高二数学简易逻辑章节教案（通用）

高二数学简易逻辑章节教案11 命题、四种命题（1）学习目标：1、理解命题的含义，能够正确判断一个句子是否是命题。 2、能正确判断一个命题的真假。 3、能写出一个命题另外三个命题。学习重点：真假命题的判断，一个命题另外三个命题。 学习难点：判断语句是否是命题。主要内容：本节学习命题的概念、四种命题。主要内容有：1、 命题的概念（1）命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。（2）真命题：判断为真的语句。 （3）假命题：判断为假的语句。2、命题的一般形式 若p，则q。其中p为命题的条件，q为命题的结论。3、四种命题原命题：若 p，则q 。 逆命题：若q ，则p 。否命题：若 ，则 。 （即同时否定原命题的条件和结论）。逆否命题：若 ，则 。（即交换原命题的条件和结论，并同时否定）典型例题：例1、判断下列语句是否是命题（1）三角函数是周期函数吗？（疑问句） （2）但愿每一个三次方程都有三个实数根（祈使句）。（3）指数函数真漂亮。（感叹句） （4）2020年前，将有人登上火星。(5） 。 （6） 。（7）是有理数。 （8）968能被11整除。 解： （1）、（2）、（3）不是命题，都不是陈述句。(4)、（5）、（6） 不是命题，虽然是陈述句，但不能判断真假。（7）、（8）是命题，因为是陈述句，且能判断真假。例2、 把下列命题改写成“ 则 ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）两条平行线不相交（2）正数的算术平方根是正数分析：重点找出原命题的条件 p 与结论 q 解：（1）原命题可写成：若两条直线平行，则两直线不相交； 逆命题：若两条直线不相交，则两直线平行； 否命题：若两直线不平行，则两直线必相交； 逆否命题：若两直线相交，则两直线不平行（2）原命题：若一个数是正数，则它的算术平方根是正数； 逆命题：若一个数的算术平方根是正数，则它是正数； 否命题：若一个数不是正数，则它的算术平方根不是正数；逆否命题：若一个数的算术平方根不是正数，则它不是正数例3、 判断下列命题的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题同时，也判断这些命题的真假（1）若，则 ；(2) 当 时，若 ，则 解：（1）该命题为真逆命题“若 ，则 ”逆命题是假命题 否命题“若 ，则 ”否命题是假命题 逆否命题“若 ，则 ”逆否命题是真命题（2）该命题为假逆命题“当 时，若 ，则 ”否命题“当 时，若 ，则 ”否命题为真逆否命题“当 时，若 ，则 ”逆否命题为真评注：写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，然后依照定义来写课后练习：1下列语句不是命题的是（ ）A2是奇数。 B他是学生。 C你学过高等数学吗？ D明天不会下雨。2下列语句中是命题的是（ ）A语文和数学 BC D集合与元素3命题“内错角相等，则两直线平行”的否命题为（ ）A两直线平行，内错角相等 B两直线不平行，则内错角不相等C内错角不相等，则两直线不平行 D内错角不相等，则两直线平行4命题“若，则”的逆否命题为（ ）A若，则 B若，则1C若，则 D若1，则5命题“正数a的平方不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方等于0”的( )A逆命题B否命题 C逆否命题D否定命题6下列命题中正确的是（ ）“若x2y20，则x，y不全为零”的否命题“正多边形都相似”的逆命题“若m0，则x2xm有实根”的逆否命题“若x是有理数，则x是无理数”的逆否命题A、 B、 C、 D、7写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否命题： ；8命题“不等式x2+x-60的解x2”的逆否命题是 9把下列命题写成“若p则q”的形式，并判断其真假.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧.10写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题和逆否命题参考答案：1 C 2B 3C 4D 5B 6D7逆否命题: 若x0或y0,则x2+y20； 8若x,则x2+x-69(1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数.这个命题是真命题.(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形.这个命题是假命题.(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除.这个命题是真命题.(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.这个命题是真命题.10否命题为：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数；逆否命题为：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数11 四种命题间的相互关系（2）学习目标：1、理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式； 2、理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系； 3、初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤； 4、通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力；学习重点：四种命题之间的关系；学习难点：反证法的运用主要内容：1、四种命题的形式和关系如下图：由原命题构成道命题只要将 和 换位就可以由原命题构成否命题只要 和 分别否定为 和 ，但 和 不必换位由原命题构成逆否命题时不但要将 和 换位，而且要将换位后的 和 否定原命题为真，它的逆命题不一定为真原命题为真，它的否命题不一定为真原命题为真，它的逆否命题一定为真因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式一加以讨论 2、用反证法证明命题的一般步骤是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确典型例题：例1、 设原命题是“当 时，若 ，则 ”，写出它的逆命题、否定命与逆否命题，并分别判断它们的真假 解： 逆命题“当 时，若 ，则 ”否命题“当 时，若 ，则 ”否命题为真逆否命题“当 时，若 ，则 ”逆否命题为真【总结】“当 时”是大前提，写其他命题时应该将“当 时”写在前面原命题的条件是 ，结论是 ，“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”，同样“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”例2、我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日这个问题若用直接证法来解决是有困难的，我们可以运用反证法解：运用反证法证明这个问题首先是根据“至少有两个学生在同一天过生日”的反面是“任何两个学生都不在同一天过生日”，也就是反设“假设任何两个学生都不在同一天过生日”，从这个反设出发就会推出这367人就会有不同的367天过生日，这就出现了与一年只有365天（闰年366天）的矛盾产生这个矛盾的来源是由于开始的反设，因此反设不成立，这样得出了“至少有两个学生在同一天过生日”的结论例3、 用反证法证明：若 ，则 、 、 中至少有一个不等于0证明：假设 、 、 都等于0，则 与 矛盾，所以 、 、 中至少有一个不等于0常见错误及分析：往往把 、 、 中至少有一个不等于零的否定错认为是 、 、 中最多有一个不等于零，或错认为是 、 、 中最多有一个等于零课后练习1如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（ ） A真命题， B 假命题， C不一定是真命题， D不一定是假命题。2一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（ ）A真命题的个数一定是奇数 B真命题的个数一定是偶数C真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D上述判断都不正确3已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A逆命题、否命题、逆否命题都为真 B逆命题为真，否命题、逆否命题为假C逆命题为假，否命题、逆否命题为真 D逆命题、否命题为假，逆否命题为真4有下列四个命题： “若则互为倒数”的逆命题；“相似三角形的周长相等”的否命题“若，则关于若的方程若有实根”的逆否命题“，则”的逆否命题其中，真命题的个数是（ ）A 0 B 1 C 2 D35用反证法证明命题“a、bN*，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）Aa、b都能被5整除Ba、b都不能被5整除Ca不能被5整除 Da、b有一个不能被5整除6下列4个命题是真命题的是（ ）“若则、均为零”的逆命题“相似三角形的面积相等”的否命题“若则”的逆否命题“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. B. C. D. 7“在整数范围内，是偶数，则是偶数”的逆否命题是 。8用反证法证明命题“5个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数”时，反设成： 反设若用式子表示，则为： 9 判断下列命题“若在二次函数 中 ，则该二次函数图像与 轴有公共点”的真假，并写出它的逆命题，否命题，逆否命题同时，也判断这些命题的真假10（本小题满分12分）若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+，b=y2-2z+，c=z-2x+，求证：a，b，c中至少有一个大于0参考答案：1 C 2B 3D 4C 5B 6 C7在整数范围内，若不是偶数则不都是偶数。8.“假设5个连续自然数的平方和是一个完全平方数”用式子表示，则为“假设 是一个完全平方数（ ）9.该命题为假逆命题：若二次函数 的图像与 轴有公共点，则 为假否命题：若二次函数 中， ，则该二次函数图象与 轴没有公共点为假逆否命题：若二次函数 的图像与 轴没有公共点，则 为假10、假设a、b、c都不大于0，即：a0，b0，c0，则a+b+c0但a+b+c=（x2-2y+）+（y2-2z+）+（z2-2x+）=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+（-3）3，且 （x-1）2+（y-1）2+（z-1）20对一切x，y，zR恒成立必有a+b+c0，这与假设a+b+c0矛盾a，b，c中至少有一个大于0 12 充分条件与必要条件（1）学习目标：1、正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； 2、能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； 3、培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； 学习重点及难点：关于充要条件的判断主要内容：1、在讨论条件 和条件 的关系时，要注意：若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件；若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件；若 ，且 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件 2、若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断若 ，则 是 的充分条件；显然，要使元素 ，只需 就够了类似地还有：若 ，则 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件；若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件3、要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立典型例题：例1、 指出下列各组命题中， 是 的什么条件（在“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种）。（1） ：四边形对角线互相平分； ：四边形是矩形。（2） ： ； ：抛物线 过原点。（3） ： ； ： 。（4） ：方程 有一根为1； ： 。（5） ： ； ：方程 有实根。解：（1）四边形对角线互相平分 四边形是矩形。四边形是矩形 四边形对角线互相平分。所以 是 的必要而不充分条件。（2） 抛物线 过原点，抛物线 过原点 。所以 是 的充要条件。（3） 。所以 是 的充分而不必要条件。（4）方程 有一根为 。方程 有一根为1。所以 是 的充要条件。（5） 方程 有实根，方程 有实根 。所以 是 的充分而不必要条件。（6）利用集合的图示法（图113），知所以 是 的充要条件。注意，第（5）小题也可从集合观点入手研究其充分必要性。实际上，： ，： 。因为 ，所以 是 的充分而不必要条件。请用集合观点解答第（3）小题。例2、 若甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，丁是乙的必要条件，问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？解：由题意，分析如下图所示。根据图示得：甲是丙的充分条件，乙是丁的充要条件课后练习1在如图的电路图中，“开关A的闭合”是“灯泡B亮”的_条件（ ）A充分非必要 B必要非充分C充要 D既非充分又非必要2设aR，则a1是1,n1Bmn0,n0Dm0,n04、使四边形为菱形的必要条件是（ ）A对角线相等， B对角线互相垂直，C对角线相等且垂直， D对角线互相垂直且平分。5设命题甲为：0x5，命题乙为|x2|3，那么甲是乙的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6、如果都是实数，那么p：，是q：关于的方程有一正根和一负根的（ ）A充分不必要条件， B必要不充分条件， C充要条件， D既不充分又不必要条件。7用充分、必要条件填空：x1且y2是x+y3的 x1或y2是x+y3的 8已知真命题“abcd”和“abef”，则“cd”是“ef”的_条件9已知px2-8x-200，qx2-2x+1-a20。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.参考答案：1 B 2A 3B 4B 5A 6 C7既不充分也不必要条件，必要但不充分条件（提示：画出集合图或考虑逆否命题）.9解：pA=xx-2，或x10，qB=xx1-a，或x1+a，a0如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有 解得0a3.1. 2 充分条件和必要条件（2）学习目标：1进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2、在充要条件的教学中，培养等价转化思想主要内容：1、要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立典型例题：例1、已知p：；q：x、y不都是，p是q的什么条件？分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是，则”真的“若q则p”的逆否命题是“若，则x、y都是”假的故p是q的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手例2、 设关于 的一元二次不等式， 对一切实数均成立，求 的取值范围解：一元二次不等式 ，对一切 恒成立 二次函数 的图像全在 轴上方 注：这里“ 的取值范围： ”就是“二次不等式 对一切实数 都成立”的充要条件有些问题（如求字母 的取值范围），我们必须通过等价变换，才能获得正确结果，这里的“等价变换”与“充要条件”是紧密相连的我们所熟悉的解方程（或不等式）的过程，实质上是等价变换的过程例3、 已知 ： ； ： 若 是 的必要而不充分条件，求实数 的取值范围点拨 可以有两个思路：（1）先求出 和 ，然后根据 ， ，求得 的取值范围；（2）若原命题为“若 ，则 ”，其逆否命题是“若 则 ”，由于它们是等价的，可以把求 是 的必要而不充分条件等价转换为求 是 的充分而不必要条件解法一 求出 ： 或 ， ： 或 由 是 的必要而不充分条件，知B A，它等价于 同样解得 的取值范围是 解法二 根据思路二， 是 的必要而不充分条件，等价于 是 的充分而不必要条件设 ： ； ： ；所以，A B，它等价于 同样解得 的取值范围是 课后练习1、是的（ ）A.充分不必要条件， B.必要不充分条件， C.充要条件， D.既不充分又不必要条件。2 “xy0”是“x+y=x+y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3“AB=A”是A=B的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、，是的（ ） A.充分不必要条件， B.必要不充分条件， C.充要条件， D.既不充分又不必要条件。5、是成立的（ ） A.充分不必要条件， B.必要不充分条件， C.充要条件， D.既不充分又不必要条件。6、已知p：，q：，则p 是q的（ ） A.充分不必要条件， B.必要不充分条件， C.充要条件， D.既不充分又不必要条件。7在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；8抛物线y=ax2+bx+c (a0)的对称轴为x=2的充要条件是_;9判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件Aax2+ax+10的解集为R，结论B0a4；(2)条件pAB，结论qAB=B.10试寻求关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件.参考答案：1 C 2A 3B 4D 5B 6 B7图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；图(3)：充要条件； 图(4)：既不充分也不必要条件.84a+b=09解：(1)=a2-4a0，即0a4当0a4时，ax2+ax+10恒成立.故BA.而当a=0时，ax2+ax+10恒成立，AB.故A为B的必要不充分条件.(2)ABAB=B，而当A=B时，AB=B，即qp，p为q的充分不必要条件.10解法1：关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根.解法2：在(0，1)内有实根.1.3 简单的逻辑联结词（1）教学目标：1通过数学实例，了解简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2能正确地利用“或”、“且”、“非”表述相关的数学内容；3知道命题的否定与否命题的区别教学重点及难点：1掌握真值表的方法；2理解逻辑联结词的含义主要内容：1、一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作，读作“p且q”2、一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作：，读作：p或q注：逻辑联结词中的“或”相当于集合中的“并集”，它与日常用语中的“或”的含义不同日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”，可以是两个都选，但又不是两个都选，而是两个中至少选一个，因此，有三种可能的情况逻辑联结词中的“且”相当于集合中的“并集”即两个必须都选3、一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作：p，读作“非p”或“p的否定” “非”命题最常见的几个正面词语的否定：正面是都是至多有一个至少有一个任意的所有的否定不是不都是至少有两个一个也没有某个某些典型例题：例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；（3）平行线不相交解：（1）中的命题是p且q的形式，其中p：24是8的倍数；q：24是6的倍数.（2）的命题是p或q的形式，其中p：李强是篮球运动员；q：李强是跳高运动员.（3）命题是非p的形式，其中p：平行线相交。例2: 分别指出下列复合命题的形式（1）87（2）2是偶数且2是质数；（3）不是整数；解： （1）是“”形式，：，：8=7；（2）是“”形式，：2是偶数，：2是质数；（3）是“”形式，：是整数；例3：写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x22x+10；（2）q：存在一个实数x，使得x29=0（3）“ABCD”且“AB=CD”；（4）“ABC是直角三角形或等腰三角形”解：（1）存在一个实数x，使得x22x+10； （2）不存在一个实数x，使得x29=0； （3）AB不平行于CD或ABCD；（4）原命题是“p或q”形式的复合命题，它的否定形式是：ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形课后练习1命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）A简单命题 B非p形式的命题 Cp或q形式的命题 Dp且q的命题2命题“方程x22的解是x是( )A简单命题B含“或”的复合命题C含“且”的复合命题D含“非”的复合命题3若命题，则p（ ）ABCD4命题“梯形的两对角线互相不平分”的形式为( )Ap或q Bp且q C非p D简单命题5x0是指 ( )Ax0或x0 Cx0且x0 Dx2（2）p：9是质数；q：8是12的约数；（3）p：11，2；q：11，2（4）p：0；q：0解：p或q：2+2=5或32 ；p且q：2+2=5且32 ；非p：2+25.p假q真，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真.p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数.p假q假，“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真.p或q：11，2或11，2；p且q：11，2且11，2；非p：11，2.p真q真，“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假.p或q：0或=0；p且q：0且=0 ；非p：0.p真q假，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假.课后练习1如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（ ）A“p且q”是假命题 B“p或q”是真命题C“非p”是真命题 D“非q”是真命题2下列命题是真命题的有( )A52且74或34 C78 D方程x23x+4=0的判别式03若命题p：2n1是奇数，q：2n1是偶数，则下列说法中正确的是 （ ）Ap或q为真Bp且q为真C 非p为真D 非p为假4如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（ B ）A命题p与命题q的真值相同 B命题q一定是真命题 C命题q不一定是真命题 D命题p不一定是真命题5由下列各组命题构成的复合命题中，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的一组为( )Ap：3为偶数，q：4为奇数 Bp：3Cp：aa，b，q：aa，b Dp：QR，q：N=Z6. 在下列结论中，正确的是（ ）为真是为真的充分不必要条件；为假是为真的充分不必要条件；为真是为假的必要不充分条件； 为真是为假的必要不充分条件；A. B. C. D. 7（1）如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_。 （2）如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_。8由命题p：“矩形有外接圆”，q：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中真命题是_9已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。10已知命题”同时为假命题，求x的值。参考答案：1 D 2A 3B 4B 5B 6B7（1）真；（2）假 8pq9由p命题可解得m2，由q命题可解得1m3；由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假（1）若命题p真而q为假则有（2）若命题p真而q为假，则有所以m3或1m210.等价于或，解得或与同时为假命题为真命题，为假命题。于是有，解得1.4全称量词与存在量词（1）学习目标：1、了解量词在日常生活中和数学命题中的作用 2、正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。学习重点及难点：理解全称量词、存在量词的概念区别；正确使用全称命题、存在性命题；主要内容：1、 全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体。2、 存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作，等，表示个体域里有的个体。3含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。 全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语any中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语exist中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。典型例题：例1判断以下命题的真假：（1） （2） （3） （4）分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设a=b，则有a2=ab 第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b) 第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以b得，2=1分析：第四步错：因a-b0，等式两边不能除以a-b 第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。（1）中国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个向量都有方向；分析：（1）全称命题，河流x中国的河流，河流x注入太平洋；（2）存在性命题，0R，0不能作除数；（3）全称命题， xR，；（4）全称命题，有方向；课后练习1判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）A所有奇数都是质数 BC对每个无理数x，则x2也是无理数 D每个函数都有反函数2将“x2+y22xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）A，都有 B，都有C，都有 D，都有3判断下列命题的真假，其中为真命题的是A BC D4下列命题中的假命题是（ ）A存在实数和，使cos(+)=coscos+sinsinB不存在无穷多个和，使cos(+)=coscos+sinsinC对任意和，使cos(+)=coscossinsinD不存在这样的和，使cos(+) coscossinsin5下列全称命题中真命题的个数是（ ）末位是0的整数，可以被2整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中两侧面的夹角相等；A1 B2 C3 D46下列存在性命题中假命题的个数是（ ）有的实数是无限不循环小数； 有些三角形不是等腰三角形； 有的菱形是正方形；A0 B1 C2 D37将“勾股定理”改写为含有量词的形式是 。 8对于下列语句（1） （2） （3） （4）其中正确的命题序号是 。（全部填上）9 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出全称量词和存在量词（1）有的集合没有真子集；（2）三角形中两边之和大于第三边10命题是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全称命题。参考答案：1B 2A 3D 4B 5C 6A7$a,b,cR+,a2+b2=c2 8（2）（3）9（1）存在性命题，存在量词为“有的” （2）全称命题，全称量词为“任意”10不是全称命题，补充条件：（答案不惟一）当时, ，1.4全称量词与存在量词（2）学习目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.学习重点及难点：全称量词与存在量词命题间的转化；主要内容：1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P： xM,有P（x）成立；其否定命题P为：$xM,使P（x）不成立。存在性命题P：$xM，使P（x）成立；其否定命题P为： xM,有P（x）不成立。用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: $M, P（x）P:$M, p(x）否定为 P: M, P（x）在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定词语是一定是都是大于小于且词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或词语必有一个至少有n个至多有一个所有x成立所有x不成立词语的否定一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立存在有一个成立典型例题：例1、 写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y0. （4） 有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x3，则x29”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 例2、 写出下列命题的否定。 （1） 若x24 则x2.。 （2） 若m0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数，虽然满足4，但2。或者说：存在小于或等于2的数，满足4。（完整表达为对任意的实数x, 若x24 则x2）（2）否定：虽然实数m0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。（原意表达：对任意实数m,若m0,则x2+x-m=0有实数根。）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。）例3、 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若xy,则5x5y；（2）p：若x2+x2,则x2-x2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b0有非空实解集，则a2-4b0。解：（1） P：若 xy，则5x5y； 假命题 否命题：若xy，则5x5y；真命题（2） P：若x2+x2，则x2-x2；真命题 否命题：若x2+x2，则x2-x2）；假命题。 （3） P：存在一个四边形