高二数学解析几何中的范围问题人教版文知识精讲

高二数学高二数学解析几何中的范围问题解析几何中的范围问题人教版文人教版文 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 解析几何中的范围问题 二. 教学重、难点： 1. 重点： 确定某个变量的范围，使得问题中给出的几何图形具有某种几何性质，或满足某种数 量，位置关系。 2. 难点： 建立含有参变量的函数关系式或不等式。 【典型例题典型例题】 例 1 双曲线)0, 1( 1 2 2 2 2 ba b y a x 焦点距为c2，直线l过点（a，0）和（0，b） ， 且点（1，0）到直线l的距离与点（1，0）到直线l的距离之和cs 5 4 ，求双曲线的离 心率e的取值范围。 解：解：直线的l的方程为1 b y a x 即0abaybx 点（1，0）到直线l的距离 22 1 ) 1( ba ab d ，点)0 , 1(到直线l的距离 22 2 ) 1( ba ab d 21 dds c ab ba ab22 22 由cs 5 4 ，得c c ab 5 42 即 222 25caca 于是得 22 215ee 即02525 24 ee 得5 4 5 2 e 由于01e，所以e的取值范围是5 2 5 e 例 2 已知双曲线的中心在原点，右顶点为 A（1，0） ，点 P、Q 在双曲线的右支上，点 M（ 0 , m）到直线 AP 的距离为 1。若直线 AP 的斜率为k，且3, 3 3 k，求实数 m的取值范围。 解：解：由条件得直线 AP 的方程) 1( xky，即0kykx 因为点 M 到直线 AP 的距离为 1，所以1 1 2 k kmk 即 2 2 1 1 1 1 kk k m 3, 3 3 k 21 3 32 m 解得31 3 32 m或 3 32 11m 所以m的取值范围是3 , 3 32 1 3 32 1 , 1 例 3 设双曲线 C：)0( 1 2 2 2 ay a x 与直线l：1 yx相交于两个不同的点 A，B。 求双曲线 C 的离心率e的取值范围。 解：解：由 C 与l相交于两个不同的点，故知方程组 1 1 2 2 2 yx y a x 有两个不同的实数解， 消去y并整理得022)1 ( 2222 axaxa 由 0)1 (84 01 224 2 aaa a 解得20 a且1a 双曲线的离心率1 11 2 2 aa a e 因为20 a且1a 所以 2 6 e且2e，即离心率e的取值范围为 ),2()2, 2 6 ( 例 4 设 A、B 是椭圆 22 3yx上的两点，点 N（1，3）是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆交于 C、D 两点。确定的取值范围，并求直线 AB 的方程。 解：解法解：解法 1：依题意，可设直线 AB 的方程为3) 1(xky，代入 22 3yx， 整理得 0)3()3(2)3( 222 kxkkxk 设 A（ 11, y x） ，B（ 22, y x） ，则 21,x x是方程的两个不同的根 0)3(3)3( 4 22 kk 且 3 )3(2 2 21 k kk xx，由 N（1，3）是线段 AB 的中点，得1 2 21 xx 3)3( 2 kkk 解得1k代入得12，即的取值范围是（,12） 于是，直线 AB 的方程) 1(3xy即04 yx 解法解法 2：设 A（ 11, y x） ，B（ 22, y x） ， 则有 2 2 2 2 2 1 2 1 3 3 yx yx )( 3 2121 xxxx+)( 2121 yyyy=0 依题意， 21 xx ， 21 21 )( 3 yy xx kAB N（1，3）是 AB 的中点 2 21 xx，6 21 yy，从而1 AB k 又由 N（1，3）在椭圆内 12313 22 的取值范围是（,12）直线 AB 的方程为 ) 1(3xy，即04 yx 例 5 设点 P 到 M（0 , 1） ，N（1，0）的距离之差为m2，到x轴、y轴距离之比为 2， 求m的取值范围。 解法一：解法一：设点 P 的坐标为（yx,） ，依题设得2 x y 即0,2xxy 因此，点 P（yx,） 、M（0 , 1） 、N（1，0）三点不共线，得 2MNPNPM 02mPNPM 10 m 因此，点 P 在以 M、N 为焦点，实轴长为m2的双曲线上，故1 1 2 2 2 2 m y m x 将式代入，并解得 2 22 2 51 )1 ( m mm x 01 2 m 051 2 m 解得 5 5 0 m 即m的取值范围为 5 5 , 0 0 , 5 5 解法二：解法二：设点 P 的坐标为),(yx，依题设得2 x y 即0,2xyxy 由mPNPM2， 得myxyx2) 1() 1( 2222 由式可得m yxyx x 2 ) 1() 1( 4 2222 所以， 2 1 2 2 y x m，且0m 由式移项，两边平方整理得 222 ) 1(mxyxm 将式代入，整理得)1 ()51 ( 2222 mmxm 0 2 x，且式右端大于 0 051 2 m 综上，得m满得 5 5 0 m 例 6 直线：1 kxy与双曲线 C：12 22 yx的右支交于不同的两点 A、B。求实数 k的取值范围。 分析：分析：直线与双曲线右支有两个不同的交点，则不仅仅是0的问题，还需要追加 制约条件。 解：解： （1）将直线l的方程1 kxy代入双曲线 C 的方程12 22 yx后，整理得 022)2( 22 kxxk 依题意，直线l与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 0 2 2 0 2 2 0)2(8)2( 02 2 2 22 2 k k k kk k 解得22k 例 7 已知椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba） ，A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分 线与x轴交于 P（ 0 , 0 x） 。证明： a ba x a ba 22 0 22 。 解：解：设 A（ 11, y x） ，B（ 22, y x） P（ 0 , 0 x）是中垂线上的点 PA=PB 则 2 2 2 20 2 1 2 10 )()(yxxyxx 2 2 2 20 2 1 2 10 )()(yxxyxx 解出 0 x，得 )(2 )()( 21 2 2 2 1 2 2 2 1 0 xx yyxx x 又 A、B 在椭圆上 222 2 22 2 2 222 1 22 1 2 bayaxb bayaxb 0)()( 2 2 2 1 22 2 2 1 2 yyaxxb )( 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 xx a b yy 代入得)( 2 21 2 22 0 xx a ba x axxa22 21 a ba x a ba 22 0 22 例 8 如图 P 是抛物线 C： 2 2 1 xy 上一点，直线l过点 P 且与抛物线 C 交于另一点 Q。 若直线l不过原点且与x轴交于点 S，与y轴交于点 T，试求 SQ ST SP ST 的取值范围。 解：解： 设 P（ 11, y x） ，Q（ 22, y x） ，M（ 00, y x） ，依题意0 1 x，0 1 y，0 2 y 设直线l：bkxy，依题意0k，0b，则 T（b, 0）分别过 P，Q 作PP x轴，xQQ轴，垂足分别为 P 、 Q ，则 21 y b y b QQ OT PP OT SQ ST SP ST 由 bkxy xy 2 2 1 消去x，得0)(2 222 bybky（1） 则 2 21 2 21 )(2 byy bkyy 方法方法 1： 2 1 2 1 2) 11 ( 2 2121 b b yy b yy b SQ ST SP ST 因为 21, y y可取一切不相等的正数 所以 SQ ST SP ST 的取值范围是（2，） 方法方法 2： SQ ST SP ST 2 2 21 21 )(2 b bk b yy yy b 当0b时， SQ ST SP ST 22 2)(2)(2 22 2 2 b k b bk b bk b 当0b时， SQ ST SP ST b bk b bk b )(2)(2 2 2 2 又由方程（1）有两个相异实根，得0)2(44)(4 22222 bkkbbk 于是02 2 bk，即bk2 2 所以 SQ ST SP ST 2 )2(2 b bb SQ ST SP ST 的取值范围是（2，） 【模拟试题模拟试题】（答题时间：40 分钟） 1. 设 P 是椭圆1 2 2 2 2 b y a x （0 ba）上一点，F1，F2是其焦点，且90 21PF F， 求椭圆离心率的最小值。 2. 已知直线) 2 1 0(bbxy与抛物线xy2 2 相交于 A、B 两点，求使ABO的 面积最大时的直线方程。 3. 已知：直线l：)0(kkxy和顶点为 A 的抛物线 C：) 1(3) 1( 2 xy有公共点， 点 P（0 , a）关于直线l的对称点为 Q，若 AQ 垂直于抛物线的对称轴，求a的取值范围。 4. 已知：椭圆1 3 2 2 y x 的一个顶点 A（0，1） ，是否存在斜率为k（0k）的直 线l，使l与已知椭圆交于两个不同的点 M、N，且使ANAM ？若存在，求出k的范 围；若不存在，说明理由。 【试题答案试题答案】 1. 思路：由aPFPF2 21 和 2 2 21 2 2 2 1 4cFFPFPF，得到 21 PFPF =)(2 22 ca ，进而构造关于 21 PFPF 、的一元二次方程，在解有关焦点三角形的最值问 题时常常运用这种方法。 解：由椭圆的定义得：aPFPF2 21 在 21PF F中，90 21PF F 2 21 2 2 2 1 FFPFPF 2 4c 2，得)(2 22 21 caPFPF 由、可知， 1 PF、 2 PF是方程0)(22 222 caazz的两根 从而0)(84 222 caa 2 1 )( 2 a c ，即 2 2 a c e 所以离心率的最小值为 2 2 2. 思路：建立ABO的面积关于变数b的目标函数，求使目标函数取最大值时b的值。 解：设ABO的面积为 S，点 O 到 AB 的距离为d，A（ 11, y x） ，B（ 22, y x）联立 xy bxy 2 2 ，得到0)22( 22 bxbx bxx22 21 ， 2 21 bxx 21 2xxAB 21 2 21 4)(2xxxx=b842 而 2 b d ，于是 2 842 2 1b bSbb21 bbbbb2121 )21 (bbb 9 3 ) 3 21 ( 3 bbb 当且仅当bb21，即 3 1 b时等号成立 故ABO的面积最大时的直线方程为 3 1 xy 3. 解：联立直线l与抛物线 C 方程， 整理得04)32( 22 xkxk 由l与 C 有公共点，得016)32( 22 kk 解得 2 1 2 3 k，且0k 如图所示，抛物线顶点 A（1, 1） ，而 AQ 垂直于抛物线的对称轴，故可设 Q（ 0 , 1 y） P 和 Q 关于直线l对称 ka y a k y 1 1 2 1 2 0 0 消去 0 y，得 1 1 2 a a k 由 2 1 2 3 k，且0k，得 4 9 0 2 k 4 9 1 1 0 a a 解得 5 13 a，或1a 故a的取值范围是), 1 ( 5 13 ,( 4. 解：由ANAM 可得 A 与 MN 中点 T 的连线 ATMN，出现了弦的中点且可用 斜率的乘积为1，所以可用点差法。 设 M（ 11, y x） 、N（ 22, y