高二数学推理与框图人教实验版（B）知识精讲

高二数学推理与框图人教实验版（B）【本讲教育信息】一、教学内容：推理与框图学习目标能够利用归纳推理、类比推理、合情推理、演绎推理分析问题，解决问题，进一步认识框图，能绘制简单实际问题的流程图，体会框图在解决实际问题中的作用。考点分析1、流程图由一些图形符号和文字说明构成的图示称为流程图流程图通常用来表示一些动态过程，有一个“起点”，一个或多个“终点”流程图常用来描述一个过程性的活动活动的每一个明确的步骤构成流程图的一个基本单元，基本单元之间通过流程线产生联系基本单元中的内容要根据需要加以确定，可以在基本单元中具体地说明，也可以为基本单元设置若干个子单元通常，人们习惯按照从左到右、从上到下的顺序阅读图示，所以流程图一般按照从左到右、从上到下的顺序来画算法流程图有一定的规范和标准，而日常生活中用到的流程图则相对要自由一点，可以使用不同的色彩，也可以添加一些生动的图形元素等算法流程图是算法步骤的直观图示流程图还可以用于描述工业生产的流程，即工序的流程图2、结构图结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成.连线通常按从上到下、从左到右的方向（方向箭头按照箭头所指的方向）表示要素的逻辑关系.它可以用来表示结构设置，事物分类，计划、提纲和总结工作等，是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系，是表达和交流思想的有力工具。在画结构图时，应根据具体需要确定复杂程度，简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点。在结构图中也经常出现一些“环”形结构，这种情形常在表达逻辑先后关系时出现。结构图一般都呈“树”形结构，这种图直观、容易理解。3、各种推理的思维模式（1）归纳推理的思维过程为：实验、观察概括、推广猜测一般结论。（2）类比推理的思维过程为：观察、比较联想、类推猜测新的结论（3）演绎推理的思维过程为： 大前提：M是P，小前提：S是M，结论：S是P。【典型例题】例1、在数列an中，a1=1，（nN+）试猜想这个数列的通项公式.【思考与分析】我们根据归纳推理的一般步骤， 通过可以求出的前几项，然后归纳得出数列的通项公式.解：在数列中，（nN+），可以猜想，这个数列的通项公式是a n=。【小结】（1）我们经常利用归纳推理来发现解题思路，例如本题，我们通过归纳可以发现其倒数为等差数列，从而把题目关系向其倒数去转化就可以证明数列的通项公式了.（2）归纳推理的结果不一定是正确的.例2、已知函数f（x），对任意x，yR都有f（x+y）=f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数.【思考与分析】要求函数f（x）是奇函数，首先我们要想到奇函数的定义，然后根据演绎推理使问题得到解答.证明：取x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0.取y=x，则f（x+y）=f（0）=0，f（x）+f（y）=f（x）+f（x）.所以f（x）+f（x）=0，f（x）=f（x）所以函数f（x）是奇函数.【小结】大前提：定义在R上的函数f（x），若f（x）=f（x）则f（x）是奇函数；小前提：函数f（x），当f（x+y）=f（x）+f（y）时，有f（x）=f（x），结论：f（x）是奇函数.在进行演绎推理时，小前提往往是我们进行推理的条件；大前提是推理的依据，然后由条件依据大前提得出结论.例3、证明函数f（x）=x3+x在R上是增函数，并指出证明过程中运用的“三段论”.【思考与分析】我们要证函数f（x）在R上是增函数，有两种方法，（一）利用导数的思想进行证明，根据导数的单调性判定法则去求解.（二）利用函数的单调性定义去判断函数的单调性.证法1：如果在定义域R上，f(x)0，那么f（x）在这个定义域上一定为增函数（大前提）.函数f（x）=x3+x的导数f(x)=3x2+1我们可以求得f(x)0（小前提）.函数f（x）=x3+x在R上为增函数（结论）.证法2：任取x10，f（x2）f（x1）=（x2 3+x2）（x13+x1）=（x2x1）（x22+x1x2+x12+1）。因为，所以f（x2）f（x1）0，即f（x2）f（x1）.所以f（x）=x3+x在R上是增函数.证明过程中用到的“三段论”是：大前提：增函数的定义；小前提：题中的f（x）经过正确的推理满足增函数的定义.结论：f（x）是增函数.【反思】对于证法（一），我们从题中很容易看出证明过程中用到的“三段论”；对于证法（二），证明的整个过程是一个大的“三段论”，中间过程中还有一些小的“三段论”，如：大前提：平方是非负数，10，小前提：例4、两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，5条直线最多10个交点试归纳出n条直线最多有多少个交点.【思考与分析】我们通过探寻每增加一条直线，就增加的交点个数，从而由归纳推理得出结论.解：设直线条数为n，交点个数为S，由k条直线再增加1条直线到k+1条直线时，新增加k个点.n=2时，S=1，n=3时，S=3=1+2，n=4时，S=6=1+2+3，n=5时，S=10=1+2+3+4，n=6时，S=15=1+2+3+4+5，由归纳推理可得n条直线时有S=1+2+3+4+5+个交点.【反思】在本题中能够体现合情推理的特点，它是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理；例1是一道类比推理的题目，例2是一道归纳推理的题目，它们都能体现合乎情理这一特点，常常能帮助我们猜测和发现新的结论，提供证明的思路和方向.例5、某公司做人事调整：设总经理一个，配有经理助理一名；设副经理两人，直接对总经理负责，设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部副经理B管理销售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗。请根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图。解：例6、按照下面的流程图操作，将得到怎样的数集？解：按照上述流程图操作，可以得到下面的10个数：1， 1+3=4，4+（3+2）=4+5=99+（5+2）=9+7=16，16+（7+2）=16+9=25，25+（9+2）=25+11=36 ， 36+（11+2）=36+13=49，49+（13+2）=49+15=64，64+（15+2）=64+17=81，81+（17+2）=81+19=100.这样，可以得到数集1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.【模拟试题】一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1、由数列1，10，100，1000，猜测该数列的第n项可能是（ ）.A、10nB、10 n1C、10 n+1D、11 n2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体下列的性质，你认为比较恰当的是（ ）.各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A、B、C、D、3、由正方形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（ ）.A、正方形的对角线相等B、平行四边形的对角线相等C、正方形是平行四边形D、其它4、已知，f1（x）=cosx，f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），f4（x）=f3（x）fn（x）=f n1（x）则f2020（x）=（ ）.A、sinx B、sinx C、 cosxD、cosx5、下列表述正确的是（ ）.归纳推理是由部分到整体的推理；归纳推理是由一般到一般的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理；类比推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理.A、 B、C、D、6、下列说法正确的是（ ）.A、若ab，cd，则acbdB、若，则abC、若bc，则abacD、若ab，cd，则acbd二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、在数学拓展课上，老师规定了一种运算：a*b=，例如：1*2=1，3*2=2，则函数f（x）=sinx*cosx的值域为.8、用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是.9、于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“ ”.10、正方形按照下列图中的规律排列，则第n个有个正方形.（1） （2） （3）三、解答题（本大题共4题，共50分）11、根据如图所示的程序框图写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等差数列吗？12、对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定（a，b）=（c，d）当且仅当ac，bd；运算“”为：（a，b）（c，d）=（acbd，bc+ad），运算“”为：（a，b）（c，d）=（a+c，b+d），设p，qR，若（1，2）（p，q）=（5，0），则（1，2）（p，q）的值为多少？13、设m为实数，利用三段论求证方程x22mx+m1=0有两个相异实根.14、数列的前n项和记为S n.（1）求出S1、S2、S3的值；（2）猜想Sn的表达式.试题答案1、B 提示：归纳数列的前几项，得到数列的特点，知其为等比数列，且首项为1，公比为10，则第n项为10n1，故选B.2、C 提示：选取不同的类比角度，可以得到均正确，故选C.3、A 提示：根据三段论的一般形式，可以得到大前提是，小前提为，故得到结论为.故选A.4、C 提示：根据f1（x）=cosx，导函数的周期为4，可以得到f2020（x）=f1（x）=cosx，故选C.5、D 提示：根据归纳推理、类比推理、演绎推理的特点知正确.故选D.6、C 提示：根据不等式的性质可得，A当a，b，c，d均为负数时不成立；B当b0，那么方程有两