者作一垂线） 进一步作出二面角。 【模拟试题模拟试题】 1. 已知三棱锥 SABC，ASBASC45，BSC60，求证：侧面 BSA侧面 CSA。 2. 如图，PC平面 ABC，ABBCCAPC，求二面角 BPAC 的平面角的正切值。 3. 在 60二面角 MaN 内有一点 P，P 到平面 M、平面 N 的距离分别为 1 和 2，求点 P 到直线 a 的距离。 4. 如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，EBB1，截面 A1EC侧面 AC1。 （）求证： BEEB1；（）若 AA1A1B1；求平面 A1EC 与平面 A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。注 意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（）的完整证明，并解答（） 。 （）证明：在截面 A1EC 内，过 E 作 EGA1C，G 是垂足， _EG侧面 AC1；取 AC 的中点 F，连结 BF，FG，由 ABBC 得 BFAC， _BF侧面 AC1；得 BFEG，BF、EG 确定一个平面，交侧 面 AC1于 FG。 _BEFG，四边形 BEGF 是平行四边形，BEFG， _FGAA1，AA1CFGC， _ 5.5. 拿一张边长为 10cm 的正三角形纸片 ABC，以它的高 AD 为折痕，折成一个二面角，如 图所示。 （1）指出这个二面角的面、棱、平面角； （2）若二面角 BADC 为直二面角，求 B、C 两点的距离； （3）求 AB 与面 BCD 所成的角； （4）若二面角 BADC 的平面角为 120，求二面角 ABCD 的余弦值； （5）设二面角 ABCD 的大小为 ，试推导ABC 与DBC 面积关系式。 6. 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，E、F、G 分别是 AB、C1D1、B1C1的中点，求：（1）直线 AB 与平面 A1ECF 所成的角；（2）求平面 AFG 和平面 AB1D1所成的角；（3）求二面角 B1A1CC1。 试题答案试题答案 1. 分析：分析：利用所成二面角是直二面角。 证明：证明：过 B 作 BDSA 于 D，过 D 在平面 SAC 内作 EDSA 交 SC 于 E，连 BE，BDE 为二面角 BASC 的平面角 A B E D C S ASCASB45 EDSDBD 设 SDa，则 SBSEa2 在 BSE 中 BSE60BEa2 在 BDE 中 222 DBEDBE BDE90 二面角 BASC 为直二面角 侧面 BSA侧面 CSA 2. 分析：分析：由 PC平面 ABC，知平面 ABC平面 PAC，从而 B 在平面 PAC 上的射影在 AC 上， 由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。 解：解：PC平面 ABC 平面 PAC平面 ABC，交线为 AC 作 BDAC 于 D 点，据面面垂直性质定理，得 BD 平面 PAC。作 DEPA 于 E，连 BE，据三垂线定理，则 BEPA，从而BED 是二面角 BPAC 的平面角。 设 PCa，依题意知三角形 ABC 是边长为 a 的正三角形， D 是 AC 的中点，且a 2 3 BD PCCAa，PCA90，PAC45 在 RtDEA 中，a 4 2 2 2 2 a 45sinADED 则在中，BEDRt6 2 32 ED BD BEDtg 评注：评注：本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来 求解。 3. 分析：分析：设 PA、PB 分别为点 P 到平面 M、N 的距离，过 PA、PB 作平面 ，分别交 M、N 于 AQ、BQ。 同理，有 PBa， PAPBP， a面 PAQB 于 Q 又 AQ、BQ 平面 PAQB AQa，BQa AQB 是二面角 MaN 的平面角 AQB60 连 PQ，则 PQ 是 P 到 a 的距离，在平面图形 PAQB 中，有 PAQPBQ90 P、A、Q、B 四点共圆，且 PQ 是四边形 PAQB 的外接圆的直径 2R 在PAB 中， PA1，PB2，BPA18060120，由余弦定理得 AB214212cos1207 由正弦定理： 评注：评注：本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角。 4. 解：解：（I）面 A1EC侧面 AC1，面 ABC侧面 AC1，BE侧面 AC1，BEAA1，AFFC， 1 2 1 AAFG 11 2 1 2 1 BBAAFGBE 1 EBBE （II）解：解：分别延长 CE、C1B1交于点 D，连结 A1D。 CC1面 A1C1B1，即 A1C1是 A1C 在平面 A1C1D 上的射影，根据三垂线定理得 DA1A1C。 所以CA1C1所求二面角的平面角 CC1AA1A1B1A1C1，A1C1C90 CA1C145，即所求二面角为 45. 5. 解：解：（1）二面角 BADC 的面为：面 ABD，面 ACD棱为：直线 AD BDAD，CDAD，平面角为BDC （2）在BCD 中，由（1）知BDC 是二面角 BADC 的平面角 BDC90，又BDCD （3）AD面 BCD， ABD 为直线 AB 与面 BCD 所成的角 ABC 为正三角形， ABD60，即 AB 与面 BCD 成 60角 （4）当 BADC 为 120的二面角时，即BDC120， 取 BC 中点 M，连结 DM、AM，如图 BDDC，则 DMBC AD面 BCD，由三垂线定理，BCAM， AMD 是二面角 ABCD 的平面角 在BDC 中，CDM60， SDBC、SABC、 三者中任知两个数值便可求出第三个数值。其中 SDBC的面积可视为 ABC 在面 DBC 上的射影面积。 6. 解：解：（1）正方体 ABCDA1B1C1D1中 E、F 分别是 AB、C1D1中点 A1EECCFFA1 A1FCE A1ECF 为菱形 EFA1C 设 A1CEFO， O 为 A1C EF 中点 B1EB1F 在B1EF 中，有 B1OEF 又 EFA1C EF平面 A1B1C 又 EF 平面 A1ECF 平面 A1ECF平面 A1B1C 在平面 A1B1C 内作 B1HA1C 于 H，则 B1H平面 A1ECF A1B1AB A1B1与平面 A1ECF 所成角等于 AB 与平面 A1ECF 所成角等于B1A1H 设正方体棱长为 1，则 A1C3 A1 B1 C 2 H 3 1 B1H（1*）/（A1H）23 3 6 3 2 1 3 3 sinB1A1H B1A1Harcsin 3 6 3 6 即：AB 与平面 A1ECF 所成角是 arcsin 3 6 由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以，求直线和平面所成角时，关 键是找出它在这个平面的射影。 （2）分析：分析：由于平面 AFG 和平面 AB1D1有一个公共点，所以交于过 A 点的一条直线。 本题关键是作出交线，求交线的方法： 是根据公理 1 和公理 2 找到两平面的另一个公共点。 是根据线面平行的性质，证明交线于其以知直线平行。 此题后面比较简便。 解：解：F、G 分别是 D1C1和 B1C1的中点 FGD1B1 FG平面 AD1B1 设面 AFG面 AB1D1l FGl 连 A1C1交 B1D1和 FG 分别于 M、N， 则 M、N 分别为 B1D1和 FG 的中点。 AB1AD1 AMB1D1 AGAF （AFD1 AGB1） ANFG B1D1FGl AMl ANl MAN 为所求的二面角的平面角，设为 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1 AM AN MN 22 ) 2 2 (1 2 6 2 4 3 12 4 34 4 2 cos arccos 4 34 * 2 6 *2 16 2 16 34 4 6 2 51 2 7 51 517 51 517 即平面 AFG 和平面 AB1D1所成的角是 arccos 51 517 （3）解法（一）：解法（一）：连 B1D1交 A1C1于 O1 A B C