2018年奥林匹克数学竞赛第7讲 变量与函数

奥林匹克数学竞赛第7讲变量与函数考点方法破译1函数的概念及其表示方法函数的定义在一个变化过程中，有两个变量X和Y，对于给定的每一个X值，Y都有唯一确定的值与其对应，那么,X是自变量，Y是X的函数函数的表示方法解析法用含有自变量的代数式表示函数的方法；列表法把自变量X的一系列值和函数Y的对应值列成表格来表示函数的方法；图象法用图象表示函数关系的方法2自变量取值范围的确定自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义，且必须符合实际问题的要求经典考题赏析【例】（兰州）函数中自变量X的取值范围是（）312XYAX2BX3CX2且X3DX2且X3【解法指导】求X的取值范围，可根据题目要求列出下列式子解得02XX2且X3,故选A【变式题组】01（大兴安岭）函数中，自变量X的取值范围是_1XY02芜湖函数中自变量X的取值范围是_3203函数中自变量X的取值范围是_XY2104已知函数Y2X1中的自变量X的取值范围是0X10，则Y的取值范围是_【例】汽车由北京驶往相距850KM的沈阳，它的平均速度为80KM/H，求汽车距沈阳的路程SKM与行驶时间TH的函数关系式，写出自变量的取值范围【解法指导】此题属于行程问题，其基本数量关系是速度时间路程因此汽车行驶TH的路程是80TKM与汽车距沈阳的路程SKM及北京与沈阳的距离850KM之间的等量关系是80TS8502由于S与T都应是非负数可确定自变量的取值范围解由题意得，S85080T又由于即解得0T0T085T85因此汽车距沈阳的路程S与时间T的函数关系式为S85080T,自变量的取值范围是0T85【变式题组】01已知三角形的面积为20CM2,设它的底边长为XCM，则底边上的高YCM关于X的函数关系式为_,自变量的取值范围是_02等腰三角形的周长是40CM，腰长YCM与底边长XCM关系的函数解析式正确的是（）AY05X200X20BY05X2010X20CY2X4010X20DY2X400X2003某市为了鼓劲居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费若每月每户用水不超过12米3，按每立方米A元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2A元收费某户居民五月份交水费Y元与用水量X米3（X12）之间的关系式为_,若该月交水费20A元，则这个月实际用水_米3【例】下列曲线中，表示Y不是X的函数的是（）【解法指导】要根据曲线判断所给变化中，Y是否是X的函数，则需要根据曲线观察对于X的每一个确定的值，是否Y都有惟一的一个确定的值与之对应，如果是，则Y就是X的函数，观察所给的四个选项，可知B中所示的曲线，当X取一个值时，Y有两个值与之对应，根据函数的定义可知Y不是X的函数，应选B【变式题组】01图中分给给出了X与Y的对应关系，其中Y是X的函数是（）02下列函数中，与YX表示同一个函数的是（）ABCD222XY3XY【例】如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是H，注水时间是T,则H与T之间的关系大致为下面图中的（）【解法指导】由题意知，此注水过程中分为三段由于圆柱形开口杯底部固定在长方体水池，也就是说水池被开口杯占据了一部分空间，因此注水时水池中水面上升的速度较快，其图象是一段自原点出发较陡的上升线段；当水的与开口杯口等高时，水开始注入开口杯，也就是说水池中水面高度不变，则其图象是一段平行于T轴的水平线段；当开口杯注满时，水位开始上升，由于水池的此部分空间比段大，因此水池中水面上升的速度要比段速度慢，则其图象是一段比段中上升线段较缓的上升线段，由此可知答案应选B【变式题组】01如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度H与注水时间T的函数关系式，大致是下列图象中的（）02某蓄水池的横截面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度H和放水时间T之间的关系的是（）03用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度H随时间T的变化规律如图表示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中的（）【例】已知如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2CM的速度沿图1的边线运动，运动路径为GCDEFH相应的ABP的面积YCM2关于运动时间TS的函数图象，如图2，若AB6CM，则下列四个结论中正确的个数有（）A图1中的BC边长是8CMB图2中的M点表示第4秒时Y的值为24CM2图中的CD长是4CMC图2中的N点表示第12秒时Y的值为18CM2A1个B2个C3个D4个【解法指导】若把点P由GCDEFH对应的图象分别记为第I段、第II段、第III段、第IV段、第V段，则从图1和图2的对应情况可知（1）由I的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GC4CM，即BC8CM；A正确（2）M点的纵坐标等于SABD；B正确486CM（3）P在CD上的时间从图2知为2秒，CD24CMABCDEFGH的周长为（ABBCDE）240CMAHCBCA6104140YD正确故选D2862CMHSBH【变式题组】01（莆田）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿NPQM方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为X，MNR的面积为Y，如果Y关于X的函数图象如图2所示，则当X9时，点R应运动到的位置是（）AN处BP处CQ处DM处02（重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止，设点P运动的路径为X，ABP的面积为Y，如果Y关于X的函数图象如图2所示，则BCD的面积是（）A3B4C5演练巩固反馈提高01（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法错误的是（）A修车时间为15分钟B学校离家的距离为2000米C到达学校时共用时间20分钟D自行车发生故障时离家距离为1000米02（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间T（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3B干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3C干旱开始时，蓄水量为200万米3D干旱第50天时，蓄水量为1200万米303（黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，现时打开丙，直到水池中的水排空，水池中的水量V（M3）与时间TH之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是A乙甲B丙甲C甲乙D丙乙04杭州已知点P（X,Y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标X21系中的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限05（大连）函数的自变量X的取值范围是（）2XYAX2BX2且X2CX0且X2DX2且X206已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题确定自变量的取值范围；求当X4，2时Y的值是多少求