2020学年度第二学期高一数学三角函数的图象与性质同步检测题A卷 人教版

2020学年度第二学期高一数学三角函数的图象与性质同步检测题A卷第四章 三角函数三、三角函数的图象与性质知识网络范题精讲【例1】已知函数y=sin2x+cos2x2.（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的图象;（2）求这个函数的周期和单调区间;（3）求函数图象的对称轴方程.（4）说明图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的.解: y=sin2x+cos2x2=2sin（2x+）2. （1）列表x2x+02y=2sin（2x+）220242 其图象如下图所示.（2）T=.由+2k2x+2k，知函数的单调增区间为+k+k，kZ;由+2k2x+2k，知函数的单调减区间为+k，+k，kZ.（3）由2x+=+k得x=+.函数图象的对称轴方程为x=+（kZ）.（4）把函数y1=sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到函数y2=sin（x+）的图象；再把y2图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y3=sin（2x+）的图象；再把y3图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y4=2sin（2x+）的图象；最后把y4图象上所有的点向下平移2个单位，得到函数y=2sin（2x+）2的图象.评注:（1）求函数的周期、单调区间、最值等问题，一般都要化成一个角的三角函数形式.（2）对于函数y=Asin（x+）的对称轴，实际上就是使函数y取得最大值或最小值时的x值.（3）第（4）问的变换方法不唯一，但必须特别注意平移变换与伸缩变换的先后顺序.【例2】 如右图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（x+）+B.（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.解: （1）由图，可知这段时间的最大温差是3010=20（）.（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（x+）+B的半个周期的图象，=146=.又由图可得A=10，B=20.y=10sin（x+）+20.将x=6，y=10代入上式，得sin（+）=1.+=.故所求曲线的解析式为y=10sin（x+）+20，x6，14.评注: （1）本题以应用题的形式考查热点题型，设计新颖别致，独具匠心.（2）此类“由已知条件或图象求函数的解析式”的题目，实质上是用“待定系数法”确定A，和B，它们的计算方法为A=，B=.与周期有关，可通过T=求得，而关键的一步在于如何确定.通常是将图象上已知点的坐标代入函数解析式，得到一个关于的简单三角方程，但到底取何值却值得考虑.若得方程sin=，那么是取，还是取呢？这就要看所代入的点是在上升的曲线上，还是在下降的曲线上了.若在上升的曲线上，就取，否则就取，而不能同时取两个值.【例3】a为何值时，方程sin2x+2sinxcosx2cos2x=a有实数解.分析:所给方程的特征较明显，即是关于sinx与cosx的齐次方程，通过变形就可化为以tanx为变元的一元二次方程，从而据判别式进行求解.解法一:原方程可化为sin2x+2sinxcosx2cos2x=a（sin2x+cos2x），即（1a）sin2x+2sinxcosx（2+a）cos2x=0.（1）当a1时，cosx0，方程两边同除以cos2x，得（1a）tan2x+2tanx（2+a）=0.tanxR，0，即4+4（1a）（2+a）0，即a2+a30.又a1，a，1）（1，.（2）当a=1时，原方程化为2sinxcosx3cos2x=0，此方程有实根.综合（1）（2）可得当a，时，原方程有实数根.解法二:（用函数观点）当实数a取函数y=sin2x+2sinxcosx2cos2x值域中的数值时，原方程有实根.因此，求a的范围，实质上就是求上述函数的值域.y=sin2x+2sinxcosx2cos2x=1+sin2x3cos2x=1+sin2x （1+cos2x）=sin2xcos2x=sin（2x），其中y， ，即a，时，原方程有实数根.评注: 解法一是常规解法，解法二利用了变换的观点，通过函数思想来解方程.函数与方程是数学中两个重要的概念，在解决数学问题时，如能灵活运用，将使解答具有创造性.【例4】某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室.如图所示，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，H在上.设矩形AGHM的面积为S，HCF=，请将S表示为的函数，并指出当点H在的何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？分析:主要考查学生解决实际问题的能力及函数最值的求解.解: 延长GH交CD于N，则NH=40sin，CN=40cos.HM=ND=5040cos，AM=5040sin.故S=（5040cos）（5040sin）=1002520（sin+cos）+16sincos（0）.令t=sin+cos=sin（+），则sincos=，且t1，.S=1002520t+8（t21）=800（t）2+450.又t1，当t=1时，Smax=500，此时sin（+）=1sin（+）=.+，+=或，即=0或=.答:当点H在的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大面积是500 m2.【例5】 已知f（x）为R上的奇函数，且当x0时，f（x）=sin3x+2x21，求f（x）的解析式解:f（x）为奇函数，且xR，f（0）=0.设x0，则x0，f （x）=sin3（x）+2（x） 21=sin3x+2x21.f （x）为奇函数，f（x）=f（x）.f （x）=f（x）=sin3x2x2+1.f （x）=三角函数（三）（A卷）说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ）A.y=sin2xB.y=cosC.y=sin2x+cos2xD.y=分析:考查三角函数的奇偶性及周期性.关于求三角函数的最小正周期，要会求y=Asin（x+）的周期或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期.解析:用排除法.y=sin2x为奇函数，可排除A；y=cos的最小正周期为4，可排除B；y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数，可排除C；故选D.答案:D2.函数y=|sinx|+sin|x|的值域是（ ）A.2，2B.1，1C.0，2D.0，1解析:显然此函数是偶函数，所以，研究其值域只需研究自变量大于零时的值域即可当x0时，原函数化为y=|sinx|+sinx，当sinx0时，y=2sinx0，2;当sinx0时，y=0，所以，原函数的值域是0，2答案:C3.把函数y=cosx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图象表示的函数的解析式为（ ）A.y=2sin2xB.y=2sin2xC.y=2cos（2x+）D.y=2cos（+）解析:把函数y=cosx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，所得图象表示的函数的解析式为y=cos2x，再把纵坐标扩大到原来的两倍，所得图象表示的函数的解析式为y=2cos2x，然后把图象向左平移个单位，所得图象表示的函数的解析式为y=2cos2（x+）=2sin2x答案:B4.与函数y=tan（2x+）的图象不相交的一条直线是（ ）A.x=B.x=C.x=D.x=解析:当x=时，2x+=，y=tan（2x+）无意义，故x=与函数的图象不相交.答案:D5.如果，（，），且tancot，那么必有（ ）A.B.C.+D.+解析:tancottantan（）.、（，），、（，）.而y=tan在区间（，）上是增函数，故，即+.答案:C6.函数y=|cotx|sinx（0x且x）的图象是（ ）解析:当x（0，）时，y=cotxsinx=cosx0，排除A，D;当x（，）时，y=cotxsinx=cosx0，排除B.答案:C7.函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（ ）A.（，）B.（，2）C.（）D.（2，3）解析:本题即求y=xcosx的单调递增区间与y=sinx的单调递减区间的交集，排除B，C，D，故选A.答案:A8.函数y=sin4x+cos2x的最小正周期为（ ）A.B.C.D.2解析：y=sin4x+cos2x=（）2+=+=cos4x+，故最小正周期T=.答案:B9.已知0x，且a0，那么函数f（x）=cos2x2asinx1的最小值是（ ）A.2a+1B.2a1C.2a1D.2a解析:f（x）=（1sin2x）2asinx1=（sinx+a） 2+a2，由0x，得0sinx1.而a0，得0a.当sinx=1，即x=时，f（x） min=（1+a） 2+a2=2a1.答案:C10.对于函数f（x）=下列命题正确的是（ ）A.该函数的值域是1，1B.当且仅当x=2k+ （kZ）时，函数取得最大值1C.该函数是以为周期的周期函数D.当且仅当2k+x2k+（kZ）时，f（x）0解析:画出此函数的图象，由图象容易看出：该函数的值域是，1，当且仅当x=2k+或x=2k（kZ）时，函数取得最大值1;该函数是以2为周期的周期函数，当且仅当2k+x2k+（kZ）时，f（x）0.答案:D第卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.函数y=的值域是_.解法一:y=，（12y）cosx=y，即cosx=.1y2（2y1）3y24y+10y或y1.故值域为（，1，+）.解法二:y=，当1cosx时，y1；当cosx1时，y.故函数的值域是（，1，+）.答案:（，）1，+12.如果x，y0，且满足|sinx|=2cosy2，则x=_ ，y=_.解析:1sinx1，0|sinx|1.1cosy1，2cosy20.又|sinx|=2cosy2，|sinx|=2cosy2=0.由|sinx|=0，得x=k（kZ）.又x0，x=0或.由2cosy2=0，得cosy=1，y=2k（kZ）.y0，y=0.答案:0或 013.函数y=sinx+cosx在区间0，上的最小值为_ .解析:y=sinx+cosx=2sin（x+）.x0，x+，.ymin=2sin=1.答案:114.关于函数f（x）=4sin（2x+）（xR）有下列命题：由f（x1）=f（x2）=0可得x1x2必是的整数倍；y=f（x）的表达式可改为y=4cos（2x）；y=f（x）的图象关于点（，0）对称；y=f（x）的图象关于直线x=对称其中正确命题的序号是_ 分析:本题主要考查学生对y=Asin（x+）这个函数的图象和性质的分析判断能力.解析:由于f（x）的周期是，由图象易知f（x）=0时，相邻的两点正好相差，故不正确;f（x）=4sin（2x+）=4cos（2x+）=4cos（2x），故正确;当x=时，f（x）=0，y=f（x）的图象关于点（，0）对称，故正确，不正确答案:三、解答题（本大题共5小题，共54分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分8分）已知函数y=Asin（x+）在一个周期内的图象，如图所示，求其解析式.解法一:由图象知A=2，1分T=2（）=，=2. 3分又由图象知T=4（x1），即=4（x1）.解得x1=. 5分=，即=.解得=.7分所求解析式为y=2sin（2x+）.8分解法二:由图象知，当x取时，y取最大值2;当x取时，y取最小值2， 2分代入解析式y=2sin（x+），得方程组 4分 6分所求解析式为y=2sin（2x+）.8分16.（本小题满分10分）求函数f（x）=的最小正周期，最大值和最小值.解:f（x）= 2分=（1+sinxcosx） 5分=sin2x+， 7分所以函数f（x）的最小正周期是，最大值是最小值是. 10分17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=log（sinxcosx），（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.分析:研究复合函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系解:（1）由题意得sinxcosx0， 1分即sin（x）0，从而得2kx2k+.所以函数的定义域为（2k+，2k+）（kZ）. 2分0sin（x）1，0sinxcosx，即log（sinxcosx）log=故函数的值域是，+ 3分（2）sinxcosx=sin（x）在f（x）的定义域上的单调递增区间为（2k+，2k+）（kZ）， 5分函数f（x）的单调递减区间为（2k+，2k+）（kZ）. 6分（3）f（x）的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，函数f（x）是非奇非偶函数. 9分（4）f（x+2）=logsin（x+2）cos（x+2）=log（sinxcosx）=f（x），函数f（x）是周期函数，2是它的一个周期. 12分18.（本小题满分12分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3 m，则水渠侧壁的倾斜角应为多少时，方能使修建的成本最低？分析:本题中水与水渠壁的接触面最小，即是修建的成本