湖南省2017-2018学年高二下学期期中联考数学(理)试题

醴陵二中，醴陵四中2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试试卷命题学校：醴陵二中 命题人： 审题人： （时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、设是虚数单位,若,则复数（ ）A B C D2、下列推理正确的是（ ）（A）把与类比，则有 （B）把与类比，则有 （C）把与类比，则有 （D）把与类比，则有3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ ）A假设三内角都不大于60度 B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理（ ）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D没有错误5、在极坐标系中，直线被圆4截得的弦长为( )A. B. C. 4 D. 56、,则,的大小关系为（ ）A B C D由的取值确定7、,则( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 88、设， 是虚数单位，则“”是“复数 为纯虚数”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，其中（），传输信息为，运算规则为：，例如原信息为，则传输信息为传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ ）（A） （B） （C） （D）10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ ）A BC D11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）A B C D12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（ ）A B C1 D 来源:学*科二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知复数，且有，则_14、已知xR，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为_15、曲线的参数方程是，它的普通方程是 16、如下面数表为一组等式：某学生猜测,若该学生回答正确,则 三、解答题：（共70分）17、( 本题满分10分) 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.18、( 本题满分12分)在中，内角、的对边分别为，且，已知，求：(1)和的值； (2)的值19、(本题满分12分)在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.（1）求的值； （2）求三棱锥的体积20、( 本题满分12分) 已知an是公差为d的等差数列,nN*,an与an+1的等差中项为n.(1)求a1与d的值;(2)设bn=2nan,求数列bn的前n项和Sn.21、( 本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.(1)求动点P的轨迹的方程;(2)若过点F的直线与点P的轨迹相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.22、（本题满分12分）已知函数).(1)讨论的单调性;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围(e为自然常数);醴陵二中，醴陵四中2018年上学期两校联考高二年级数学（理）科期中考试答案命题学校：醴陵二中 命题人：贺建军 审题人：宁盼（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1、设是虚数单位,若,则复数（ C ）A B C D2、下列推理正确的是（ D ）（A）把与类比，则有 （B）把与类比，则有 （C）把与类比，则有 （D）把与类比，则有3、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ B ）A假设三内角都不大于60度 B假设三内角都大于60度C假设三内角至多有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度4、若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：，结论是：，那么这个演绎推理（ A ）A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D没有错误5、在极坐标系中，直线被圆4截得的弦长为(A)A. B. C. 4 D. 56、,则,的大小关系为（ C ）A B C D由的取值确定7、,则(D)A. 1 B. 2 C. 4 D. 88、设， 是虚数单位，则“”是“复数 为纯虚数”的（ A ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件9、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息设定原信息为，其中（），传输信息为，运算规则为：，例如原信息为，则传输信息为传播信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是（ C ）（A） （B） （C） （D）10、用数学归纳法证明“”时,由的假设证明时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为（ D ）A BC D11、平面几何中,有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值,类比上述命题,棱长为 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为 （ B ）A B C D12、曲线在点处的切线为,则由曲线、直线及轴围成的封闭图形的面积是（ A ）A B C1 D 来源:学*科二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知复数，且有，则_14、已知xR，不等式x2，x3，x4，可推广为xn1，则a的值为_15、曲线的参数方程是，它的普通方程是 16、如下面数表为一组等式：某学生猜测,若该学生回答正确,则 8 三、解答题：（共70分）17、( 本题满分10分) 已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)判断直线l与曲线C的位置关系;(2)设M为曲线C上任意一点,求的取值范围.解:(1)由题意可得,直线l的普通方程为x-y+4=0,曲线C的直角坐标系下的方程为=1,是以为圆心,1为半径的圆,该圆圆心到直线x-y+4=0的距离为d=51,所以直线l与曲线C的位置关系为相离. 5分(2)由(1)得曲线C的参数方程为(为参数),因为M为曲线上任意一点,故设M,来源:学&科&网Z&X&X&K则x+y=cos +sin =sin-. 10分18、( 本题满分12分)在中，内角、的对边分别为，且，已知，求：(1)和的值； (2)的值解：(1)由2得cacosB2又cosB，所以ac6 2分由余弦定理得a2c2b22accosB 又b3，所以a2c292613解，得a2，c3或a3，c2 5分因为ac，所以a3，c2 6分(2)在ABC中，sinB由正弦定理，得sinCsinB 8分因为abc，所以C为锐角，因此cosC 10分于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC 12分19、(本题满分12分)在直三棱柱中，且异面直线与所成的角等于，设.（1）求的值； （2）求三棱锥的体积解：【解答】如图建立空间直角坐标系，则由题意得，所以。 3分设向量所成角为，则，或，由于，所以，得，解得 6分（2）连接，则三棱锥的体积等于三棱锥的体积，的面积，的面积， （10分）又平面，所以，所以 （12分）20、( 本题满分12分) 已知an是公差为d的等差数列,nN*,an与an+1的等差中项为n.(1)求a1与d的值;(2)设bn=2nan,求数列bn的前n项和Sn.解:(1)依题意,an=a1+(n-1)d.(方法一)由an与an+1的等差中项为n得=n,即=a1+d=n. 所以解得a1=,d=1. 5分(方法二)由an与an+1的等差中项为n得,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2.解得a1=,d=1.(2)由(1)得an=n-,bn=2nan=n2n-2n-1. 7分(方法一)记Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n,则2Tn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1.两式相减得,Tn=-2-22-23-2n+n2n+1=n2n+1-2n+1+2. 10分数列的前n项和1+2+22+2n-1=2n-1.Sn=(n2n+1-2n+1+2)-(2n-1)=n2n+1-32n+3. 12分(方法二)Sn=(12-20)+(222-21)+(323-22)+(n-1)2n-1-2n-2+(n2n-2n-1),2Sn=(122-21)+(223-22)+(324-23)+(n-1)2n-2n-1+(n2n+1-2n),两式相减得Sn= - (12-20)-(122+123+12n)+(n2n+1-2n)=n2n+1-32n+3.21、( 本题满分12分)已知动点P到定点F(2,0)的距离和它到定直线x=4的距离的比值为.(1)求动点P的轨迹的方程;(2)若过点F的直线与点P的轨迹相交于M,N两点(M,N均在y轴右侧),点A(0,2),B(0,-2),设A,B,M,N四点构成的四边形的面积为S,求S的取值范围.解:(1)设动点P(x,y),则,化简得=1. 4分(2)由(1)知,轨迹是以F(2,0)为焦点,离心率为的椭圆,如图,连接OM,ON,设直线MN的方程为x=my+2,点M(x1,y1),N(x2,y2).联立消去x,得(m2+2)y2+4my-4=0,则y1+y2=-,y1y2=-, 6分所以|y1-y2|=.由于M,N均在y轴右侧,则x10,x20,且0|m|1,则S=SOAM+SOBN+SOMN=2(x1+x2)+2|y1-y2|=m(y1+y2)+4+|y1-y2|=-+4+=, 8分令t=,则1t, 则S=.方法一:S=0, 10分故面积函数S=在1t上单调递减,所以S,所以面积S的取值范围是. 12分方法二:S=,因为1t0), 1分当a0时,f(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1,+); 3分当a0时,f