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线性微分方程通解的结构,第四节,一、二阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程解的性质,三、二阶线性微分方程解的结构,第九章,一、二阶线性微分方程,二阶线性微分方程,二阶齐次线性微分方程,二阶非齐次线性微分方程,n阶线性微分方程：,二、二阶线性微分方程解的性质,证,性质2,性质3,性质4(非齐次线性方程解的叠加原理),例1,的解，,解,问题1,三、二阶线性微分方程解的结构,回顾：,问题2,答:,不一定.,的解，,例如：,是某二阶齐次线性方程的解,也是齐次线性方程的解,并不是通解.,但是,则,为解决通解的判别问题,还需引入,函数的线性相关与线性无关概念.,定义9.1,是定义在,区间I上的n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关；否则称为,线性无关.,若存在不全为0的常数,例3,下列各函数组在给定区间上是线性相关还是线性无关？,线性无关,解,例4,故该函数组在任何区间I上都线性相关;,解,证明：函数组,I上线性无关.,证,(用反证法),假设：,n个零点,故,这与,矛盾！,特别地,对于两个函数的情形：,定理,例如：,注.,可以证明：,朗斯基行列式,1.齐次线性微分方程解的结构,推论,n个线性无关的特解，则此方程的通解为,方程：,验证：,例5,定理9.2(二阶非齐次线性方程(2)的解的结构),2.非齐线性微分方程解的结构,例6,例7,解,(1),(2),齐次线性方程(2)的通解为：,原方程(1)的通解为：,求二阶非齐次线性微分方程(2)的通解的关键：确定与其相对应的二阶齐次线性方程(1)的两个线性无关的解;(2)求(2)的一个特解.,注.,内容小结,解的叠加原理,函数组线性相关与线性无关,1、二阶线性微分方程解的性质,2、二阶线性微分
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