2020年高中数学《对数函数》导学案 北师大版必修1

第6课时对 数 函 数1.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性和特殊点.2.理解反函数的概念,能求简单的对数函数或指数函数的反函数.3.掌握对数函数的图像和性质,并利用对数函数的单调性解决综合性问题.噪音与对数声音一般用分贝(dB)来度量(见下表).感觉声源分贝(dB)有听觉蚊子飞过的声音0-10安静图书馆31-40中度大声电视机70很大声火车9040分贝以内是正常的环境声音,太大声便会造成噪音.噪音不仅会影响睡眠和休息,干扰工作,使听力受损,甚至会引起心血管系统、消化系统、神经系统等疾病.分贝的值是如何计算的呢?首先,设B为我们听觉所能觉察到的最低强度,如有一声源发出的声音强度为x,则此声源的分贝y的计算公式为y=10lgxB.问题1:(1)设一只蚊子飞过时的声音强度刚好为10B,则此强度所对应的分贝数为(列出等式);(2)在(1)的条件下,10只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数为,100只蚊子同时飞过时的声音强度所对应的分贝数为.问题2:(1)一般地,函数叫作对数函数,其中.x是自变量,函数的定义域为,值域是.(2)两种特殊的对数常用对数函数:以10为底的对数函数y=log10x写成,自然对数函数:以e为底的对数函数y=logex写成.问题3:反函数的定义:指数函数y=f(x)=ax和对数函数x=logay(a0,a1)刻画的是同一对变量之间的关系,所不同的是:在指数函数y=f(x)=ax中,是自变量,是的函数,其定义域是,值域是;在对数函数x=logay中,是自变量,是的函数,其定义域是,值域是.像这样的两个函数叫作互为反函数.通常情况下,x表示自变量,y表示函数,所以此时对数函数表示成y=f-1(x)=logax(a0且a1),这样对数函数y=f-1(x)=logax(x(0,+)和指数函数y=ax(xR)互为.问题4:作出对数函数y=logax当a1和0a1)y=logax(0a1)y=logax(0a0;当时,y0当时,y0在(0,+)上是函数在(0,+)上是函数1.已知点(2,m)是f(x)=log15x的反函数图像上的一点,则m的值为().A.5B.15C.10D.1252.函数y=x+a与y=logax的示意图画在同一平面直角坐标系中,可能是().3.已知函数y=f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=3x-1,设f(x)的反函数是y=g(x),则g(-8)=.4.若实数a满足loga230)C.f(2x)=2ex(xR)D.f(2x)=ln x+ln 2(x0)已知函数f(x)=log2(x2-2x+m+2),若该函数的值域为R,试求m的取值范围.1.函数y=1+log12x的反函数是().A.y=2x-1(xR)B.y=(12)x-1(xR)C.y=2x-1(xR)D.y=21-x(xR)2.函数f(x)=log2(3x+1),x1的值域为().A.(2,+)B.2,+)C.(0,+)D.0,+)3.对于0a1,给出下列四个等式:loga(1+a)loga(1+1a);a1+aa1+1a,其中成立的是.4.已知f(x)=log2x,g(x)=lg x.(1)当x为何值时,f(x)=g(x)?(2)当x为何值时,f(x)1?(3)当x为何值时,0g(x)0且a1(0,+)R(2)y=lg xy=ln x问题3:xyxR(0,+)yxy(0,+)R反函数问题4:(0,+)R(1,0)10x10x10x1增减基础学习交流1.D因为对数函数f(x)=log15x的反函数为y=(15)x,将(2,m)代入得m=125.2.CC中,0a1满足题意.3.-2由已知求出当x0时,f(x)=-3-x+1,再由互为反函数的关系得-3-x+1=-8,求出x=-2.4.解:原不等式可化为loga231时,对数函数y=logax是增函数,有a23,即a1;当0aa,即0a0,3x-10,3x-11同时成立,解得x1,x13,x23.综上所述,函数的定义域为(1,+).【小结】已知函数解析式求定义域,常规为:零指数次幂中,底数不为0;偶次根式被开方式(数)非负;对数的真数大于0,底数大于0且不等于1.探究二:【解析】(1)指数函数y=3x的反函数为对数函数y=log3x(x0);(2)对数函数y=log15x的反函数为指数函数y=(15)x(xR);(3)对数函数y=ln x的反函数为指数函数y=ex(xR);(4)指数函数y=(12)x的反函数为对数函数y=log12x(x0).【小结】求反函数的步骤:(1)由y=f(x)解出x=(y);(2)互换:x,y对换得反函数的解析式;(3)注意反函数的定义域.探究三:【解析】该函数的定义域为R,意味着不等式x2-2x+m+20的解集为R,即不等式对一切xR恒成立,也就是函数u(x)=x2-2x+m+2的图像在x轴上方.由题设,得不等式x2-2x+m+20,对一切xR恒成立.=(-2)2-4(m+2)-1.【小结】研究复合函数的性质时,要分层研究.思维拓展应用应用一:要使函数有意义,则4x-10,x0,log12x-10x14,x0,x12.其定义域为x|00.应用三:要使函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域为R,则x2-2x+m+20恒成立,所以应用=(-2)2-4(m+2)-1,即m的取值范围为(-1,+).问题上述解法正确吗?结论错误,上述解法错误的原因在于没有准确地理解函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域为R的意义.令u(x)=x2-2x+m+2,根据对数函数的图像和性质可知,当且仅当x2-2x+m+2的值能取到一切正实数时,函数f(x)=log2(x2-2x+m+2)的值域才是R.而当0恒成立,只能证明函数的定义域为R,而不能保证u(x)可以取到一切正数.要使u(x)能够取到一切正数,结合二次函数图像可知,u(x)的图像应与x轴有交点才能满足.于是,正确解答如下:=(-2)2-4(m+2)0,解得m-1.即m的取值范围为(-,-1.基础智能检测1.Dy-1=log12x,(12)y-1=x,即21-y=x.反函数为y=21-x(xR).2.B设y=f(t),t=3x+1.t=3x+1在1,+)上是增函数,t31+1=4.又y=log2t在4,+)上是增函数,ylog24=2,函数f(x)的值域为2,+).3.由于0a1a1a1+aloga(1+1a),a1+aa1+1a