高二数学理寒假专题——椭圆苏教版知识精讲

高二数学理高二数学理寒假专题寒假专题椭圆椭圆苏教版苏教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题椭圆 二. 教学目标： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程 三. 知识要点： 1. 定义：平面内一个动点到两个定点 F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即 2121 2FFaPFPF)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)。 点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e（0e1） ，则 P 点的 轨迹是椭圆。 2. 椭圆参数的几何意义，如下图所示： （1）|PF1|+|PF2|=2a，|PM2|+|PM1|= c a22 ， | | 1 1 PM PF = | | 2 2 PM PF =e； （2） 11F AcaFA 22 ， 21F AcaFA 12 ；caPFca 1 （3）|BF2|=|BF1|=a，|OF1|=|OF2|=c； （4）|F1K1|=|F2K2|=p= c b2 ， 22 21 A BABab 3. 标准方程：椭圆标准方程的两种形式 1 2 2 2 2 b y a x 和1 2 2 2 2 b x a y )0( ba，其中 222 bac。 椭圆1 2 2 2 2 b y a x )0( ba的焦点坐标是)0(，c，准线方程是 c a x 2 ，离心率是 a c e ，通径的长是 a b22 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头焦准距（焦点到准线的距离） c b p 2 ，焦参数 2 b a （通径长的一 半） 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头范围： axax，bybx，长轴长=a2，短轴长=2b，焦距2c ， 焦半径： 2 1 () a PFe xaex c ， 2 2 () a PFexaex c 。 4. 21F PF中经常利用余弦定理、三角形面积公式 1 2 2 12 tan 2 PF F FPF Sb 将有关线段 1 PF、 2 PF、2c，有关角 21PF F( 1212 FPFFBF )结合起来，建立 1 PF+ 2 PF、 1 PF 2 PF等关系。 5. 椭圆上的点有时常用到三角换元： sin cos by ax ； 【典型例题典型例题】 例 1. 已知椭圆的焦点是) 1 , 0 (),1, 0 ( 21 FF，直线4y是椭圆的一条准线。 求椭圆的方程； 设点 P 在椭圆上，且1 21 PFPF，求 21PF F。 解：解：1 34 , 2, 4, 1 222 xy a c a c . 设nPFmPF 21 ,则 1 4 nm nm 154 2 17 22 mn nm 又 21 22 cos24PFFmnnm 5 3 cos 21 FPP， 5 3 arccos 21 FPP 例 2. 求中心在原点，一个焦点为)25 , 0(且被直线23 xy截得的弦中点横坐标为 2 1 的椭圆方程。 解：解：设椭圆方程 )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y ，),( 11 yxA，),( 22 yxB 因为弦 AB 中点为) 2 1 , 2 1 (M，所以 1212 1,1xxyy 由 22 11 22 22 22 22 1 1 yx ab yx ab 得 222222 1212 ()()0axxbyy， （点差法） 所以 222 12121212 222 12121212 () ()() 3 () ()() yyyyyyyya bxxxxxxxx 22 3ba ，又50 22 ba 1 1075 22 xy 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例 3. 已知 F1为椭圆的左焦点，A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点， 当 PF1F1A，POAB（O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。 分析：分析：求椭圆的离心率，即求 a c ，只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表示.本题没有 具体数值，因此只需把 a、c 用同一量表示，由 PF1F1A，POAB 易得 b=c，a=2b。 解：解：设椭圆方程为 2 2 a x + 2 2 b y =1（ab0） ，F1（c，0） ，c2=a2b2 则 P（c，b 2 2 1 a c ） ，即 P（c， a b2 ） ABPO，kAB=kOP 即 a b = ac b2 ，b=c 又a= 22 cb =2b e= a c = b b 2 = 2 2 点评：点评：由题意准确画出图形，利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决本题的关 键. 例4. 如下图，设E： 2 2 a x + 2 2 b y =1（ab0）的焦点为F1与F2，且PE，F1PF2=2. 求证： PF1F2的面积 S=b2tan。 分析：分析：有关圆锥曲线问题用定义去解决比较方便。如本题，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则 S= 2 1 r1r2sin2。若能消去 r1r2，问题即获解决。 证明：证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2 则 S= 2 1 r1r2sin2，又|F1F2|=2c 由余弦定理有 （2c）2=r12+r222r1r2cos2 =（r1+r2）22r1r22r1r2cos2 =（2a）22r1r2（1+cos2） 于是 2r1r2（1+cos2）=4a24c2=4b2 所以 r1r2= 2cos1 2 2 b 从而有 S= 2 1 2cos1 2 2 b sin2=b2 2 cos2 cossin2 =b2tan 点评：点评：解与PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的问题，常用正弦定理或余弦定理，并 结合|PF1|+|PF2|=2a 来解决。 我们设想点 P 在 E 上由 A 向 B 运动，由于PF1F2的底边 F1F2为定长，而高逐渐变 大，故此时 S 逐渐变大。所以当 P 运动到点 B 时 S 取得最大值.由于 b2为常数，所以 tan 逐渐变大。因 2 为三角形内角，故 2（0，） ，（0， 2 ）.这样， 也逐渐变大，当 P 运动到 B 时，F1PF2取得最大值.故本题可引申为求最值问题。 例 5. 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点，M 为 AB 的中点，直线 OM（O 为 原点）的斜率为 2 2 ，且 OAOB，求椭圆的方程。 分析：分析：欲求椭圆方程，需求 a、b，为此需要得到关于 a、b 的两个方程，由 OM 的斜 率为 2 2 。OAOB，易得 a、b 的两个方程。 解：解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（ 2 21 xx ， 2 21 yy ） 由 22 1 1 xy axby ，（a+b）x22bx+b1=0. 2 21 xx = ba b ， 2 21 yy =1 2 21 xx = ba a . M（ ba b ， ba a ）. kOM= 2 2 ，b=2a. OAOB， 1 1 x y 2 2 x y =1 x1x2+y1y2=0 x1x2= ba b 1 ，y1y2=（1x1） （1x2） y1y2=1（x1+x2）+x1x2=1 ba b 2 + ba b 1 = ba a 1 ba b 1 + ba a 1 =0 a+b=2. 由得 a=2（21） ，b=22（21） 所求方程为 2（21）x2+22（21）y2=1 点评：点评：直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 但不是真的求出 x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题。 由 OAOB 得 x1x2+y1y2=0 是解决本题的关键。 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：45 分钟） 1. 如果椭圆1 1625 22 yx 上的点 A 到右焦点的距离等于 4，那么点 A 到两条准线的距离 分别是 ( ) A. 8， 3 20 B. 10， 3 20 C. 10，6D. 10，8 2. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆的离心率是 ( ) A. 3B. 2 3 C. 3 3 D. 以上都不对 3. P 为椭圆1 45 22 yx 上的点， 21,F F是两焦点，若 30 21 PFF，则 21PF F的面 积是（ ） A. 3 316 B. )32(4 C. )32(16 D. 16 4. 椭圆1 34 22 yx 内有一点 P(1，-1)，F 为右焦点，椭圆上有一点 M，使 MFMP2最小，则点 M 为( ) A. ) 1, 3 62 () 2 3 , 1.( B C. ) 2 3 , 1 ( D. ) 1, 3 62 ( 5. 椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的 2 倍，且过点（2，1） ，则它的方程是 _。 6. 如图 21,F F分别为椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的左、右焦点，点 P 在椭圆上， 2 POF是面积 为3的正三角形，则 2 b的值是_。 7. 直线 l 过点 M（1，1） ，与椭圆 4 2 x + 3 2 y =1 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点为 M，试 求直线 l 的方程. 【试题答案试题答案】 1. 答案：B 2. 答案：C 解析： c a c 2 2 3 1 2 3. 答案：B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解析：设nPFmPF 21 ,，列方程求解 4. 答案：A 解析：MFe2, 2 1 等于 M 到右准线的距离 5. 答案：1 1717 4 , 1 28 2222 yxyx 6. 解析：23 4 3 2 cc 2 (1, 3)2 3Pb