2020年全国高一数学 联合竞赛预赛试题（湖北省） 新人教版_第1页
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文档简介

2020年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。） 1计算： 5 2设等差数列的前项和为，已知，则_7_3已知P是ABC所在平面上一点，满足，则ABP与ABC的面积之比为45满足方程（）的实数对的个数为 8 6已知函数的定义域为（其中），值域为，则符合条件的数组为7设集合.如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 8已知关于的方程在区间上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9已知二次函数的图象过点（1，13），且函数是偶函数.（1）求的解析式；（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. -4分又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.因此，的解析式为. -8分（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即. -12分注意到43是质数，且，所以有解得因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）. -16分10已知，关于的方程有一个实根，求的最小值解 设为方程的实根，则有，即. 显然. -5分容易证明，于是. -15分当且仅当且时等号成立，此时，.结合可求得或因此的最小值为8. -20分11已知数列满足.证明：对一切，有（1）； （2）解 （1）显然，所以（）.所以，对一切，所以. -5分所以，当时，所以.又，故对一切，有.因此，对一切，有. -1
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