高二数学常用逻辑用语 苏教版VIP

高二数学常用逻辑用语 苏教版一. 本周教学内容：常用逻辑用语教学目的：了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；会判断必要条件、充分条件与充要条件了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容（对真值表不作要求）理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容理解对含有一个量词的命题的否定的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定教学重点：理解充分必要条件的判断及命题之间的关系教学难点：“或”“且”“非”的逻辑关系的理解一、知识点归纳：命题：可以判断真假的语句； 逻辑联结词或、且、非； 简单命题：不含逻辑联结词的命题； 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题 三种形式：p或q、p且q、非p真假判断：p或q，同假为假，否则为真；p且q，同真为真， 否则为假；非p，真假相反原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p；互为逆否的两个命题是等价的反证法步骤：假设结论不成立推出矛盾假设不成立充要条件：条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件结论q成立条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件条件p成立结论q成立，则称条件p是结论q的充要条件全称量词：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“x”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题“对于M中的任意一个x，p（x）M”，简记xM，p（x）存在量词：短语“对存在一个”“有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“x”表示，含有存在量词的命题叫做存在命题，存在命题“存在M中的一个x，p（x）”，简记为“xM，p（x）” 例1. 分别写出由下列命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形成的命题：（1）p：是无理数 q：是实数（2）p：5是15的约数 q：5是20的约数解：（1）p或q：是无理数或实数p且q：是无理数且为实数非p：不是无理数（2）p或q：5是15或20的约数p且q：5是15且也是20的约数非p：5不是15的约数例2. 写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假剖析：把原命题改造成“若p则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律解：原命题：若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题否命题：若abc0，则a0且b0且c0，是真命题逆否命题：若a0且b0且c0，则abc0，是真命题例3. 用反证法证明：如果分析：注意反设时有两种情况证明：假设由于则由，有 均与条件“”相矛盾例4. 设集合那么“”是“”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件解：“”即“”“”即“”，所以选B例5. 下列各小题中，p是q的什么条件？p：是整数; q：有且仅有整数解 （1）p： q：解：（1）必要条件qp成立而pq不成立设的解是，由是整数，得是整数（2）充分条件即成立 而不成立例6. 如果是实数，那么“”是“”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分又不必要条件解：同正或同负当但反之不能推出，如当，有成立，却没有成立，所以选A例7. 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A B C D. 或解一：当时，原方程变形为一元一次方程，有一个负的实根当时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是即设两根，则有一负实根 ，有两负实根综上，解二：排除法当时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D当时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C例8. 已知二次函数的图像经过（1，0），是否存在常数使得不等式对一切实数都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由解：的图像经过点（1，0），又 ，令得，令得，即由上式得：即的解集为（1）当（2）当不等式组的解集为，因此存在常数，其中例9. 在中，“”是“”的什么条件？解：在中，角A、B的对边分别是是的外接圆的半径一方面，因为 AB，所以ab ， 即 ，亦即 ，从而中AB另一方面，因为，所以 ，即 ，得AB，从而中，AB故中，“”是“” 的充要条件例10. 已知命题p:当x1，时，函数f（x）=（0a1）有意义，命题q:数列an的前n项的和Sn=n2，且对于任意的正整数n均有，如果p和q中有且仅有一个正确，求t的范围解：要使 p正确：应该有atax0，x1，）恒成立t1命题q为真：an=n2（n1）2=2n1， n2p和q中有且仅有一个正确，则t的范围是t=1或t0对于一切实数x都成立的充要条件是0a0对xR恒成立，由二次函数性质有：即 0a4（2）充分性：若0a0 ax2ax+10（xR）恒成立由（1）（2）命题得证12. （）解：集合不具有性质，具有性质，其相应的集合是；（）证明：首先由中的元素构成的有序实数对共有个，因为，又因为当，所以当，于是集合中的元素的个数最多为，即.（）解：，证明如下：对于，根据定义如果是中的不同元素，那么中至少有一个不成立，于是与中至少有一