2018年奥林匹克数学竞赛第4讲 等腰三角形

奥林匹克数学竞赛第4讲等腰三角形考点方法破译1等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边3构造等腰三角形的常用方法角平分线平行线等腰三角形角平分线垂线（或高）等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形将2倍角转化为相等角构造等腰三角形21312214321经典考题赏析【例】等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为_【解法指导】若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况解如图1，当一腰上的高在三角形内时，ACD400，A500BACB如图2，当一腰上的高在三角形外时，ACD400，DAC500DACBACB2BBACB250，故填650或250CADBACDB图2图1【变式题组】01（呼和浩特）在等腰ABC中，ABAC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A7B11C7或11D7或1002（黄冈）在ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则B_度03（襄樊）在ABC中，ABAC12CM，BC6CM,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1CM的速度沿BAC的方向运动设运动时间为T，那么当T_秒时，过D、P两点的直线将ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍【例】如图，在ABC中，ABAC，点D在AC上，ADBDBC，求A的度数【解法指导】图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数解设AX,BDAD，AABDX，BDCAABD2X，BDBC，CBDC2X，ABAC，CABC2X，在ABC中,AABCACB180X2X2X180，X36，A36【变式题组】01如图，在ABC中，ABAC，BDBC,ADDEEB，求A的度数02如图，在ABC中，ABAC，BCBDEDEA，求A的大小【例】已知坐标原点O和点A（2，2），B是坐标轴上的一点若AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（）个A4B5C6D8【解法指导】AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明AOOB,OAAB,BABO,又B是坐标轴上的点要考虑X轴与Y轴两种情况解如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线与坐标轴的交点；如图2，当OA为腰时，若O为顶点，则B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又CABDABCDPEB在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；如图3，当OA为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点故选D【变式题组】01海南竞赛试题在平面直角坐标系XOY内，已知A（3，3），点P是Y轴上一点，则使AOP为等腰三角形的点P共有（）A2个B3个C4个D5个02如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是1，0,点B的坐标是（0，），点C在坐标平面内若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_个03（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，BEG600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与BEG相等的角的个数为（）A4B3C2D104（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB4，BC，点E是折线段ADC上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点在点E运动的过程中，使PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）A2个B3个C4个D5个【例】（枣庄）两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由图3图2图1B8B7OB6B3B4B5B1B2OOXYYXYXAAA第2题图第3题图第4题图ACBMDE例4题图【解法指导】判断MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证EMC900，而ABD为等腰三角形，M是BD的中点，若连接AM则有AMD900,因而只需证DMEAMC,利用全等三角形即可解的形状是等腰直角三角形，理由如下EMC连接，由题意得A90DBAC，90又，1452DM1590ME，DCA又，90E所以的形状是等腰直角三角形【变式题组】01如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当EPF绕顶点P旋转时点E不与A、B重合，PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由02如图，在等腰三角形ABC中，ACB900，D是BC的中点，DEAB垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G求证ADCF连接AF，试判断ACF的形状，并说明理由03如图，ABC中，ACB900，ACBC,CO为中线现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H试写出图中除ACBC,OAOBOC外其他所有相等的线段；请选一组你写出的相等线段给予证明【例】我们知道有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；如图，在中，点分别在上，设相交于点，若ABCDE，ABC，DBE，O，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中6012A哪个四边形是等对边四边形；在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且60，C，探究满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明DBEA你的结论【解法指导】证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题解如平行四边形、等腰梯形等答与A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形；答此时存在等对边四边形，是四边形DBCE证法一如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点DCBEBCA，BC为公共边，BCFCBG，BFCG，BDFABEEBCDCB，BECABEA，BDFBEC，可证BDFCEG，BDCE四边形DBCE是等边四边形证法二如图2，以C为顶点作FCBDBC，CF交BE于F点DCBEBCA，BC为公共边，BDCCFB，BDCF，BDCCFB，ADCCFE，ADCDCBEBCABE，FECAABE，ADCFEC，BOADECBOADECG图1BOADECF图2FECCFE，CFCE，BDCE，四边形DBCE是等边四边形【变式题组】01如图，在ABC中，B2C，AD为BAC的平分线求证ACABBD02天津初赛试题如图，在四边形ABCD中，ACBBAD1050，ABCADC450，若AB2，求CD的长03如图，在ABC中，ABAC，D在AB上，F在AC延长线上，BDCF求证DEEF【变式题组】01重庆已知一个等腰三角形两内角的度数之比为14，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A200B1200C200或1200D360002（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（）A9B15C15D12或1503（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（）A13B14C15D1604如图，C、E和B、D、F分别在GAH的两边上，且ABBCCDDEEF，若A180，则GEF的度数是（）A800B900C1000D108005如图，RTABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EFAB于F，则下列结论中不正确的是（）AACDBBCHCEEFCCHHDDACAF06如图，ABC中，ABC与ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论BDF和CEF都是等腰三角形；DEBDCEADE的周长等于AB与AC的和；BFCF其中正确的有（）ABCD07（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OAOBOC,ABCADC700,则DAODCO的大小是（）A700B1100C1400D150008（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为X，则X的取值范围是_09如图所示，在ABC中，已知ABAC，A360，BC2，BD是ABC的角平分线，则AD_10威海如图，ABAC，BDBC,若A400，则ABD的度数是_11乌鲁木齐在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式，ABDCEBCAECD要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由（写出一种即可）已知求证是等腰三角形证明12（泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结BCE，DC请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明结论中不得含有未标识的字母）；证明D图1图2DCEAB13（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的A10B8BCDAB中点如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否P全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等BDC若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪AAC条边上相遇BEDACAQCDBP14（临沂）如图1，已知中，把一块含角的ABC190ABC30直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，DEFDE长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转DEF在图1中，交于，交于MN证明；N在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请ABCMBN说明四边形的面积是否发生变化若发生变化，请说明是如何变化的若B不发生变化，求出其面积；继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，DEDF是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；D继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，FNAB是否仍然成立请写出结论，不用证明MNACFEB图1ACFEBM图2DCNEBM图3培优升级奥赛检测01如图，BAC与CBE的平分线相交于点P，BEBC,PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，下列结论GAGPBP垂直平分CE；FPFC其中正确的判断有（）A只有B只有C只有D只有02如图，点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于25的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（）A10个B12个C14个D16个03如图，在ABC中，ABBC,MNNA,BAMNAC,则MAC_04如图，AA、BB分别是EAB、DBC的平分线，若AABBAB则BAC的度数为_05全国联赛在等腰RTABC中，ACBC1，M是BC的中点，CEAM于E,交AB于F则_06如图，在ABC中，ABAC,EF为过点A的任意一条直线，CFBC,BEBC求证AEAFFBACE07（湖州市竞赛试题）如图，在RTABC中，ACB900，CDAB于D，AE平分BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BFCE，求证FKAB08四川省初二数学联赛试题有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数09如图，