高二数学椭圆（一）人教版知识精讲

（ab0） 高二数学椭圆（一）高二数学椭圆（一）人教版人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容 椭圆（一） 二. 重点、难点 1. 定义：（其中 P 为椭圆上一点，焦点） 2121 22FFcaPFPF 21 FF 2. 椭圆的标准方程：1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 3. 椭圆的性质 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x （1） ax by （2）、轴为椭圆对称轴，原点为对称中心。xy （3）顶点)0,( a),0(b （4）离心率 a c e )( 222 bac 4. 直线与椭圆的位置关系 ：l0CByAx 椭圆 M：1 2 2 2 2 b y a x 代入： 22 2 2 22 )( ba B cAx abx 研究式的判别式 （1） 无交点0 （2） 一个交点（相切）0 （3） 两个不同的交点0 弦长（为 的斜率，为式的根） 21 2 1xxkkl 21x x 【典型例题典型例题】 例 1 求满足下面条件的椭圆的方程。 （1）求焦点为，离心率的椭圆。)0,3()0,3( 3 1 e 解：解： 3c9a26b1 7281 22 yx （2）求中心在原点，两准线间距离为 5，焦距为 4 的椭圆方程。 解：解： 52 2 c a 2c5a1b 或1 5 2 2 y x 1 5 2 2 x y （3）求中心在原点、焦点在轴，椭圆上点 M到左焦点距离为 20 的椭圆方程。x)12,8( 解：解： 222 2012)8( c 22 16)8( c8c 222 1212)88(3212202a16a 1 192256 22 yx （4）椭圆中心在坐标原点，焦点在轴，直线与椭圆交于 M、N 若x1 xy 且求椭圆方程。ONOM 2 10 MN 解：解：设椭圆 当交 1 22 nymx1 xy),( 11 yxM),( 22 yxN 1) 1( 1 1 22 22 xnmx xy nymx 即：012)( 2 nnxxnm nm n xx nm n xx 1 2 21 21 ONOM 0 2121 yyxx0) 1x)(1x(xx 2121 2 10 11 21 xxMN 由 （舍） 2 1 2 3 n m 2 3 2 1 n m 1 3 2 2 22 yx 例 2 直线与椭圆的交点的个数，并求最大弦长。mxy1 916 22 yx 解：解： mxy yx 1 916 22 0)9(163225 22 mmxx )25(964 2 m （1）时 只有一个交点5m （2） 没有交点),5()5,(m （3）时 有两个交点 A、B)5,5(m 21 2 21 2 21 2 21 4)(2)()(xxxxyyxxAB （）时)25(9 )25( 64 2 25 )9(64 1600) 25 32 (2 2 2 2 2 m mm 0m 3 25 8 22 25 24 例 3 已知椭圆，在椭圆内求 M 为中点的椭圆的弦 AB 的直线方程。1 416 22 yx ) 1,1 (M 解：解：设， ),( 11 yxA),( 22 yxB 2 2 21 21 yy xx 1 416 2 1 2 1 yx 1 416 2 1 2 2 yx 相减0 4 )( 16 )( 21212121 yyyyxxxx )( 4 21 21 yy xx 4 1 21 21 xx yy ： AB l) 1( 4 1 1xy054yx 例 4 P 椭圆一点（不在轴上）F1 F2为焦点，求。1 2 2 2 2 b y a x x 21PF F 21PF F S 解：解： 2 21 2 2 2 1 42aPFPFPFPF 2 21 2 2 2 1 4cos2cPFPFPFPF 相减 2 21 4)cos1 (2bPFPF cos1 2 2 21 b PFPF 1 2 1 21 PFS PFF 2 tansin 2 2 bPF 例 5 椭圆 的长轴的两端点为 A、B。若椭圆上存在一点 P 使1 2 2 2 2 b y a x )0( ba ，求椭圆离心率的取值范围。120APBe 解：解：在短轴顶点取得最大值 60tan b a )(33 2222 caba 22 32ca 3 2 2 2 a c ) 1, 3 6 (e 为椭圆上一点),( 00 yxP 22 0 2 0 0 22 0 2 0 0 0 0 0 2 1 1 tan ayx ay ax y ax y ax y KK KK APB PAPB PAPB )1 ( 2 2 2 2 0 0 b a y ay 0 2 2 2 0 2 2 0 12 yc ab yc bay 只研究第一象限，随变大，为负且变大 变大,0( 0 by 0 yAPBtanAPB 例 6 椭圆上任意一条不垂直对称轴的弦 A、B，D 为 AB 中点，)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 求证为定值。 ODAB KK 设 ),( 11 yxA),( 22 yxB),( 00 yxD 0 0 021 0 0 2 2 21 21 021 2 2 x y Kyyy y x a b xx yy Kxxx OD AB 为定值 2 2 a b KK ODAB 例 7 已知 P 为椭圆（）上异于顶点的任一点，为短轴端点，1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 21 BB ，交轴于、，求证为定值。PB1PB2xMNONOM 设 ),( 00 yxP)0,(mM)0,(nN),0( 1 bB),0( 2 bB 三点共线 1 ,BMP by bx m 2 1 三点共线 2 ,BMP by bx n 0 0 2 22 0 2 0 2 a by xb nmONOM 例 8 过椭圆的右焦点 F 作直线 交椭圆于 A、B，O 为原点，求的最大1 2 2 2 y x l AOB S 值及相应 的方程。l （1）轴 ：xl 2 2 OAB Sl1x （2）轴 ： lxl) 1( xky 1 2 ) 1( 2 2 y x xky 02)21 ( 222 kkyyk 21 2 2121 4)(1 2 1 2 1 yyyyyyOFS ： 2 2 ) 12( 2 2 2 1 22 k l1x 【模拟试题模拟试题】 1. 椭圆上有一点 P 到左准线的距离为则 P 到椭圆右焦点的距离为（ 1 925 22 yx 2 5 ） A. 8 B. C. D. 2 65 2 9 8 15 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆则 a 的取值范围是（ ）aaxy 3 1 lg 22 x A. B. C. D. ) 3 1 ,0(), 3 1 () 10 1 ,0() 3 1 , 10 1 ( 3. 若方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）12sinsin 22 yx A. B. ) 2 ,( kkZk ) 2 2,2( kkZk C. D. 以上皆不正确) 4 2,2( kkZk 4. 若直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是 1 kxy)(Rk 1 5 22 m yx m 。 5. 交椭圆于 M、N，MN 中点为 P 若（为原点）则xy11 22 nymx 2 2 OP KO 。 n m 6. 椭圆：交直线 ：于 A、B，则 。99 22 yxl022 yxAB 7. 求以椭圆的长轴端点为短轴端点，且过点的椭圆标准方程。3649 22 yx) 1,4( 8. 求椭圆共焦点的且过的椭圆方程。1 49 22 yx )2,3(M 9. 椭圆，设点到该椭圆上所有点的最远距离)0(1 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 e) 2 3 ,0(P 为，求椭圆方程及最远点坐标。7 试题答案试题答案 1. A 2. D 3. D 4. 5. 6. 1.2 ),5()5,1 2 2 7. 代入 1 9 2 2 2 y a x ) 1,4(18 2 a1 918 22 yx 8. 5 1 49 22 22 ba ba 10 15 2 2 b a 1 1015 22 yx 9. 为椭圆上一点 2 3 e1 4 2 2 2 2 b y b x ),( 00 yxQ 4