线性规划模型和单纯形法VIP

,运筹学OperationsResearch,第1章线性规划模型和单纯形法LinearProgrammingandSimplexMethod,1.1LP的数学模型及标准型1.2图解法1.3单纯形法,1.理解什么是线性规划模型，掌握线性规划在管理及生产中的应用2.掌握线性规划数学模型的组成及其特征3.清楚线性规划数学模型的一般表达式。,1.1线性规划数学模型MathematicalModelofLinearProgramming,线性规划（LinearProgramming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。,【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？,1.1.1应用模型举例,表1.1产品资源消耗,【解】设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：,最优解X=(50,30,10);Z=3400,目标函数,资源约束,线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction约束条件Constraints构成。称为三个要素。,其特征是：1解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。,表1.2营业员需要量统计表,商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。,【解】设xj(j=1，2，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为,目标函数：总人数最少,约束条件：上班人数大于每天需要人数,最优解：,Z617（人）,【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？,【解】这是个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。,表13下料方案,设xj(j=1,2,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:,求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。,Z812.5,最优解：,【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。,表1.4矿石的金属含量,解:设xj（j=1,2，5）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模型,注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。,最优解：,Z=347.5,第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5,第一年：x1+x2=200(万元),第二年：(x1/2+x3)+x4=x2,第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1,第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3,到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型,【解】设x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金,【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。,最优解：,Z416.26万元,x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金,【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是,设备A、B每天加工工时的约束为,要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为,目标函数线性化。产品的产量y等价于,整理得到线性规划模型,约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式,【例1.7】（书上P4例1.1-1题）饼干生产问题。某厂生产两类饼干，需搅拌机A1，成形机A2，烘箱A3三种设备，每天的所需机时及机时限制，利润指标如下表，问如何制订生产计划，可使获得最高利润？,【解】设x1、x2为每天生产、两种饼干的产量（单位：吨），则目标函数是,约束条件有：,搅拌机约束,成形机约束,烘箱约束,非负约束,本问题的数学模型,【例1.8】（书上P6例1.1-2题）运输问题。总公司收到上海B1，青岛B2，西安B3三家商场的电机订单，需求分别为100台，80台，90-120台，现有北京A1，武汉A2二个仓库，库存分别为200台，150台，所需运费如下表，问如何调运电机，可使总运费最少？,【解】设xij为从仓库Ai调到商场Bj的电机数量（i=1,2,j=1,2,3），则目标函数是,库存约束,需求约束,非负约束,问题的数学模型,小结：建立线性规划数学模型建立数学模型是学习线性规划的第一步也是关键的一步。建立正确的数学模型要掌握3个要素：研究的问题是求什么，即设置决策变量；问题要达到的目标是什么，即建立目标函数，目标函数一定是决策变量的线性函数并且求最大值或求最小值；限制达到目标的条件是什么，即建立约束条件。,作业：,第1次作业.doc,1.1.2线性规划的一般模型及标准形一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj,j=1,2,n，目标函数的变量系数用cj表示,cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成,为了书写方便，上式也可写成：,在实际中一般xj0,但有时xj0或xj无符号限制。,线性规划的一般模型,线性规划的标准型StandardformofLP,在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。,线性规划问题的标准型为:1目标函数求最大值（或求最小值）2约束条件都为等式方程3变量xj非负4常数bi非负,max(或min)Z=c1x1+c2x2+cnxn,注：本教材默认目标函数是min,或写成下列形式：,或用矩阵形式,通常x记为：称为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况mn，且r()m。,其中:,如何将一般模型化为标准形,对约束条件中含有“”的不等式，可在其左边加入一个非负变量（称为松驰变量），使之变为等式。对约束条件中含有“”的不等式，可在其左边减去一个非负变量（称为剩余变量），使之变为等式。对约束条件中对某些变量无符号限制，可作变量替换，如x1无符号限制，则令x1=x2x3，x2x3为非负变量。,【例1.9】将下列线性规划化为标准形,【解】（）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令,(2)第一个约束条件是号，在左端加入松驰变量(slackvariable)x4，x40,化为等式；,(4)第三个约束条件是号且常数项为负数，因此在左边加入松驰变量x6，x60，同时两边乘以1。,（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z=Z,得到maxZ=Z，即当Z达到最小值时Z达到最大值，反之亦然。,(3)第二个约束条件是号，在左端减去剩余变量(Surplusvariable)x5，x50。也称松驰变量,综合起来得到下列标准型,当某个变量xj0时,令x/j=xj。当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束,将其化为两个不等式,再加入松驰变量化为等式。,【例1.10】将下例线性规划化为标准型,【解】此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。令,则有,得到线性规划的标准形式,对于axb(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法。一种方法是增加两个约束xa及xb另一种方法是令x=xa，则axb等价于0xba，增加一个约束xba并且将原问题所有x用x=x+a替换。,1.如何化标准形式？,可以对照四条标准逐一判断！,标准形式是人为定义的，目标函数也可以是求最大值。,2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。,图解法时不必化为标准型。,3.单纯形法求解时一定要化为标准型。,作业：教材P63T2，3，6，8，10中的线性规划化为标准形。,下一节：图解法,1.2图解法GraphicalMethod,若x*满足约束条件，则称之为LP问题的可行解。所有可行解的集合称为可行域。使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。对给定的LP问题，若存在最优解，则称该LP问题有解，否则称LP问题无解。,线性规划的标准形,几个概念,图解法的步骤：,1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；,2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；,3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。,一般地，将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着矢量方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,(3,4),(15,10),最优解X=(15,10),最优值Z=85,例1.11,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解X=(3,1)最优值Z=5,(3,1),minZ=x1+2x2,例1.12,(1,2),2,4,6,x1,x2,2,4,6,X（2）（3,1）,X（1）（1,3）,(5,5),minZ=5x1+5x2,例1.13,有无穷多个最优解即具有多重解,通解为,01,当=0.5时=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2),2,4,6,x1,x2,2,4,6,(1,2),无界解(无最优解),maxZ=x1+2x2,例1.14,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解即无最优解,maxZ=10 x1+4x2,例1.15,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：,1.有唯一最优解(例1.11例1.12),2.有多重解(例1.13),3.有无界解(例1.14),4.无可行解(例1.15),1、2情形为有最优解3、4情形为无最优解,1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点(1)可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动,作业：教材P63T1，2，3,下一节：线性规划的有关概念及基本定理,1.4线性规划的有关概念BasicConceptsofLP,1.线性规划常用的概念：凸集、凸组合、极点（凸点）、可行解、基本解、基本可行解、最优解、基本最优解、基、可行基、最优基,2.线性规划的三个基本定理。,凸集(Convexset)设K是n维空间的一个点集，对任意两点时，则称K为凸集。,就是以X（1）、X（2）为端点的线段方程，点X的位置由的值确定，当=0时，X=X（2），当=1时X=X（1）,凸组合(Convexcombination)设是Rn中的点若存在使得成立，则称X为的凸组合。,极点(Extremepoint)设K是凸集，若X不能用K中两个不同的点的凸组合表示为,则称X是K的一个极点或顶点。,X是凸集K的极点是指X不可能是K中某一线段的内点，只能是K中某一线段的端点。,O,设线性规划的标准型minZ=CX（1.1）AX=b（1.2）X0（1.3）式中A是mn矩阵，mn并且r（A）=m，显然A中至少有一个mm子矩阵B，使得r（B）=m。,基(basis)A中mm子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵basismatrix）。当m=n时，基矩阵唯一，当m0且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。（c）若存在k0且aik(i=1,m)不全非正，则进行换基；,第个比值最小，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；,(c）求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk化为,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。,（b）选出基变量，求最小比值：,3.换基：（a）选进基变量设k=maxj|j0,xk为进基变量,【例1.16】用单纯形法求解,【解】将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表1.所示。,表15,1/3,1,5,0,1,20,3,0,17,1,3,75,1/3,0,9,0,2,M,20,25,60,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,1/9,2/3,35/3,0,0,98/9,1/9,7/3,最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/3,【例1.17】用单纯形法求解,【解】这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时判断标准是：j0(j=1，n)时得到最优解。容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1x2，并代入目标函数消去x4得,表中j0,j=1,2,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值Z=2x12x2x4=251=11极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选j0,x2进基，而a120且aik（i=1，2,m）则线性规划具有无界解,退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。,无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri0时，则表明原线性规划无可行解。(2)当第一阶段的最优值w0时，则原问题无可行解。,设有线性规划,其中Amn且r(A)=m,X0应理解为X大于等于零向量，即xj0,j=1,2,n。,1.5.3计算公式,不妨假设A（P1，P2，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记为B=(P1，P2，Pm)。矩阵A中后nm列构成的矩阵记为N（Pm+1,Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对于基B，基变量为XB=（x1,x2，xm）T,非基变量为XN=(xm+1,xm+2,xn)T。,则X可表示成同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），,CB=(C1,C2,Cm),CN=(Cm+1Cm+2，cn)则AX=b可写成,因为r（B）=m（或|B|0）所以B1存在，因此可有,令非基变量XN=0，XB=B1b，由B是可行基的假设，则得到基本可行解,X=(B1b，0)T,将目标函数写成,得到下列五个计算公式：,(令XN=0),上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵单纯形表1-15,将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可行解和检验数。用B1左乘表中第二行,得到表1-16,表115,表116,再将第二行左乘CB后加到第三行,得到,XB,Z0,表117,五个公式的应用,【例1.24】线性规划,已知可行基,求(1)单纯形乘子;(2)基可行解及目标值;(3)求3;(4)B1是否是最优基,为什么;,(5)当可行基为时求1及3。,【解】(1)因