高二数学椭圆知识小节人教版知识精讲

高二数学高二数学椭圆知识小节椭圆知识小节人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 椭圆知识小节 知识点 1122 1212 . 定义 ： MFMFaaF F 2201.()定义 ： MF d ee M l 3. 标准方程： x a y b abx 2 2 2 2 10()（焦点在 轴上） y a x b aby 2 2 2 2 10()（焦点在 轴上） 参数方程为参数 xa yb cos sin 4. 几何性质：范围、对称性、焦半径、长半轴、短半轴 5. 直线与椭圆的关系（判断及相关问题（点差法） ） 6. 有关存在性及对称性问题 【典型例题典型例题】 例 1. 已知 点在椭圆上， 点的坐标为（ ， ），求P xy Pxyzxy 22 2516 1456 的最大值和最小值。 解：解： P xy 点在椭圆上 22 2516 1 可设 点的坐标为，P54cossin 即，xy54cossin zxy456 45546cossin 20 2 2 2 2 2 6sincos 20 2 4 6sin 当时， 最大，其最大值为 2 4 620 2kkZz 当时， 最小，其最小值为 2 3 4 620 2kkZz 小结：小结：利用椭圆的参数方程，把 z4x5y6 转化成 的三角函数是解决本例的关 键。 例 2. 已知椭圆的焦点在 x 轴上，P 为椭圆上一点，F1、F2为两焦点，且 PF1PF2，若 P 点到两准线的距离分别为 6 和 12，求椭圆的标准方程。 解：解：如图所示 y x F1 O F2 P 设椭圆的方程为，焦距为 x a y b c 2 2 2 2 12 则，PF c a PF c a 12 612 PFPFPFPFF F 121 2 2 2 12 2 ， 即361444 2 2 2 2 2 c a c a c a 2 45 又，61225 2 a c c bac 222 20 所求椭圆的方程为 xy 22 4520 1 小结：小结：本例的解法是先利用椭圆的第二定义得到 PF c a PF c a 12 612, 再由写出 、 之间的关系式并结合两准线间的距离等于，即得到PFPFac a c 12 2 2 ab 22 ，的值。 例 3. 已知椭圆的焦点是，和， ，直线是椭圆的一条准线。FFy 12 01014 （1）求椭圆的方程； （ ）又设点 在这个椭圆上，且，求。21 1212 PPFPFF PF 解：解：（ ），114 2 c a c ab23 2 ， 又椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上 椭圆的方程为 xy 22 34 1 （ ）由解得：2 24 1 12 12 PFPFa PFPF PFPF 12 5 2 3 2 ， 又 F Fc 12 22 cosF PF PFPFF F PFPF 12 1 2 2 2 12 2 12 2 3 5 即 F PF 12 3 5 arccos 小结：小结：（ ）中由已知椭圆上的 点到两焦点的距离差 ，联想2P|PF |PF |1 12 到 到两焦点的距离和，从而使问题的解决比较容易。P|PF |PF |2a 12 例 4. 已知椭圆，、分别为其左、右焦点， 为椭圆 x a y b abFFP 2 2 2 2 12 10() 上任意一点， ，求 的最大值及 取得最大值时 点的坐标。F PFP 12 解：解： 设，则P xy PF x a c c a cab 1 2 22 PFa c a x 1 同理， PFa c a x 2 在中，F PF 12 cos PFPFF F PFPF 1 2 2 2 12 2 12 2 PFPFPFPFc PF PF 12 2 12 2 12 24 2 44 2 1 22 12 ac PF PF 2 1 2 b a c a xa c a x 2 1 2 2 2 2 2 b a c a x axa 0 22 xa 当时，最小x b a 0 2 1 2 2 cos t cos在，上是减函数0 arccos() 2 10 2 2 b a Pb最大，此时 点的坐标为， 小结：小结：利用椭圆的第二定义可把椭圆上的点 P 到焦点的距离转化为以 P 点的横坐标 （或纵坐标）为自变量的一次函数的函数值。本例的解法把 的余弦表示为 x 的函数，根 据 x 的范围求得了 的最大值。例题的结论说明了椭圆的短轴端点对两焦点的张角最大。 例 5. 已知 在椭圆上，求点 到直线 ：的距离最PxyPlxy49362150 22 大值。 解法解法 1：利用椭圆的参数方程，设，P 3202cossin() 由于椭圆上的点，都满足，则点 到直PP3234150cossincossin 线 的距离为：l d 3415 12 3415 5 515 5 22 cossincossinsin 因为，所以11sin 当时， 有最大值sin 14 5d 解法解法 2：椭圆的方程可化为，画出它的图象，该椭圆所包围的区 xy 22 94 1 域相当于可行域。 作一组平行于 的直线 ：，。显然，当直线 与该椭圆相llxyttRl 11 20 切时，切点到直线 的距离达到最大值（或最小值）。l y l1 l x O P 9 5 8 5 ， xy2150 由，消去 ，得： 4936 20 22 xy xyt y 251891440 22 xtxt 由，得 025 2 t tt55或 容易求得，当时， 与 间的距离 最大，此时，tlldd 5 155 12 4 5 1 22 例 6. （1993 年全国（理）高考试题） 在面积为 的中，建立适当的坐标系，求出1 1 2 2PMNMNtantan 以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程。 y P M O N x 分析：分析：设椭圆的方程为， 点坐标为，则 x a y b Pxy 2 2 2 2 00 1() abxy 22 00 、是四个特殊确定的量，所以需要四个独立方程。 由、的斜率，的面积与点在椭圆上可列出四个方程，PMPNPMNP xy 00 , 只要解出、的值。ab 22 解：解：建立直角坐标系如图所示，以 MN 所在的直线为 x 轴，线段 MN 的垂直平分线为 y x a y b MNPc轴，设所求椭圆方程为，分别记、 、 点的坐标为， 4 10 2 2 2 2 cxy，和，0 00 tantan N2 由题设知：解得 yxc yxc xc yc 00 00 0 0 1 2 2 5 3 4 3 即，Pcc 5 3 4 3 在中，上的高为MNPMNcMNc 2 4 3 Scc MNP 1 2 2 4 3 1 cP 3 2 5 3 6 2 3 3 ，即， PMxcy 0 2 0 2 2 15 3 PNxcy 0 2 0 2 15 3 aPMPNbac 1 2 15 2 3 222 ，从而 故所求椭圆方程为 4 153 1 22 xy 小结：小结：此题全面考查了解析几何的基本思想，从坐标系的建立，设出点的坐标，直线 的斜率到两点间的距离公式，到椭圆定义的应用，抓住了双基，难度适中，是一道具有代 表性的圆锥曲线题。 例 7. 已知椭圆，过其左焦点且斜率为 的直线与椭圆 x m y m m 22 1 1 251 () 及准线从左到右依次交于 、 、 、 ，设，（ ）求；ABCDf mABCDf m( )( )1 （ ）求的最值。2f m( ) y D x F1 O F2 A C B 解：解：（ ）椭圆中，1 1 1 22 x m y m ambmcF 222 1 1110，左焦点， 则：BCyx1 代入椭圆方程，整理得： 21220 22 mxmxmm 设，则B xyC xyxx m m m 112212 2 21 25 f mABCDxxxx BADC ( ) 2 222 2 21 1212 xxxxxx m m AD （ ）22 211 21 2 1 1 21 f m m mm ( ) 当时，mf m5 10 2 9 ( )min 当时，mf m2 4 2 3 ( )max 小结：小结：xxxxBCBC ABBC 01，故关键求，而斜率已知为 ，故也可设中点 为，通过将 、 坐标代入椭圆方程后作差得，再M xyBC x m y m k 00 00 1 0 将，代入求得，于是得。当然，yxkx m m xx m m BC000 11 21 2 21 解本题的关键在于对的认识，由于，故线段长是其在f mABCDkx BC ( ) 1 轴上的射影长的倍，最终推出是解此题的关键。22f mxx BC ( ) 例 8. 椭圆的一条准线为，弦的倾斜角为， x a y b abxABM 2 2 2 2 101 4 为的中点，与的夹角为 ，若，求证：ABABOMb23 2 3 1 2 tan 解：解：由准线知：x a c 11 2 acbaccc 22222 ，则 设，则，A xyB xy x a y b x a y b 1122 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 11 相减得： (xx a xx yy b yy 12 2 12 12 2 12 0 ) 设中点，ABM xy 00 k yy xx AB 12 12 1 22 10 0 2 0 2 0 2 0 2 x a y b x a y b ，则 y x b a cc c ckc OM 0 0 2 2 2 11，即 与的夹角为ABOM c c c c 11 111 2 tantan，即 又，232 2 3223 tan c c ccc 223322cccccc（无解，舍去）或 则 1 2 2 3 c 又在，上单调递减bccc cc 22 2 1 2 1 4 1 2 2 3 b 2 2 9 1 4 ， b 2 3 1 2 ， 【模拟试题模拟试题】 1. 1998 年 12 月 19 日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星” 系统通信卫星。卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，若近地点 m 千米，远地 点 n 千米，地球的半径为 R 千米，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ） A. B. 2mR nRmR nR C. 2mnD. mn 2. 若椭圆经过原点，且焦点为，则其离心率为（ ）FF 12 1030， A. B. C. D. 1 2 2 3 3 4 1 4 （20017 全国高考题） 3. 已知椭圆上一点 P，该椭圆两焦点，若，则 xy 22 10064 1FF 12 、F PF 12 3 的面积为（ ）F PF 12 A. B. 64 23 64 3 3 C. D. 32 3 364 23 4. 椭圆的两焦点为，以为边作正三角形，若椭圆 x a y b ab 2 2 2 2 10()FF 12 、F F 12 恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ） A. B.C. D. 1 2 3 2 42 331 5. 椭圆的焦点为，点 P 为其上的动点，当为钝角时，点 xy 22 94 1FF 12 、F PF 12 P 横坐标的取值范围是_。 （20007 全国高考试题） 6. P 点在椭圆上运动，Q、R 分别在两圆：和 xy 22 43 1xy11 2 2 上运动，则的最大值为_，最小值为xy11 2 2 PQPR _。 7. 已知中心在原点，焦点在 x 上的椭圆与 x 轴的负半轴交于点 A，与 y 轴的正半轴交于 点 B，是左焦点且到直线 AB 的距离，求此椭圆的离心率。F1F1F HOB 1 7 7 8. M 为椭圆上任意一点（非短轴端点） ，若 M 与短轴的两个端 x a y b ab 2 2 2 2 10 点 B、B的连线分别交 x 轴于 P、Q。求证：为定值。OPOQ 9. 过椭圆的右焦点的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，如果 A，B 两Cxy：3412 22 l 点到右准线的距离的和为 7，求直线的方程。l 10. 已知ABC 的三个顶点均在椭圆上，且点 A 是椭圆短轴的一个端点，4580 22 xy ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线 BC 的方程。 【试题答案试题答案】 1. A 2. A 3. B 4. D 5. 6. 6；21 26 22 yx 7. 解：解：设椭圆方程为，则 x a y b 2 2 2 2 1 AaBbFc，000 1 直线AB x a y b ： 1 F H bcab ab b 1 22 1 7 由此得e 1 2 8. 证明：证明：由题意，BbBb00， 设M abkkZcossin ， 2 直线 BM 方程为 y b a xb sin cos 1 令，得y 0 x a P cos sin 1 同理可得：x a Q cos sin 1 （定值）OPOQxxa PQ 2 9. 解：解：显然垂直于 x 轴时，不符合题意。l 故设：lyk xA xyB xy1 1122 ， 由得： yk x xy 1 3412 22 3484120 2222 kxk xk ，即 xx k k 12 2 2 8 34 xxk k 12 2 2 2 4 34 又因右准线方程为x 4 4 4 34 7 2 2 2 k k 解得：k 3 2 故：lyx 3 2 1 10. 解：解：设B xyC xy 1122 ， 椭圆： xy abc 22 222 2016 120