2020届高中数学《平行关系的判定》导学案 北师大版必修2

第8课时平行关系的判定1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.若一个平面内的所有直线与另一个平面平行,这两个平面显然无公共点,所以它们是相互平行的,用这种方法来判断两个平面平行显然非常繁琐,那么能不能用一个平面内最少的直线与另一个平面平行来判断这两个平面平行呢?若一个平面内有一条直线与另一个平面平行,这两个平面是否平行?若有两条呢?问题1:判断平面外的一条直线与平面平行只需在平面找出一条直线与该直线平行即可;判断两个平面平行,只需在一个平面找出两条相交直线与另一个平面平行即可,它们分别是直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号语言:若a,b,ab,则a.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.符号语言:若a,b,ab=A,a,b,则.问题2:证明直线和平面平行的方法归纳:(1)定义法:根据条件判断已知直线与平面没有公共点,但要说明直线与平面无公共点往往比较困难,所以一般不采用定义法.(2)判定定理:在已知平面内找出一条直线,而这条直线与已知直线平行,从而符合判定定理的条件,进而可判定已知直线和已知平面平行.找“线线平行”常用以下方法:空间直线平行关系的传递性法;三角形中位线法;平行四边形法;成比例线段法.问题3:证明平面和平面平行的方法归纳:证明两个平面平行除了可以用两个平面平行的判定定理外,还可以用以下两种方法:(1)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行;(2)如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行,即平面平行具有传递性.这两个结论都可以用两个平面平行的判定定理推导得出,可以看作该定理的推理.问题4:证明直线和平面平行、平面和平面平行的基本思路.(1)证明直线和平面平行的基本思路:直线和平面平行的判定可转化为直线和平面内的一条直线平行,即“若线线平行,则线面平行”.由此可以看出,要证明平面外的一条直线和这个平面平行,可转化为在这个平面内找出一条直线和已知直线平行,就可以判定已知直线和这个平面平行.(2)欲证两个平面平行,只需证明一个平面内的两条相交直线同另一个平面平行,而证明线面平行则需要证明线线平行,由此可见,证明面面平行的基本思路为线线平行、线面平行、面面平行.1.下列条件中,能得出直线a与平面平行的条件是().A.a,b,abB.b,abC.b,ca,ab,cD.b,Aa,Ba,Cb,Db,且AC=BD2.下列说法正确的是().A.若平面内的无数条直线分别与平面平行,则B.两个平面分别经过两条平行线,则这两个平面平行C.过已知平面外一条直线,必能作出与该平面平行的平面D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与此平面平行3.已知直线l1,l2,平面,且l1l2,l1,则l2与的位置关系是.4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1C1,B1C1的中点.求证:EF平面ABC1.直线与平面平行的判定正方体ABCD A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线A1B、B1C的中点.求证: EF平面ABCD.平面与平面平行的判定如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,点E、D分别是B1C1、BC的中点.求证:平面A1EB平面C1AD.线面平行,面面平行的开放性问题如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H、N分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD、BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足什么条件时,有MN平面B1BDD1(填上一个正确的条件即可)?在四棱锥PABCD中,E、F分别是PD、AB的中点.那么EF与平面PBC的位置关系如何?请说明理由.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,分别过三个顶点作平面AB1D1、平面C1DB,求证:平面AB1D1平面C1DB.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、P分别是CC1、C1D1的中点,作出过MP且与截面A1BD平行的截面.1.在围成正方体ABCD-A1B1C1D1的面中,与平面AC平行的平面是().A.平面A1C1B平面AD1C.平面AB1D.平面BC12.已知a、b、c为三条不重合的直线,、为三个不重合平面,现给出六个命题:acbcab;abab;cc;caca;aa.其中正确的命题是().A.B.C.D.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是PC上的动点,当PE=PC时,PA平面BDE.第3题图第4题图4.如图,已知长方体ABCD A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点.求证:平面A1EFD1平面BCHG.(2020年新课标全国卷改编)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点.证明:BC1平面A1CD.考题变式(我来改编):第8课时平行关系的判定知识体系梳理问题1:两条相交直线a,b,aba,b,ab=A,a,b问题2:(1)没有公共点无公共点(2)平行问题3:(1)平行(2)传递性问题4:(1)线线线面一条直线(2)相交线线平行线面平行面面平行基础学习交流1.A选项B、C、D都缺条件a.2.D选项A、B中两平面还可能相交.选项C中,当直线与平面相交时,不能作出与该平面平行的平面.3.l2或l2因为l1平行于平面,所以在内存在直线b与l1平行.因为l2l1,所以l2b,所以l2或l2.4.解:因为E,F分别是A1C1,B1C1的中点,所以EFA1B1,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以EFAB,又EF平面ABC1,AB平面ABC1,所以EF平面ABC1.重点难点探究探究一:【解析】分别取AB、BC的中点G、H,连接EG,FH,GH.则由三角形中位线性质知: EGFH,且EG=FH,四边形EGHF是平行四边形,EFGH.EF平面ABCD,而GH平面ABCD,EF平面ABCD.【小结】本题利用中点关系构造平行四边形,从而在平面ABCD内确定了与EF平行的直线.利用中点关系确定线线平行是一种非常重要的技巧.探究二:【解析】连接DE.由DEBB1,又BB1AA1,DEAA1.由DE=BB1,又BB1=AA1,DE=AA1,四边形A1EDA是平行四边形,A1EAD.A1E平面C1AD,AD平面C1AD,A1E平面C1AD.易证得EBC1D,EB平面C1AD,C1D平面C1AD,EB平面C1AD.又A1EEB=E,平面A1EB经过A1E和EB,平面A1EB平面C1AD.【小结】要证明面面平行,关键是把问题转化为线面平行,再利用线面平行的判定方法进行证明.该问题还可利用“一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行,则这两个平面平行”的方法证明.探究三:【解析】M在FH上.理由:(1)当M为H点时.H、N为棱CD、BC的中点,HNBD.BD平面 B1BDD1,HN平面B1BDD1,HN平面B1BDD1,即MN平面B1BDD1.(2)当M为F点时,取BD的中点P,连接PN、FN、D1P,N为BC中点,F为D1C1中点,PND1F,PN=D1F,四边形D1PNF为平行四边形,FND1P.D1P平面B1BDD1,FN平面B1BDD1,FN平面B1BDD1,即MN平面B1BDD1.(3)当M为FH上任一点,作MQD1C1,交D1D于点Q,P为BD的中点,易知四边形MQPN为平行四边形,MNPQ.PQ平面 B1BDD1,MN平面B1BDD1,MN平面B1BDD1.综上可知,M在线段FH上.【小结】这类问题常将几个特殊点作为突破口,探究它们适合的条件,然后说明该条件下的一般点也满足题意,从而可确定问题的答案.思维拓展应用应用一:平行,理由如下:取PC中点G,连接EG、GB.由EGDC,FBDC,可知EGFB,又EG=12DC,FB=12DC,可知EG=FB,得四边形EGBF为平行四边形,EFGB.EF平面PBC,而GB平面PBC,EF平面PBC.应用二:DC1AB1,而DC1平面C1DB,AB1平面C1DB,AB1平面C1DB.同理可知: AD1平面C1DB,又AD1AB1=A,平面AB1D1平面C1DB.应用三:取B1C1的中点N,连接PN、MN,截面PMN即为所求的截面.证明如下:连接D1C,M、P分别是CC1、C1D1的中点,PMD1C.A1D1BC,A1D1=BC,四边形A1D1CB为平行四边形,A1BD1C,PMA1B,同理PNBD.PM平面PMN,PN平面PMN,PMPN=P,A1B平面A1BD,BD平面A1BD,平面A1BD平面PMN.基础智能检测1.A如图所示,由平面平行的判定定理知,平面A1C1内有两条相交直线A1D1、C1D1都平行于平面AC.2.C正确;错在a、b还可能相交或异面;错在与可能相交;错在a可能在内.3.12问题转化为E运动到什么位置时,平面BDE中能找到与PA平行的直线,连接AC交BD于点O,连接EO,则PA,EO是共面直线,因为O是AC的中