2018年奥林匹克数学竞赛第10讲 一次函数的应用

奥林匹克数学竞赛第10讲一次函数的应用考点方法破译1在现实社会的生产生活中，营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中，往往需要运用一次函数的知识解决问题，这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型，结合方程与方程组，不等式与不等式组等知识使问题得到解决经典考题赏析【例1】（温州）为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式A公司每月2000元基本工资，另加销含额的2作为奖金；B公司每月1600元的基本工资，另加销售额的4作为奖金已知A、B公司两位销售员小李、小张L6月份的销售额如下表销售额（单位元）月份销售额1月2月3月4月5月6月小李（A公司）116001280014000152001640017600小张（B公司）7400920011000128001460016400小李与小张3月份的工资各是多少小李L6月份的销售额Y1与月份X的函数关系式是Y11200XL0400，小张16月份的销售额Y2也是月份X的一次函数，请求出Y2与X的函数关系式；如果712月份两人的销售额也分别满足中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资解小李3月份工资20002140002280（元）小张3月份工资16004110002040（元）设Y2KXB，取表中的2对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得，解得，即Y21800X5600，7409K8056K小李的工资W120002（1200X10400）24X2208小张的工资W216004（1800X5600）72X1824当小张的工资W1W2时，即72X182424X2208，解得X8答从9月份起，小张的工资高于小李的工资【变式题组】01（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱供应这种纸箱有两种方案可供选择方案一从纸箱厂定制购买，每个纸箱的价格为4元；方案二由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费24元若需要这种规格纸箱X（个别），请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用Y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用Y2（元）与X（个）的函数关系；假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案并说明理由【例2】（山东）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表型号AB成本（万元/台）200240售价（万元/台）250300该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案该厂如何生产能获得最大利润根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高M万元（M0，该厂应该如何生产可获得最大利润（注利润售价一成本）【解法指导】解设生产A型挖掘机X台，则B型挖掘机可生产（100X）台，由题意得22400200X240（100X）22500，解得375X40，X取非负整数，X为38，39，40有三种生产方案A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，B型60台设获得利润W（万元），由翅意知W50X60（100X）600010X当X38时，W最大5620（万元），即生产A型38台，B型62台时，获得利润最大由题意得知W（50M）X60100X6000M10X当0M10，则X38时，W最大，即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；当M10时，M100，三种生产方案获得利润相等；当M10时，则X40时，W最大，即A型挖掘机生产40台，B型挖掘机生产60台【变式题组】01（天门）某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴该地某农户在改建的10个L亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投人不能超过14万元，并希望获得不低于108万元的收益，相关信息如下表所示养殖种类成本（万元/亩）毛利润（万元/亩）政府补贴（万元/亩）甲鱼152502黄鳝11801根据以上信息，该农户可以怎样安排养殖应怎样安排养殖，可获得最大收益根据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少M万元问该农户又该如何安排养殖，才能获得最大的收益02（成宁）某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元设从B地运往C处的蔬菜为X吨请填写下表，并求两个蔬菜基地调运的运费相等时X的值；CD总计A200吨BX吨300吨总计240吨260吨500吨设A、B两个蔬菜基地的总运费为W元，写出W与X之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少M元（M0，其余线路的运费不变，讨论总运费最小的调运方案【例3】（荆州）某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份的全部销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）38万元这三种器材的进价和售价如下右表，人员工资Y1（万元）和杂项支出Y2（万元）分别与总销售量X成一次函数关系（如图）求Y1与X的函数解析式；求五月份该公司的总销售量；设五月份售出甲种型号器材T台，五月份总销售利润为W（万元），求W与T的函数关系式；（销售利润销售额进价其他各项支出）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值【解法指导】解设Y1KXB（X0），则，解得，021BK052KBY1与X的函数关系式为Y1005X02依题意得Y1Y2005X020005X0338X60五月份该公司的总销售量为60台设五月份售出乙型号器材P台，则售出丙型号器材（60TP）台09T12P11（60TP）64，P2T20W12T16（2T20）13（60T2T20）6438W05T42依题意有，14T24，80628TTT为正整数，T最大为24，W是关于T的一次函数，W随T的增大而增大T24时，W最大052442162（万元）该公司这项向灾区捐款金额的最大值为162万元【变式题组】01（眉山）某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具X套，B种玩具Y套，三种电动玩具的进价和售价如下表所示型号ABC进价（元/套）405550售价（元/套）508065求含X、Y的代数式表示购进C种玩具的套数；求Y与X之间的函数关系式；假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元求利润P（元）与X（套）之间的函数关系式；求利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套02（双柏县）今年我县水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和假设用X辆汽车装运A种水果，用Y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求Y与X之间的函数关系式并写出自变量的取值范围水果品种ABC每辆汽车装运量（吨）22212每吨水果获利（百元）685设此次外销活动的利润为Q，求Q与X之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案03（河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材150块，A型板材规格是60CM30CM，B型板材规格是40CM30CM现只能购得L50CM30CM的标准板材一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法（图中是裁法一的裁剪示意图）裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2MN上表中，M_，N_；分别求出Y与X和Z与X的函数关系式；若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与X的函数关系式，并指出当X取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张【例4】（宜昌）2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛序幕，20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发，其中甲、乙两队在比赛时，路程Y（千米）与时间X（小时）的函数关系式如图所示甲队在上午11时30分到达终点黄泊河港哪个队先到达终点乙队何时追上甲队在比赛过程中，甲、乙何时相距最远【解法指导】解乙队先到达终点，对于乙队，X1时，Y16，所以Y16X，对于甲队出发1小时后，设Y与X关系为YKXB，将X1，Y20和X25，Y35分别代入上式得，解得Y10X10，解方程组，得2035KB601X，即出发1小时40分钟（或者上午10点40分）乙队追上甲队531小时之内，两队相距最远距离是4千米，乙队追上甲队后，两队的距离是16X（10X10），当X为最大，即X时，6X103516最大，此时最大距离为61031254，所以比赛过程中，甲、乙两队在出后1小时3516（或者上午10时）相距最远【变式题组】01（佳木斯）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程Y（千米）与时间X（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修）请根据图象所提供的信息，解决如下问题求乙车所行路程Y与时问X的函数关系式；求两车在途中第二次相遇时，他们距出发地的路程；乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇02（牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶甲车先到达B地，停留L小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇乙车的速度为每小时60千米，下图是两车之间的距离Y与乙车行驶的时间X（小时）之间的函数图象请将图中的（）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；求从甲车返回到乙车相遇过程中Y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离【例5】（自贡）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的A、B两个仓库已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨，从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米）运费（元/吨千米）甲库乙库甲库乙库A库20151212B库2520108若甲库运往A库粮食X吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费Y（元）与X（吨）的函数关系式；当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少【解法指导】解依题意有Y1220X1025（100X）1215（70X）82080（70X）30X39200，0X707018X上述一次函数中K300，Y随X的增大而减小，当X70吨时，总运费最省，最省的总运费为30703920037100（元）【变式题组】01（河北）光华农机租凭公司共有50台联合收割机，其中甲型有20台，乙型有30台，现在将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表每台甲型收割机的租金每台乙型收割机的租金A地区1800元1600元B地区1600元1200元设派往A地区X台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为Y（元），求Y与X间的函数关系式，并写出X的取值范围；若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得租金总金额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议02（安庆）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县，根据灾区的情况，这批贩灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为X吨（X为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少【例6】（荆州竞赛题）在底面积为100CM2、高为20M的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计），如图所示，向烧杯中注入流量一定的水，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽为止（烧杯在水槽中的位置始终不变）水槽中水面上升的高度H与注水时间T之间的函数关系式如图所示求烧杯的底面积；若烧杯的高为9CM，求注水的速度及注满水槽所用的时间【解法指导】设烧杯底面积为SCM2，高为H1CM，注水速度为VCM3/S，注满水槽用时T0S由图可知，当注水18S时，烧杯刚好注满；当注水90S时水槽内水面高恰好为H1CM（烧杯高）于是为SH118V，100H190V，则100H1SH190，S20（CM2），烧杯的底面积为20CM2118若H190CM，则V10CM3/S，从而200S注水速度为10CM3/S，注满1002010水槽所用时间为200S【变式题组】01某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为T分钟，Q1、Q2与T之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题加油飞机的加油油箱中装了多少吨油将这些油全部加给运输机需要多少分钟求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间T（分钟）的函数关系式；运输飞机加完油后以原速度继续飞行，需要10小时到达目的地，油料是否够用呢请你算一算，并说明理由02（黑龙江）某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注人乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度Y（米）与注水时间X（小时）之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度Y与注水时间X之间的函数关系式；求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同03（绥化）因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少为缓解旱情，北方甲水库即以管道运输的方式给予支援，下图是两水库的蓄水量Y（万米3）与时间X（天）之间的函数图象在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）通过分析图象回答下列问题甲水库每天的放水量是多少万立方米在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库此时乙水库的蓄水量为多少万立方米求直线AD的解析式演练巩固反馈提高01如图，把一次性纸杯整齐的叠放在一起，根据图中的信息，当一筒纸杯的高度为35CM时，则该筒纸杯有（）A40个B45个C50个D55个02王老师组织学生举行了一次手抄报活动，最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起，在教室里展出如图，知每张报纸长为38CM，宽为28CM，粘合部分的纸为2CM宽，则这10张报纸粘合后的长度为（）A360CMB362CMC364CMD380CM03（朝阳）如图是小明从学校到家里行进的路程S（米）与时间T（分）的函数图象观察图象，从中得到如下信息学校离小明家1000米；小明用了20分钟到家；小明前10分钟走了路程的一半；小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有_（填序号）04（嘉兴）沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题，如图，若V是关于T的函数，图象为折线OABC，其中A（T1，350），B（T2，350），C（，0），四边形OABC的面积为70，则1780T2T1（）ABCD153167803116005（黄冈）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A，再走上坡路到达B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A12分钟B15分钟C25分钟D27分钟06（宁波）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用Y（元）与通话时间X（分）之间的关系，则以下说法错误的是（）A若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元B若通话时间少于200分钟，则B方案比A方案便宜12元C若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多D若两种方案通讯费用差10元，则通话时间是145分或185分07（贵州黔东南州）如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程S（米）与时间T（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（）A乙比甲先到终点B乙测试的速度随时间增大而增大C比赛进行到294秒时，两人出发后第一次相遇D比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快08（长春）某部队甲、乙两班参加植树活动乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树，设甲班植树的总量为Y甲（裸），乙班植树的总蚤为Y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为X（时）Y甲、Y乙分别与X之间的部分函数图象如图所示当0X6时，分别求Y甲、Y乙与X之间的函数关系式；如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当X8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵；如果6个小时以后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束，当X8时，两班之间植树的总量相差20裸，求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸09某服装厂现有A种布料35M，B种布料26M，现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套已知做一套男时装需要A种布料06M、B种布料09M，可获利90元；做一套女时装需要A种布料1LM，B种布料04M，可获利100元，若设生产男时装套数为X套，用这批布料生产这两种时装所获得总利润为Y元求Y与X的函数关系式，