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文档简介

收敛数列的性质,教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。,教学要求：（）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限。,1.唯一性,定理每个收敛的数列只有一个极限.,若数列,收敛，,则它只有一个极限。,一、数列极限的性质,证,故极限唯一.,由定义,2.有界性,定理2.3收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论无界数列必定发散.,3.保号性,定理2.4,若,（或,），则对任何,（或,），存在正数，使,时有,（或,）。,得当,4.保不等性,定理2.5,设数列,与,均收敛，若存在正数,使得当,时有,，则,。,，,思考：如果把条件“,”换成“,把结论换成,”，那么能否,？,证,5.夹逼准则,本定理既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。,设收敛数列,、,都以a为极限，数列,满足：存在正数,，当,时有,则数列,收敛，且,.,定理2.6,上两式同时成立,证,注意:,例2求数列的极限。,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例3,解：记，这里，则有：左右两边的极限均为1，故由夹逼准则本例得证。,解,由夹逼定理得,6、极限运算法则,例：求,解：由于,所以,例：求,解：,例4求,解:,解：若,则,若,，则由,有,若,，则,例5求,解：由于,故,从而,二数列的子列,子列的定义,定义设,为正整数集,的无限,称为数列,的一个子列，简记为,.,子集，且,注1,的子列,的各项都来自,且保持这些项在,中的的先后次序,为数列，,则数列,注2子列,中的,表示,是,中的第,项，,表示,是,中的第k项,注3数列,本身以及,去掉有限项以后得到的子列，称为,的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为,平凡子列。,的非,数列,与它的任一平凡子列同为收敛或发散，,时有相同的极限。,且在收敛,定理2.8数列,收敛,的任何非平凡子,列都收敛。,2子列与其本敛散性关系,若数列,有一个子列发散，或有两个子列收敛而,注,极限不相等，则数列,一定发散。,如,收敛于是1,收敛于是-1。,故,发散,例：证明,证
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