高二数学解析几何综合复习资料：圆锥曲线的综合问题旧人教版

高二数学寒假辅导资料（6）圆锥曲线的综合问题一、基础知识：解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题在这一类问题中“实际量”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量”，不仅有大小还有符号二、基础练习：1设abc0，“ac0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件答案：B解析：ac0曲线ax2+by2=c为椭圆反之成立2到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A椭圆 BAB所在直线 C线段AB D无轨迹答案：C 解析：数形结合易知动点的轨迹是线段AB：y=x，其中0x33若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为（ ）A1 B1 C D以上都不对答案：C 解析：的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线y=k（x2）代入椭圆方程（4+k2）x24k2x+4k24=0令=0，k=kmin=4以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A B CD答案：D 解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e=5已知F1（3，0）、F2（3，0）是椭圆+1的两个焦点，P是椭圆上的点，当F1PF2时，F1PF2的面积最大，则有Am=12，n=3 Bm=24，n=6 Cm=6，n= Dm=12，n=6答案：A解析：由条件求出椭圆方程即得m=12，n=36 点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比为2, 则动点M的轨迹方程为 ( ) A B C 3x2-y2-34x+65=0 D 3x2-y2-30x+63=0答案: D解析: , 两边平方即得3x2-y2-30x+63=07 P是椭圆上的动点, 作PDy轴, D为垂足, 则PD中点的轨迹方程为( ) A B C D 答案: D 解析: 设PD中点为M(x, y), 则P点坐标为(2x, y), 代入方程, 即得8 已知双曲线,(a0,b0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1M与A2N交点的轨迹方程是( ) A B C D 答案: A 解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M与A2N交点为P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则A1 M的方程是,A2M的方程是, 两式相乘, 结合即得三、典型例题：例1 已知椭圆C的方程为+=1（ab0），双曲线=1的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）（1）当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当=时，求的最大值分析：（1）求椭圆方程即求a、b的值，由l1与l2的夹角为60易得=，由双曲线的距离为4易得a2+b2=4，进而可求得a、b（2）由=，欲求的最大值，需求A、P的坐标，而P是l与l1的交点，故需求l的方程将l与l2的方程联立可求得P的坐标，进而可求得点A的坐标将A的坐标代入椭圆方程可求得的最大值解：（1）双曲线的渐近线为y=x，两渐近线夹角为60，又1，POx=30，即=tan30= a=b又a2+b2=4， a2=3，b2=1故椭圆C的方程为+y2=1（2）由已知l：y=（xc），与y=x解得P（，），由=得A（，）将A点坐标代入椭圆方程得（c2+a2）2+2a4=（1+）2a2c2 （e2+）2+2=e2（1+）22=（2e2）+332的最大值为1点评：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题例6 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则B（3，0）、A（3，0）、C（5，2）因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上因为kBC=，BC中点D（4，），所以直线PD的方程为y=（x+4） 又|PB|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P（x，y），则双曲线方程为=1（x0） 联立，得x=8，y=5，所以P（8，5）因此kPA=故炮击的方位角为北偏东30 例3、已知双曲线C：2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()当2k2=0,即k=时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得：2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.例4如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.20.解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2,由此得出：x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.(3)解法一：由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)将 (k0)代入上式，得94+25y0()=0(k0)即k=y0(当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由点P(4，y0)在线段BB(B与B关于x轴对称)的内部，得y0,所以m.解法二：因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为yy0=(x4)(k0)将代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8,解得k=y0.(当k=0时也成立)(以下同解法一).一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1抛物线上的点到直线距离的最小值是（A）A B C D2. 椭圆的一个焦点为F，点P在椭圆上，且（O为坐标原点），则OPF的面积S等于（A）A B C D以上都不对3椭圆与直线交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为AA. B. C. D. 4.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹是（D）A.x+4=0 B.x-4=0 C. D.5.直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（C）A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条6. 过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是（C）A. B. C. D.7.椭圆上的一点M到左焦点的距离为2，N是M的中点，则|ON|等于（A）A. 4 B. 2 C. D. 8 8. 已知， ，曲线一点M到F（7，0）的距离为11，N是MF的中点，O为坐标原点，则|ON|的值为（B）ABCD或9.抛物线离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（C）A. B. C. D. 10.已知为椭圆E的两个左右焦点，抛物线C以为顶点，为焦点，设P为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e满足，则e的值为（A）MA. B. C. D.11已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图像上有一点P，则（C）A、 B、C、 D、12. 已知点P是椭圆上的动点，为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是的角平分线上一点，且,则的取值范围是（B）A.0,3 B. C. D.0,4二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。13. 已知点P（x,y）是抛物线y2=x上任意一点，且点P在直线的上方，则实数a的取值范围为 . 13. . 14. 与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于 14.2 15若椭圆的一条准线方程为，则 ；此时，定点与椭圆C上动点距离的最小值为 . 15.1，. 16. 已知抛物线的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是_ 16. 2三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。17过抛物线的焦点作一条斜率为k(k0)的弦，此弦满足：弦长不超过8；弦所在的直线与椭圆3x2 + 2y2 = 2相交，求k的取值范围17.解：抛物线的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为由得2分故由，解得k21由得8分由，解得k2 3 因此1k2 3 k的取值范围是，11，18若点P在椭圆上，设，（1）试用m表示； （2）在（1）的条件下，求的最大值和最小值18.解：（1）因为在椭圆上，故 （2） ，由平面几何知识，即，所以； 记，设且，则，所以上单调递减，所以当时原式取最大值，当时原式取最小值.19已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。19.解：（1）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径由得解得所求圆的方程为（2）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为20（理）已知动点M到点F. （1）求动点M的轨迹C的方程；（2）若过点E（0，1）的直线与曲线C在y轴左侧交于不同的两点A、B，点P（2，0）满足，求直线PN在y轴上的截距d的取值范围.（文）直线l：与曲线的左支交于不同的两点A、B，直线m过点P（2，0）和AB的中点M，求m在y轴上截距b的取值范围.20（理）解：（1）设动点M的坐标为（x，y），由题设可知动点M的轨迹C方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设直线AB的方程为：由消去y得：由题意可得：解得则令上为减函数.（文）解：由消去y得：解得设M