第四章——流体动力学分析基础.ppt

1,4.1系统与控制体,1.基本物理定律,质量守恒定律,能量守恒定律（热力学第一定律）,动量守恒定律（牛顿运动定律）,连续性方程,动量方程和动量矩方程内维尔斯托克斯方程,伯努利方程能量方程,2,2.微分方法和积分方法,微分方法：将基本物理定律应用到流体微元或微元控制体上,可得到微分形式的基本方程，求解方程可得到物理量的空间分布规律。,积分方法：将基本物理定律应用到有限体积控制体上，可得积分形式的基本方程。求解方程可得到物理量在有限体积区域上的总体量的变化规律。,4.1系统与控制体,3,系统：一定质量的流体质点的集合,相当于热力学中的闭口系,3.系统和控制体,控制体：流场中确定的空间区域。相当于热力学中的开口系,其边界面称为控制面.,4.1系统与控制体,4,4.2雷诺输运定理,1.雷诺输运方程,描述了系统内流体参数变化与控制体内流体参数的变化之间的关系。,定义B为系统内任一物理量，为单位质量的该物理量，则,或者,5,4.2雷诺输运定理,系统内物理量随时间变化可以表示为：,其中,6,4.2雷诺输运定理,所以：,展开后有：,控制体内B的变化率,B通过控制面净流出率,B通过控制面净流入率,7,4.2雷诺输运定理,控制体内物理量B随时间变化率：,由于控制体相对静止且固定不变,8,4.2雷诺输运定理,单位时间内通过微元控制面的流出的体积通量为：,I,II,III,单位时间内通过微元控制面的流入的体积通量为：,物理量B的净流出率：,9,4.2雷诺输运定理,得到雷诺输运方程,4-8,雷诺输运方程。表示了系统内物理量B随时间的变化率，等于控制体内该物理量随时间的变化率加上通过控制面该物理量的静流出率。,式中B是系统内任一物理量，是单位质量的该物理量，即=dB/dm；s系统，c.v控制体，c.s控制面，V速度，n控制面的外法线方向,10,2.雷诺输运方程的物理意义,4.2雷诺输运定理,流体质点参数B的随体导数=当地导数+迁移导数,流体系统参数B的随体导数=Bc.v对时间的导数+B的净流出率,以流体质点和空间坐标点为研究对象，适用于微分分析,以系统和控制体为研究对象，适用于控制体分析,定常条件下,4-9,定常条件下系统内物理量B的变化仅与通过控制面的流动有关，与其内部状态无关，可以得到积分形式的控制方程,11,4.3流体流动的连续性方程,1.连续性方程,质量守恒定律系统内的流体在流动过程中质量不发生变化。,令雷诺输运方程中的物理量B为系统的质量m,则单位质量的物理量=dB/dm=1，雷诺输运方程为：,4-10,由质量守恒定律知，系统内的质量不变，（dm/dt）s=0，所以,4-11,积分形式的连续性方程，表示通过控制面的净质量流出率等于控制体内部质量的减少率。适用于任何流体的定常和不定常流动。,12,2.不可压缩流体的连续性方程,对于定常流动或者不可压缩流体，式（4-11）可以简化为：,4-12,考虑图4-4所示的微元流管内不可压缩流体的流动，在流管壁面上（Vn）=0,截面1上（V1n1）=-V1，截面2上（V2n2）=V2，因此,4-13,对不可压缩流体的流动，通过控制面净流出的体积流量恒为零,4.3流体流动的连续性方程,13,对于任意有限截面的流管，如果和为A1、A2两个有效截面上的平均流速，则有,4-13,不可压缩流体一维流动的连续性方程。,【例4-1】已知油的密度为850kg/m3，在内径为0.2m的输油管道截面上的流速为2m/s，求另一内径为0.05m的截面上的流速及管道内的质量流量。,【解】由不可压缩流体连续性方程有,其质量流量,4.3流体流动的连续性方程,14,3.可压缩流体定常流动的连续性方程,4-14,对于可压缩的定常流动，由式4-11:,对可压缩流体定常流动，通过控制面净流出的质量流量恒为零,对于任意有限截面的流管，如果和为A1、A2两个有效截面上的平均流速，12为两个有效截面上的密度，有,4-14a,4.3流体流动的连续性方程,4-14b,或者,15,4.4理想流体的能量方程,能量守恒定律热力学第一定律：系统内的能量变化率等于单位时间内外界对系统所做的功加上单位时间内外界传递给系统的热量,4-15,系统能量对时间的变化率，是空间和时间的函数（状态量）,系统热量随时间的变化率，是时间的函数（过程量）系统吸热，Q为正值；系统放热，Q为负值。,系统与外界作功随时间的变化率，是时间的函数（过程量）环境对系统作功，W为正值；系统对环境作功，W为负值。,16,对式中4-15系统能量变化率应用雷诺输运方程，则B=E，=dE/dm=e,联立式（4-15）得,单位时间内输入系统的热量与环境对系统作功之和，等于控制体内能量对时间变化率加上通过控制体表面的能量流率。,通常条件下，不考虑系统与外界的热交换，即认为Q=0,4-16,4-17,通过控制面的作功,4.4理想流体的能量方程,17,其中表面应力，对于理想无粘流体，切应力为零，且法向应力，所以,代入4-17，对于定常流动有,重力场中,所以：,重力场中理想流体定常绝热流动的能量方程,4-24,4.4理想流体的能量方程,18,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,1.伯努利方程,将重力场中理想流体定常绝热流动的能量方程（4-24）应用到微元流管中，在微元流管壁面上Vn=0，在流入截面A1上，Vn=-V1，在流出截面上Vn=V2，则,在被积函数在微元面上积分，,不可压理想流体与外界无热交换的条件，内能、密度为常数,4-26,4-27,19,伯努利方程。表示了不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时，沿流线单位质量流体的动能、位置势能和压强势能之和守恒的规律。式中各项的单位为J/kg,4-28,即,伯努利方程的限制条件为：,定常流动；无粘流体（忽略粘性影响）；不可压缩流体；沿流线,伯努利方程的条件虽然苛刻，但应用广泛,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,20,对4-28式除以重力加速度g，可以得到单位重量流体的伯努利方程,4-29,式4-29中，各项的单位为J/N，即米（m）。,2.伯努利方程的物理意义,V2/(2g)为单位重量流体具有的动能速度水头；z为单位重量流体所具有的位势能位置水头；p/(g)为单位重量流体的压强势能压强水头。,因此伯努利方程描述了理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和守恒。,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,21,位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头H。因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和为常数。,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,22,3.总流伯努利方程,式4-28描述单位质量流体沿流线流动时总机械能守恒。在由无数流线组成的流束中，将伯努利方程中三项机械能在有效截面A上按质量流量积分，总机械能沿流束仍保持守恒，即,利用有效截面上的压强分布满足静力学规律，得到,用总流有效截面上的平均速度代替不均匀的速度分布，为此引入动能修正因子，,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,23,所以总流的伯努利方程为：,方程成立的限制条件是：（1）忽略粘性摩擦；（2）不可压缩流体；（3）定常流动；（4）无能量的输入和输出,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,4-30,24,4.伯努利方程的应用,（）小孔出流,如图所示一敞口水箱，侧壁下部开一小孔，假定水箱内水位保持不变，求水从小孔流出的速度与孔口到液面的垂直距离之间的关系。,从自由液面上1和小孔2之间找一根流线，建立1-2两点之间的伯努利方程,由边界条件V1=0，Z1=h,P1=Pa，Z2=0,P2=Pa,得到,4-30,托里拆利公式，液面上流体质点的位能全部转化为小孔出流的动能。,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,25,（2）皮托管,皮托管通过测量总压与静压之差来测量流体速度的一种装置,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,26,当液流流到测速管入口前的0点处，液流受到阻挡，流速变为零，形成驻点。驻点的压强称为总压，选择过0点的一个流线上的另一点1，列伯努利方程,其中，V0=0，Z0=Z1，p0=gh0，p1=gh1，可以得到,4-31,工程上由于流体的粘性使流动产生能量损失，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用上式计算出的要小，因此引入校正系数,4-31b,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,27,如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，此时,在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,28,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,比托管的应用空速管,29,（3）文丘里管流量计,文丘里流量计用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图所示。其原理是管道收缩，流速增加，压强降低；通过测量压强的变化来求出管道中流体的体积流量。,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,30,在中心流线上列1-2两点间的伯努利方程,当管道水平放置时z1=z2，根据不可压流体的连续性方程V1A1=V2A2，即V1=V2A2/A1，可得,所以，流量为,4-32,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,31,得到流量表达式的另一种形式,由流体静力学压强分布关系式,4-32a,工程上为了便于使用通常将两测压管做成U型管的形式，同样考虑粘性引起的能量损失后，,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,32,【例4-2】如图4-9所示，水沿渐缩管道垂直向上流动。已知d1=0.3m,d2=0.2m，压力表显示相对压强为p1=196kPa,p2=98.1kPa,h=2m，不计摩擦损失，试计算流量。,【解】在渐缩管道的入口和出口建立伯努利方程,利用z1=0，z2=2m，以及连续性方程,4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程,33,4.6动量定理,1.定常流动的动量方程,用于求解流体边界上流体与固体的相互作用，是动量定理在流体流动问题上的应用。,动量定理：系统内流体动量对时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和。,通过雷诺输运方程B=mV，则=V，带入雷诺输运方程,对于定常流动有,4-35,34,式4-35表示了作用在控制体上的合力等于流出、流入控制体的净动量流率。上式是一个矢量方程，通常进行分解后求解,式4-36表明定常流条件下，作用于控制体上合力沿三个坐标轴的分量与流出、流入控制面的净动量流率在三个坐标轴的分量相等。,4-36,注：（1）Fx,Fy,Fz,u,v,w可正可负，取决于坐标轴的方向（2）（Vn）当流进控制体为负，流出控制体为正,4.6动量定理,35,（1）合力项,作用在系统上的合力包括作用在控制体上的质量力和控制面上的面积力,若流体仅处于重力场中，则质量力为,面积力包括（1）与固体接触的控制面受到固体的作用力（2）周围流体接触作用产生的面积力,其中质量力,其中-n表示流体在控制面上受到的作用力指向控制面内部,4.6动量定理,36,（2）净动量流率项,当选择合适的控制体使V和在控制面上均匀分布时，净动量流率为,其中Vn=Vn是控制面上的法向速度的值，VnA表示通过控制面的体积流量Q，所以,分解到三个坐标轴上为,4-38a,4-38b,4-38,4.6动量定理,37,2.动量方程的应用,动量方程应用要点：（1）选择合适的控制体，包含尽可能多的已知条件（2）选择确定的坐标系以简化条件（3）将外力、动量流率向确定的坐标轴投影，求该坐标方向上的分量（4）假定待求力的方向与所选坐标方向一致，若结果为负，则说明力的实际方向与假定方向相反,4.6动量定理,38,【例4-3】如图4-10所示，水从固定喷嘴定常流出，垂直冲击一平板。水离开喷嘴的速度V1=20m/s,喷嘴出口面积A1=0.005m2。假定水冲击平板后沿平板流动。水的密度为1000kg/m3,试确定支撑这块平板所需的水平力。,【解】选择包围平板并切割水流和支撑架的矩形为控制体，沿水射流方向建立x轴，垂直方向为y轴。支撑架对控制体有作用力Rx，假定其沿x正向，列x方向上的动量方程：,4.6动量定理,39,支撑该平板的水平力大小为2000（N)，方向与x轴反向,所以,重力场中,而面积力,动量流率项有一个流入项和两个流出项，其中流出项与x轴垂直，在x轴分量为零,4.6动量定理,40,【例】水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6104Pa，管中流量Qv=0.1m3/s，若直径d1=300，d2=200，转角=600，如图所示。求水对弯管作用力F的大小,4.6动量定理,41,【解】水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。,（1）根据连续性方程可求得：,4.6动量定理,42,得2-2面上压强：,（3）写出动量方程,假定壁面对控制体内水的作用力为Rx、Ry，其方向如图，沿x轴方向列动量方程,4.6动量定理,（2）列管道进、出口的伯努利方程,43,沿y轴方向列动量方程,管壁对水的作用力合力,水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反,4.6动量定理,44,4.7角动量定理,1.定常流动的角动量方程（动量矩方程）,角动量方程描述了作用于流体系统上的力矩与角动量随时间的变化关系。可以确定流体和外界之间作用力的位置。,动量矩定理：单位时间内流体系统对转动轴的动量矩（角动量）的变化率，等于作用于系统上所有外力对同一轴的力矩之和。,4-44,45,4-47,表示定常流动时作用在控制体（系统）上所有力的力矩矢量和，等于流入、流出控制面的净角动量流率。,令雷诺输运方程中，则,将上式代入4-44得,在定常条件下,4.7角动量定理,46,4.7角动量定理,2.角动量方程的应用,【例4-6】一草坪洒水器在水平面（xy平面）内绕z轴等角速度旋转，转速为120r/min。如图所示，水从中心垂直管进入，经过转臂两端的喷嘴喷出，进水流量Qi=0.006m3/s，喷嘴出口截面积A0=0.001m2，撒水臂长R=0.2m。（1）为使洒水器维持该等角速度旋转，外界需加的阻力矩为多少？（2）如果阻力矩为零，则洒水器的旋转角速度将为多少？,47,4.7角动量定理,【解】建立如图所示坐标系，z轴为旋转轴，选择洒水器旋转臂与x轴重合时围绕洒水器建立控制体。,（1）设维持120r/min需要的力矩为T,其中控制体周围大气压产生的压力对O点力矩为零，控制体内质量力对O点对称，其力矩也为零。假设外力矩T沿z轴正向，所以,而,48,4.7角动量定理,其中o1，o2表示两个出口，i表示进口。对于进口处ri=0(速度平行于)z轴，两个出口的动量矩大小相等，方向相同，所以有,Vo为洒水器出口的绝对速度（相对于静止的坐标系的速度），等于出口的相对速度减去喷嘴运动的牵连速度。,其中,所以,49,4.7角动量定理,（2）阻力矩为零时的转速,所以,转速,50,4.8微分形式的守恒方程,1.连续性方程,方程的导出：,积分形式的连续性方程的一般形式,高斯定理:物理量对控制面的面积分,等于该物理量的散度在控制面所包围的控制体内的体积分,所以,对积分形式的连续性方程进行数学变换,51,由于控制体选择的任意性，可知被积函数必为零,4-54,微分形式的连续性方程一般形式,方程的适用条件：满足连续介质假设的任何流动,4.8微分形式的守恒方程,52,微元六面体的质量守恒分析,4.8微分形式的守恒方程,如图所示，设流体流过以M(x,y,z)为基点，以dx,dy,dz为边长的微元控制体。,在t时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为,同理在t时间内沿y方向和z方向净流出控制体的质量为,53,在t时间内，微元六面体流体的质量变化为,按质量守恒定律，在t时间内沿三个方向净流出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：,4.8微分形式的守恒方程,54,4.8微分形式的守恒方程,对于定常流动，由式4-54可得连续性方程变为：,4-58,55,4.8微分形式的守恒方程,【例4-8】不可压缩二维平面流动，y方向上的速度分量为v=y2-y-x，求x方向的速度分量u，假定x=0时u=0,【解】将不可压缩流体的连续性微分方程应用到二维流动,将y方向上的速度分量v代入得,积分后有,利用边界条件x=0时u=0，得f(y)=0,所以u=(1-2y)x=x-2xy,56,4.8微分形式的守恒方程,2.内维尔斯托克斯方程,对图示微元六面体应用牛顿第二定律，有,其中作用在微元六面体上的质量力,作用在微元六面体上的面积力包括法向力和切向力,57,4.8微分形式的守恒方程,将质量力和面积力代入到4-64并化简后得到运动微分方程：,其中应力的第一个下标表示应力作用面的法线方向，第二个下标表示应力的方向。（注：这里的法向应力不等于静压强）,4-68,58,4.8微分形式的守恒方程,其中法向应力,上式中p为流体的静压强，xx、yy、zz，为流体的粘性变形引起的法向应力。因此式（4-68）式（4-70）变为,59,4.8微分形式的守恒方程,写成矢量形式为：,而ij为作用在微元六面体上的黏性应力张量,4-71,以应力形式表示的粘性流体的运动微分方程,其中ij为作用在微元六面体上的应力张量,60,4.8微分形式的守恒方程,（1）理想流体的欧拉运动微分方程,对于理想流体ij=0，式4-71简化为,在笛卡尔坐标系中可以分解为,4-72,4-73,理想流体的欧拉运动微分方程,61,4.8微分形式的守恒方程,（2）黏性流体的内维-斯托克斯方程,对于流体的三维流动，斯托克斯提出了广义牛顿内摩擦定律，给出了应力和应变之间的关系,对于切向应力,4-74,62,4.8微分形式的守恒方程,上式表明流体的法向应力不仅与流体的静压强相关，而且与流体的线变形速率和速度的散度有关，而三项和为,4-75,对于法向应力,式4-76表明粘性流体三个相互垂直方向上的法向应力的平均值等于流体静压强的值,4-76,63,4.8微分形式的守恒方程,将以应变形式表示出来的应力（式4-74式4-75）代入粘性流体的运动微分方程（式4-68式4-70）并整理后得：,内维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程的一般形式，期中为拉普拉斯算子,64,4.8微分形式的守恒方程,对于不可压缩流体N-S方程简化为,对于理想无粘流体N-S方程简化为欧拉运动微分方程4-72，对于静止流体N-S方程简化为静止流体的欧拉平衡微分方程。,4-80,注：理论上N-S方程包含u,v,w和p四个未知量，结合流体的连续性方程可以构成封闭的方程组，完成对流场的积分求解实践中仅能对某些简单的流动在适当的假设下进行求解对于可压缩流体，还要结合状态方程求解当涉及到作功、传热和内能变化时需要结合能量方程求解,N-S方程在柱坐标和球坐标下的形式见教材和参考书,65,3.能量方程（简介）,类似于连续性方程和运动方程的导出过程，将热力学第一定律应用到微元控制体,对该微元体进行传热、与外界作功和内能变化进行分析后可以得到,4.8微分形式的守恒方程,66,4.8微分形式的守恒方程,4.基本微分方程组的定解条件,对于工程流体力学常见的流动问题利用连续性方程和运动方程即可联立积分求解，为了给出特解需要给出定解条件以确定积分常数。,（1）初始条件非定常流动，待求变量在t=t0时刻的空间分布,定常流动不需要初始条件,67,4.8微分形式的守恒方程,（2）边界条件包围流场的边界上的流动参量值。三种典型的边界条件：,壁面无滑移条件,粘性流体与固体壁面接触时，在壁面上流体速度等于固体壁面的速度,对无粘性流体，无需满足无滑移条件，但法向速度仍应连续,68,4.8微分形式的守恒方程,进口与出口条件,对内流问题，进口和出口的速度和压强分布