创新设计高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教版选修2_2.ppt

2.3数学归纳法,第二章推理与证明,1.了解数学归纳法原理.2.掌握数学归纳法的两个步骤，会用数学归纳法证明一些简单的数学命题.,学习目标,栏目索引,知识梳理自主学习,题型探究重点突破,当堂检测自查自纠,知识梳理自主学习,知识点一归纳法及分类,答案,由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法，通常叫归纳法，归纳法可以分为归纳法和归纳法，完全归纳法所得出的结论是完全可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象，但它是一种重要的思考问题的方法，是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.用不完全归纳法发现规律，再用完全归纳法证明，是解决问题的一种重要途径.,完全,不完全,完全归纳法是一种在研究了解事物的所有(有限种)特殊情况后，得出一般结论的推理方法，又叫枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况不多时，采用完全归纳法.,思考下面的各列数都依照一定规律排列，请在括号里填上适当的数.(1)1,5,9,13,17，()；,答案,21,8,21,知识点二数学归纳法,答案,1.数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.2.应用数学归纳法时注意几点：(1)用数学归纳法证明的对象是与有关的命题.(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可.(3)步骤的证明必须以“假设nk(kn0，kN*)时命题成立”为条件.,正整数n,答案,不能保证猜想一定正确，需要严密的证明.,(2)多米诺骨牌都一一倒下只需满足哪几个条件？,答案第一块骨牌倒下；任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.条件事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K1块也倒下.,返回,答案,题型探究重点突破,题型一用数学归纳法证明恒成立,解析答案,反思与感悟,例1求证：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*).,反思与感悟,证明(1)当n1时，左边112，右边2112，左边右边，等式成立.(2)假设当nk(kN*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，当nk1时，左边(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2),2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(k1)1右边.当nk1时，等式也成立.由(1)(2)可知，对一切nN*，原等式均成立.,反思与感悟,用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由nk到nk1时，等式两边会增加多少项，增加怎样的项.,解析答案,解析答案,题型二证明不等式问题,解析答案,反思与感悟,解析答案,证明由已知条件可得bn2n(nN*)，,不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立.,则当nk1时，,反思与感悟,要证当nk1时，不等式成立，,反思与感悟,当nk1时，不等式成立.由(1)(2)可知，对一切nN*，原不等式均成立.,用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用.,反思与感悟,解析答案,解析答案,(2)假设当nk时，不等式成立，,则当nk1时，,解析答案,所以当nk1时不等式成立.由(1)(2)知，不等式对一切nN*都成立.,题型三用数学归纳法证明整除问题,解析答案,反思与感悟,例3求证nN*时，an1(a1)2n1能被a2a1整除.,反思与感悟,证明(1)当n1时，a11(a1)211a2a1，命题显然成立.(2)假设当nk(kN*，k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2a1整除，故当nk1时命题成立.由(1)(2)知，对任意nN*，命题成立.,用数学归纳法证明数的整除性问题时，关键是从当nk1时的式子中拼凑出当nk时能被某数整除的式子，并将剩余式子转化为能被该数整除的式子.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3用数学归纳法证明对于任意非负整数n，An11n2122n1能被133整除.,证明(1)当n0时，A011212133，能被133整除.(2)假设当nk(k0)时，Ak11k2122k1能被133整除，那么当nk1时，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1，能被133整除.由(1)(2)可知，对于任意非负整数n，An都能被133整除.,题型四用数学归纳法解决平面几何问题,解析答案,反思与感悟,例4已知n个平面都过同一点，但其中任何三个平面都不经过同一直线，求证：这n个平面把空间分成f(n)n(n1)2部分.,反思与感悟,证明(1)当n1时，1个平面把空间分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所以命题正确.(2)假设当nk(kN*)时，命题成立，即k个符合条件的平面把空间分为f(k)k(k1)2(部分)，当nk1时，第k1个平面和其他每一个平面相交，使其所分成的空间都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即当nk1时，命题也成立.根据(1)(2)，知n个符合条件的平面把空间分成f(n)n(n1)2部分.,用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k1之间的递推关系.,反思与感悟,解析答案,解析答案,证明(1)当n2时，两条直线的交点只有一个，,当n2时，命题成立.(2)假设当nk(kN*，k2)时命题成立，,那么，当nk1时，,l与其他k条直线的交点个数为k，从而k1条直线共有f(k)k个交点，,当nk1时，命题成立.由(1)(2)可知，对任意nN*(n2)命题都成立.,解析答案,因弄错从nk到nk1的增加项致误,防范措施,返回,易错易混,错解当n1时，,解析答案,防范措施,即n1时不等式成立.假设nk(k1，且kN*)时不等式成立，,那么，当nk1时，,即nk1时，不等式成立.,正解当n1时，,即n1时不等式成立.,解析答案,防范措施,防范措施,假设nk(k1，kN*)时不等式成立，,那么，当nk1时，,所以nk1时，不等式成立.,防范措施,当nk1时，可以写出相应增加的项，然后再结合数学归纳法证明.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,A.1B.1aC.1aa2D.1aa2a4,B,解析答案,解析当n1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1a，故选B.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,答案C,比较可知C正确.,1,2,3,4,5,解析答案,2k,解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，,因此f(2k1)比f(2k)多了2k项.,1,2,3,4,5,解析答案,4.用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)第一步应验证_.,n3时是否成立,解析n的最小值为3，所以第一步验证n3时是否成立.,1,2,3,4,5,解析答案,5.已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_.,课堂小结,1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可.有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用.在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.,返回,3.