2018年奥林匹克数学竞赛第3讲 轴对称及轴对称变换

奥林匹克数学竞赛第3讲轴对称及轴对称变换考点方法破译1轴对称及其性质把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴轴对称的两个图形有如下性质关于某直线对称的两个图形是全等形；对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上2线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系位置关系垂直；数量关系平分性质定理线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等判定定理与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件经典考题赏析【例】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴故选D【变式题组】01将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）02（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC向右平移两个单位长度得到ABC，则与点B关于X轴对称的点的坐标是（）A（0，1）B（1，1）C（2，1）D（1，1）【解法指导】在ABC中，点B的坐标为（1，1），将ABC向右平移两个单位长度得到ABC，由点的坐标平移规律可得B（12，1），即B（1，1）由关于X轴对称的点的坐标的规律可得点B关于X轴对称的点的坐标是（1，1），故应选D【变式题组】01若点P（2，3）与点Q（A，B）关于X轴对称，则A、B的值分别是（）A2，3B2，3C2，3D2，302在直角坐标系中，已知点P（3，2），点Q是点P关于X轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是_03（荆州）已知点P（A1，2A1）关于X轴的对称点在第一象限，则A的取值范围为_【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（ACB90），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若ACB170，则ACD（）A30B20C15D10【解法指导】由折叠知BCDB1CD设ACDX，则BCDB1CDACB1ACD70X又ACDBCDACB，即X（70X）90，故X10故选D【变式题组】01（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D、C的位置若EFB65，则AED等于（）A70B65C50D2502如图，ABC中，A30，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时CDB82，则原三角形中B_03（江苏）观察与发现小明将三角形纸片ABC（ABAC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到AEF（如图）小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗请说明理由实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D处，折痕为EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小【例4】如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证BCAF【解法指导】EF是AD的中垂线，则可得AEFDEF，EAFEDF从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可证明EF是AD的中垂线，AEDE，AEFDEF，EFEF，AEFDEF，243，3B1，24B1，12，B4【变式题组】01如图，点D在ABC的BC边上，且BCBDAD，则点D在_的垂直平分线上02如图，ABC中，ABC90，C15，DEAC于E，且AEEC，若AB3CM，则DC_CM03如图，ABC中，BAC126，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则EAG_04ABC中，ABAC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB12CM，BCF的周长为20CM，则ABC的周长是_CM【例5】（眉山）如图，在33的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的DEF【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的DEF如图所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的DEF如图所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的DEF如图所示【变式题组】01（泰州）如图，在22的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格点图中所有与ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有_个02（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；涂黑部分成轴对称图形如图乙是一种涂法，请在图13中分别设计另外三种涂法（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短【解法指导】所求问题可转化为CD上取一点M，使其AMBM为最小；本题利用轴对称知识进行解答解先作点A关于直线CD的对称点A，连接AB交CD于点M，则点M为所求，下面证明此时的AMBM最小证明在CD上任取与M不重合的点M，AA关于CD对称，CD为线段AA的中垂线，AMAM，MAM,在AMB中，有ABAMBM，AMBMAMBM，AMBMAMBM，即AMBM最小【变式题组】01（山西）设直线L是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到L地距离分别为2千米、5千米，欲在L上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（）02若点A、B是锐角MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点演练巩固反馈提高01（黄冈）如图，ABC与ABC关于直线L对称，且A78，C48，则B的度数是（）A48B54C74D7802（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A正三角形B正方形C正五边形D正六边形03图1是四边形纸片ABCD，其中B120，D50，若将其右下角向内折出PCR，恰使CPAB，RCAD，如图2所示，则C（）A80B85C95D11004如图，阴影部分组成的图案既是关于X轴成轴对称的图形又是关于Y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（）AM（1，3），N（1，3）BM（1，3），N（1，3）CM（1，3），N（1，3）DM（1，3），N（1，3）05点P关于X轴对称的对称点P的坐标是（3，5），则点P关于Y轴对称的对称点的坐标是（）A（3，5）B（5，3）C（3，5）D（5，3）06已知M（1A，2A2）关于Y轴对称的点在第二象限，则A的取值范围是（）A1A1B1A1CA1DA107（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是_08（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4CM，则图中阴影部分的面积为_CM209已知点A（2A3B，2）和B（8，3A2B）关于X轴对称，则AB_10如图，在ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且ABO20，ABC45，求BAC和ACB的度数11如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球请画出A球经过的路线，并写出作法12如图，P为ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PMBC于M，PNBA的延长线于N求证ANMC13（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图（画出的两个图案不能全等）01（浙江竞赛试题）如图，直线L1与直线L2相交，60，点P在内（不在L1L2上）小明用下面的方法作P的对称点先以L1为对称轴作点P关于L1的对称点P1,再以L2为对称轴作P1关于L2的对称点P2，然后再以L1为对称轴作P2关于L1的对称点P3，以L2为对称轴作P3关于L2的对称点P4，如此继续，得到一系列P1、P2、P3PN与P重合，则N的最小值是（）A5B6C7D802在平面直角坐标系中，直线L过点M（3，0），且平行于Y轴如果ABC三个顶点的坐标分别是A（2，0），B（1，0），C（1，2），ABC关于Y轴的对称图形A1B1C1，A1B1C1关于直线L的对称图形是A2B2C2，写出A2B2C2的三个顶点的坐标；如果点P的坐标是（A，0），其中A0，点P关于Y轴的对称点是点P1，点P1关于直线L的对称点是P2，求PP2的长03（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案04（宜昌）已知如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M求证ABCD；若BAC2MPC，请你判断F与MCD的数量关系，并说明理由05在ABC中，BAC90，点A关于BC边的对称点为A，点B关于AC边的对称点为B，点C关于AB边的对称点为C，若SABC1，求SABC06（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题如图，在作业本上画一条直线L，在直线L两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长A厘米，并关于直线L对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点B厘米、与直线L的距离C厘米，按以下程序起跳第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以L为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以L为对称轴跳至P1点；画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）棋子按上述程序跳跃2011次后停