高二数学算术平均数与几何平均数人教版知识精讲

高二数学高二数学算术平均数与几何平均数人教版算术平均数与几何平均数人教版 【同步教育信息同步教育信息】 一. 本周教学内容： 6.2 算术平均数与几何平均数 目标：初步理解算术平均数和几何平均数的概念，初步掌握重要不等式“如果 a、bR， 那么”和定理“如果 、 是正数，那么”，理解定理的几何意义，ab2abab 22 ab ab 2 并能运用它们进行简单的证明和求值。 二. 重点、难点： 重点：重要不等式及定理。 难点：重要不等式及定理的应用。 知识要点介绍 由于，即()ababab 222 020 ababab 22 2（当且仅当时取“”号） 当，时，根据上述不等式，有ababab002 22 ()() 即abab 2 ab abab 2 （当且仅当时，取“”号） 故有下面两个重要结论： （ ）如果 、，则（当且仅当时，取“”号）；12 22 abRababab （ ）如果 、 是正数，那么（当且仅当时取“”号）。2 2 ab ab abab 定理 我们称为 、 的算术平均数，称为 、 的几何平均数。 ab ababab 2 该定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 中项，联系数列知识，如果把看作是正数 、 的等差中项，看作正数 、 的等比 ab ababab 2 那么该定理还可叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。 下面我们结合图形来看看该定理的意义： D A B a C b D ab 以 ab 长的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 ACa，CBb。 过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DD，连结 AD、DB，易证 RtACDRtDCB，那么 CD2CACB 即CDab 这个圆的半径，显然，即r ab rCD ab ab 22 其中当且仅当点 C 与圆心重合，即 ab 时，等号“”成立。 故该定理的几何意义是“半径不小于半弦” 上述两个重点结论中出现的和是两个基本又重要的不等式。abab ab ab 22 2 2 学习时，要注意以下几点： （ ）和成立的条件是不同的：12 2 22 abab ab ab 前者只要求 a、b 都是实数，而后者则要求 a、b 都是正数。 （2）这两个不等式都是带有等号的不等式，因此对定理中“当且仅当 ab 时取 号”这句话的理由要搞清楚。 （3）应用这两个不等式可以证明其他不等式。当然它们本身也是根据不等式的意义、 性质证出的，因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、 性质来证明。 （ ）应用，我们可以求某些非二次函数的最大值、最小值。4 2 ab ab 如求函数的最小值。yx x x 16 0() x x 0 16 0 yx x x x 16 2 16 8 当且仅当，即时， 取得最小值，且x x xyy 16 48 min 在利用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值、最小值时，要注意： （1）函数式中，各项必须都是正数。 例如，对于函数式，当时，绝不能错误地认为关系式成立x x xx x 1 0 1 2 并由此得出的最小值是x x 1 2 事实上，当时，的最大值是xx x 0 1 2 这是因为，xx x x x x x x x 00 1 0 11 2 1 2()()() 可以看出，当时，的最大值是xx x 1 1 2 （2）函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利 用算术平均数与几何平均数的关系求某些函数的最大值或最小值。 【例题分析例题分析】 例 1. 设 、 、，求证：abcRabcabbcac 222 分析：分析：利用重要不等式证明。abab 22 2 证明：证明：ababbcbcacac 222222 222， abcabc 222222 1 2 222() 1 2 222222 ()()()abbcca 1 2 222()abbcac abbcac abcabbcac 222 说明：说明：对于与“三项和”有关的不等式证明问题常常将“三项和”拆成“六项和”。 例 2. 小。若，试比较 、 、 的大abPabQabR ab PQR 1 1 22 lglg(lglg )lg 分析：分析：利用定理及对数的性质进行解答。 ab ab 2 解：解：abab10，lglg 1 2 (lglg )lglgabab QP 又， ab ab ab ab 22 lg()lg 即RababQlg(lglg ) 1 2 从而PQR 说明：说明：解答本题前应弄清各种符号的意义及运算关系、运算性质。 例 3. 已知实数 、 、 、 满足，求的最小值。abcda + b = 7c + d =5()()acbd 22 错误解法：错误解法：()()acbd 22 aaccbbdd 2222 22 ()()adbcacbd 2222 22 2222adbcacbd 2()()ab cd 70 当且仅当且时取等号adbc 错误原因：错误原因：两次用不等式 a2b22ab，等号要同时取到，若 ad 且 bc，则 abcd，与已知 ab7，cd5 矛盾，故不可能同时有 ad 且 bc。 正确解法：正确解法：令，acmbdn 则mnacbd12 mnmn 22 2 22 2222 ()mnmnmn 即2 222 ()()mnmn ()() () acbdmn mn 2222 22 2 12 2 72 当且仅当，即时，取等号mnacbd 6 acbd)() 22 72的最小值是 说明：说明： （ ），也是常用不等式，记住此不等式的结构特点及导出方法。1 2 22 2 ab ab () （2）使用不等式求最值要注意其条件，特别是“能否相等”，尽量减少“等号”成立 的次数。 例 4. 求的最小值。y x x 2 2 5 4 错解：错解：设，则xtxt 222 44 把代入xty x x t t t t 22 2 2 2 4 5 4 11 2 函数的最小值为2 错误原因：错误原因： 立，也就是说使t t ttx 1 2142 2 ，要求时等号成立，但是，故“”不可能成 等号成立的 t 不存在，故上面解法是错误的。 正确解法：正确解法：设，则xtt 2 42 下面证明函数在，上是增函数yt t t 1 2) 设，则tt 21 2 yyt t t t 212 2 1 1 11 () ()()tt tt 21 21 11 1 1 1 2 212 1 t t ttt t()() ttttt tt t 21211 21 2 20100， yy 21 0 函数在，上是增函数yt t 1 2) 当，即时， 有最小值，且txyy202 1 2 5 2 min 说明：说明：(1)使用不等式求函数的最值，一定要确定“”能否取得。 ( )()()20可以证明函数，在，上是增函数，在yx k x kkk )( kk，上是减函数。00 例 5. 甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时， 已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米/时）的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元。 （1）把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定 义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。 解：解：（ ）依题意得汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为1 S v ya S v bv S v S a v bv 2 () 故所求函数及其定义域为： yS a v bvvc()(，0 （2）依题意知 a、b、S、v 均为正数 S a v bvS ab()2 当且仅当，即时上式“”成立。 a v bvv a b 若，则当时，全程运输成本最小。 a b cv a b 若，则， a b cabcvc 2 0( S a v bvS a c bc()() S a vc b vc ()() 11 S vc cv abcv()() cvabc0 2 ，且 abcvabc20 S a v bvS a c bc()() 当且仅当时“”成立，也即时，全程运输成本最小。vcvc 时，综上可知，为使全程运输成本 最小，当时，行驶速度应为；当y a b cv a b a b c 行驶速度应为 vc。 说明：说明：抓住基本关系：全程成本每小时成本时间，成本可变成本固定成本， 列出函数关系式。求最值时要注意变量的定义域。 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题： 1. 已知，则的最小值是（ ）x 0 x x 2 2 16 A. 4B. 8C. 12D. 16 2. 设 x、y 都是正实数，则下列不等式中等号不成立的是（ ） A. x x x x 11 1 2 B. ()()x x y y 11 4 C. ()()xy xy 11 4 D. (lg lg ) lglgxyxy 22 2 22 3. 设，且，下列各式中最小的是（ ）xy11，xy A. B. C. D. xy 2 2xy xy 2 xy xy 4. 如果，且，则的最小值是（ ）xyR、 xy 533 xy A. 10B. C. D. 6 34 618 3 5. 已知函数，a、b 为正实数，设，则f x x ( ) 2Mf ab Nfab ()() 2 ，Pf ab ab () M、N、P 的大小关系是（ ） A. B. MNPMPN C. D. NPMPNM 6. 已知，且，那么 xy（ ）0101axy，loglog aa xy1 A. 无最大值也无最小值 B. 无最大值而有最小值 C. 有最大值而无最小值 D. 有最大值也有最小值 二. 填空题： 7. 设，则lglgxy 2 11 xy 的最小值是 8. 当时，函数的最大值是xf xxxx( )()() 22 4202 9. 已知 x、y 满足，则的最小值是_xy10A xy 22 10. 在中，A、B、C 分别是边 a、b、c 的所对的角，若 a、b、c 成等差数列，则ABC 的范围是_。B 11. 建造一个容积为，深为 2m 的长方体蓄水池，如果池底和池壁的造价每平方米分8 3 m 别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总价为_元。 三. 解答题（本大题共 3 小题，共 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12. （本小题满分 5 分） 已知：a、b、c 为实数，求证：a bb cc aabc abc 222222 () 13. （本小题满分 6 分） 已知：实数 a、b、c 满足，求证：abbcca1abc 222 1 14. （本小题满分 6 分） 某种生产设备购买时的费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设备 的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依每年 2 千元逐年 递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？ 试题答案试题答案 一. 1. B2. A3. C4. D5. D6. C 二. 7. 8. 1 29. 1 5 2 2 10. 11. 17600 3 B 三. 12. 证明：证明：a、b、c 为实数 a bb cab c b cc aabc a bc aa bc 22222 22222 22222 2 2 2 以上三式相加得： 222 222222222 222222 ()()() () a bb cc aab cabca bcabc abc a bb cc aabc abc 13. 证明：证明：ababbcbcacac 222222 222， 22 1 1 222 222 ()()abcabb