2018年奥林匹克数学竞赛第16讲 分式方程及其应用

奥林匹克数学竞赛第16讲分式方程及其应用考点方法破译1分式方程组的解法解分式方程的一般步骤去分母，将分式方程转化为整式方程解整式方程验根有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理如分式中分子整式的次数高于等于分母整式的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式分式”的形式，化简原方程再解或将分式方程两边化为分子或分母相等的分式，再利用分母或分子相等构成整式方程求解或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便2分式方程增根在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母化为整式方程，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根因此，解分式方程时一定要验根又如求分式方程的解的取值范围解是正数，或解是负数时，要注意剔除正数解或负数解中的增根因为增根不是分式方程的根3列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，检验是否是增根，检验解是否符合实际意义经典考题赏析【例1】解下列方程12X644X2X589756X【解法指导】对于方程、只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根对于方程如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如1，45X5X按照上述变形，原方程可变为再移项后分组通分求解较简15X9186单解12X62X2216X2X2X24X416X24X2当X2时X2X20，X2是增根，原分式方程无解412X24XX24X22X24X2X2X10当X10时，X2X20，原分式方程的解为X10原方程变形为51981X61111XX5986X6X9两边分别通分得156189XX5X6X8X9X7检验知X7是原方程的解【变式题组】21X2X3X14X32X4112XX【例】当M为何值时，分式方程会产生增根1MX231X【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是X1或X1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值解原方程去分母并整理得M2X5M假设产生增根X1，则有M25M，方程无解，所以不存在M的值，使原方程产生增根X1假设产生增根X1，则有2M5M，解得M32M时，分式方程产生增根3221X【变式题组】01分式方程的增根是_X26402若分式方程1有增根，则它的增根为1MXA0B1C1D1，103绥化若关于X的方程1无解则M的值为_2304分式方程无解，则M的值为_2【例】杭州已知关于X的方程3的解是正数，则M的取值范围是_【解法指导】求出方程的解X0且X2即可解32XM3X6XM6M6且M40【变式题组】01孝感关于X的方程1的解是正数，则A的取值范围是2AAA1BA1，且A0CA1DA1，且A202当M为何值时，关于X的方程的解是正数2MX2X【例】山东青岛某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元该商场两次共购进这种运动服多少套如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20，那么每套售价至少是多少元【解法指导】设商场第一次购进X套运动服，由题意得10680X32解这个方程，得X200，经检验，X200是原方程的解2XX600商场两次共购进这种运动服600套设每套运动服的售价为Y元则有20，Y2006032680YX每套运动服售价至少200元【变式题组】01泰安某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工X套，则根据题意可得方程为A18B18160X42X16041602XC18D18160X02河池铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了05元，购进苹果数量是试销的2倍试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元03广西梧州由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是32，两队合做6天可以完成求两队单独完成此项工程各需多少天此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元演练巩固反馈提高01牡丹江关于X的分式方程1，下列说法正确的是5MXA方程的解是XM5BM5时，方程的解是正数CM5时，方程的解是负数D无法确定02安徽甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是A8B7C6D503上海用换元法解分式方程10时，如果设Y，将原方程化为X31X关于Y的整式方程，那么这个整式方程是AY2Y30BY23Y10C3Y2Y10D3Y2Y1004有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900和1500已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克设第一块试验田每亩收获蔬菜X，根据题意，可得方程AB93059X530CDX1105牡丹江若关于X的分式方程1无解，则A_AX06方程3的解为_1207若X1是方程0的解，则A_2XA208若A，B1，当X_时，AB09若X3是方程0的解，则的值为_2XK3K2693K10如果关于X的方程1的解，也是不等式组的一个24MX128X解，求M的取值范围11关于X的分式方程有解，求K的取值范围61X3X12要使关于X、Y的二元一次方程组有正整数解，求整数A的值2160XAY13某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天已知甲队每天的施工费用为067万元，乙队每天的施工费用为033万元，该工程预算的施工费用为19万元为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问该工程预算的施工费用是否够用若不够用，需要追加预算多少万元请说明理由14桂林在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算甲队单独完成这项工程需要60天若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成乙队单独完成这项工程需要多少天甲队施工一天，需付工程款35万元，乙队施工一天需付工程款2万元若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱培优升级奥赛检测01江西决赛试题若实数X、Y、Z满足方程组，则有1232XYZXZAX2Y3Z0B7X5Y3Z0C9X6Y3Z0D10X7YZ002天津初赛试题某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V1、V2、V3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为ABCD123V123123V123V03第十八届“希望杯”初二解分式方程会产生增根，则X5MXM_04方程1的解是1X12X201X_05全国初中数学竞赛试题小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_分钟06解下列方程212X72X1643X07已知方程组，9，恰好有一组解为2XY3YZ53XYZ17XA，YB，ZC求A2B2C2的值08设X、Y都是整数，求Y的最大正整数的解1XY2009莆田国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13给予补贴返还某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台设购买电视机X台，依题意填充下列表格项目家电种类购买数量台原价购买总额元政府补贴返还比例补贴返还总额元每台补贴返还金额元冰箱4000013电视机X1500013列出方程组并解答10齐齐哈尔某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万