高二数学空间直角坐标系知识精讲

高二数学空间直角坐标系【本讲主要内容】 空间直角坐标系 空间直角坐标系的建立，空间两点的距离公式【知识掌握】【知识点精析】 1. 空间直角坐标系的建立 在直角坐标系xOy中，通过原点O，再作一条数轴z，使它与x轴、y轴都垂直。如图，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴的正半轴重合。这时，就说在空间建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做坐标原点，每两条坐标轴分别确定的平面xOy，yOz，xOz叫做坐标平面。 2. 空间直角坐标系的画法 用斜二测画法画x轴、y轴，再画z轴，使得z轴xOy平面（zOy=90） 3. 空间一点坐标的意义 设M是空间内一点，过M点作三个半平面分别垂直于坐标轴，记它们与Ox，Oy，Oz轴的交点顺次为A、B、C，若A、B、C在对应坐标轴上的坐标分别为x、y、z，则把（x，y，z）叫做M点的直角坐标，记为M（x，y，z），x叫做横坐标，y叫做纵坐标，z叫做竖坐标。 这样，在空间任意一点与三个实数的有序数组（点的坐标）之间，建立起一一对应关系。 4. 空间直角坐标系的卦限 三个坐标平面把空间分为八部分，每一部分称为一卦限。在坐标平面xOy上方，分别对应该坐标平面上的四个象限的卦限，称为第I，第II，第III，第IV卦限，在下方的卦限称为第V，第VI，第VII，第VIII卦限。 在每个卦限内点的坐标各分量的符号是不变的，如第I卦限，三个坐标分量x，y，z都为正数，在第二卦限，x为负数，y，z都为正数 5. 空间两点的距离公式： 空间两点A（x1，y1，z1）、B（x2，y2，z2）的距离是： 【解题方法指导】 例1. 如图，在长方体OABCDABC中，|OA|=3，|OC|=4，|OD|=2，写出D，C，A，B四点的坐标。 解：D在z轴上，且|OD|=2 D点的竖坐标是2，横坐标与纵坐标都是零 因此D点坐标为D（0，0，2） 同理可得C点的坐标为C（0，4，0），点A的坐标是A（3，0，2） 点B在xOy平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横、纵坐标相同 在xOy平面上，点B（3，4，0） 所以B的横坐标x=3，纵坐标y=4 又点B在z轴上的射影是D，点D的竖坐标z=2，而B与D竖坐标相同 所以点B的坐标是B（3，4，2） 点评：求空间点的坐标的方法，找（或作出）过该点与三个坐标轴垂直的半平面与三个坐标轴的交点的坐标。 例2. 在z轴上，求与点A（-4，1，7）和点B（3，5，-2）等距离的点。 解：因为所求的点M在z轴上，所以设该点为M（0，0，z） 依题意有：|MA|=|MB| 即 解得 故所求的点为M（0，0，） 例3. 求证：以M1（4，3，1），M2（7，1，2），M3（5，2，3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 分析：证明一个三角形为等腰三角形或证明三角形中有两个角相等，或证明三角形有两条边相等，本题的条件适合证明边相等 证明： 由于，且M1，M2，M3三点不在一条直线上，所以原结论成立。 点评：如果先求出的两条边已相等，就不必再求第三条边的长度。【考点突破】【考点指要】 在高考题中，立体几何每年必考一道解答题，属中档题，可用两种方法来解，其中一种方法就是采用空间向量来解，要涉及到建立空间直角坐标系，找出点的坐标，求空间两点间距离等，此题约14分。【典型例题分析】 例4. （05全国III，川、滇、陕、甘、黔，18） 如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD （I）证明AB平面VAD。 （II）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小。 （I）证明：以D为坐标原点，DA、DC所在的直线分别为x轴、y轴，过D点与平面ADC垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系（如图） 设A（1，0，0），则B（1，1，0），V（） 由 又ABAD 且面AB与平面VAD内两条相交直线垂直 AB平面VAD （II）解：设E为DV中点，则E（，0，） 由，得EBDV，又EADV 因此，AEB是所求二面角的平面角 所以所求二面角的大小为 点评：此题是一道立体几何题，若用向量方法解需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标。在（II）中，求的原理是两点间距离公式。本题还考查了线面垂直，求二面角大小等知识。 例5. （06北京西城一模，17） 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=CC1=2 （I）证明：AB1BC1 （II）求二面角C1AB1A1的大小 （III）求点B到平面AB1C1的距离 （I）证明：如图建立直角坐标系，其中C为坐标原点，依题意A（2，0，0），B（0，2，0），B1（0，2，2），C1（0，0，2） 因为 所以AB1BC1 （II）因为BCAC，BCCC1，所以为平面ACC1的法向量 设是平面ABC1的法向量 由得 所以 令，则 因为 所以二面角C1AC1B的大小为 （III）设是平面AB1C1的法向量 由 得 所以 令z2=1，则 因为，所以B到平面AB1C1的距离为【综合测试】一. 选择题（本大题4个小题，共20分） 1. （04天津，6） 在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（ ） A. B. C. D. 2. （03合肥第二次抽样，11） 在直三棱柱ABCABC中，AB=AC=AA=1，BAC=90，则AC与BC所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 3. （05崇文4月，5） 正四面体PABC中，M为棱AB的中点，则PA与MC所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. （04江苏盐城第三次调研） 三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=1，则点P到平面ABC的距离为（ ） A. B. C. D. 1二. 填空题（本大题6个小题，共30分） 5. 点P1（1，0，-1）与P2（4，3，-1）之间的距离是_。 6. 点（1，1，1）关于z轴对称的点的坐标是_。 7. 点（2，3，4）关于坐标平面yOz对称点的坐标是_。 8. 设z为任意实数，相应的所有点P（1，2，z）的集合对应的图形是_。 9. 点A与坐标原点的距离是3，并且它的坐标分量都相等，则A的坐标是_。 10. 在坐标平面xOy上，与点A（3，2，5）、B（3，5，1）的距离相等的一个点是_（写出一个即可）。三. 解答题（本大题4个小题，共50分） 11. 在空间直角坐标系Oxyz中，作出8个点（1，1，1）（1，1，-1）（1，-1，1）（1，-1，-1）（-1，1，1）（-1，1，-1）（-1，-1，1）（-1，-1，-1）（12分） 12. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图，其中色点代表钠原子，建立空间直角坐标系后写出全部钠原子所在位置的坐标。（14分） 13. 设P在x轴上，它到P1（0，3）的距离为到点P2（0，1，-1）的距离的2倍，求P点坐标（12分） 14. 已知一长方体的三条棱AB、AC、AD端点的坐标分别为A（1，2，1），B（1，5，1），C（1，2，7），D（3，2，1），求这个长方体的长、宽、高和对角线的长。（12分）综合测试答案一. 选择题 1. B 解析：如图建立直角坐标系，求得 F（1，0，0），D1（0，0，2），O（1，1，0），E（0，2，1） ， 2. B 解析：如图，建立直角坐标系，则B（0，1，0），A（0，0，1），C（0，1，0），C（0，1，1） ， AC与BC所成的角为。 3. B 解析：如图建立空间直角坐标系，设正四面体边长为2，则 P（0，0，），A（，0，0），M（，0），C（，-1，0） 4. A 解析：如图建立直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，0），C（0，0，） 设平面ABC的一个法向量为 则 有 令z=1，则y=1， P到面ABC的距离 故选A二. 填空题 5. 解析： 6. （-1，-1，1） 解析：关于z轴对称，竖坐标不变，横、纵坐标为原来的相反数。 7. （-2，3，4） 解析：关于坐标平面yOz对称，竖坐标、纵坐标不变，横坐标为原来的相反数 8. 过（1，2，0）点与坐标平面xOy垂直的直线 解析：由横、纵坐标不变知P点只作上下运动，因此得答案 9. 解析：设A（a，a，a），则由得 故得 10. （3，0） 解析：设所求点坐标为P（x，y，0），则由|PA|=|PB|得 得三. 解答题 11. 解：以正方体的中心作正方体，且使正方体的棱分别平行于三个坐标轴，正方体的棱长为2 则作出的点分别是A（1，1，1），B（1，1，-1），C（1，-1，1），D（1，-1，-1），E（-1，1，1），F（-1，1，-1），G（-1，-1，1），H（-1，-1，-1） 12. 解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标 下层的原子全部在xOy平面上，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是（0，0，0）（1，0，0）（1，1，0）（0，1，0）（，0） 中层原子所在平面平行于xOy平面，与z轴交点的竖坐标为 所以这四个钠原子所在位置的坐标分别是（，0，）（1，）（，1，），（0，） 上层的原子所