矩阵论第3章1-2节.ppt

1,第3章函数逼近与曲线拟合,2,3.1函数逼近的基本概念,3.1.1函数逼近与函数空间,：1.数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计算基本初等函数及其他特殊函数；,2.当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式.,问题,3,插值法就是函数逼近问题的一种.,函数类通常是区间上的连续函数，记作，,称为连续函数空间.,4,函数类通常为次多项式，有理函数或分段低次多项式等.,5,类似地,记为具有阶连续导数的函数空间.,记作.,对次数不超过(为正整数)的实系数多项式全体，,6,定义1,设集合是数域上的线性空间，元素,如果存在不全为零的数，,（1.1）,则称线性相关.,否则，若等式(1.1)只对成立，,则称线性无关.,使得,7,系数称为在基,并称空间为维空间，,若线性空间是由个线性无关元素生成的，,即对都有,则称为空间的一组基，,记为,下的坐标，,记作,8,（1.2）,它由个系数惟一确定.,考察次数不超过次的多项式集合，,它是的一组基，,是线性无关的，,且是的坐标向量，是维的.,表示为,其元素,故,9,使误差,(为任给的小正数)，,这就是著名的魏尔斯特拉斯定理.,10,使,定理1,在上一致成立.,伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明.,他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式,（1.3）,11,为二项式展开系数，并证明了,在上一致成立；,若在上阶导数连续，则,其中,这个结果不但证明了定理1，而且由(1.3)给出了的一个逼近多项式.,12,与拉格朗日插值多项式,相似，,当时也有关系式,（1.4）,这只要在恒等式,中令就可得到.,对，,13,但这里当时,是有界的，,因而只要对任意成立，,有界，,故是稳定的.,还有,于是,则,14,可表示为,（1.5）,此时元素,15,3.1.2范数与赋范线性空间,为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引进范数定义，它是空间中向量长度概念的直接推广.,16,定义2,（1）当且仅当时，（正定性）,（2）(齐次性),（3）(三角不等式),则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间，记为,17,例如，在上的向量三种常用范数为,称为范数或最大范数，,称为1-范数，,称为2-范数.,18,而满足1=1的向量则为对角线长度为1的菱形.,在中，满足2=1，即的向量为单位圆.,满足=1，即的向量为单位正方形.,19,所以说，范数是对向量长度的度量，度量方式不同，,结果也不一样，但不同范数之间是存在等价关系的.,20,类似地，对连续函数空间，若,称为范数，,称为1-范数，,称为2-范数.,可以验证这样定义的范数均满足定义2中的三个条件.,可定义三种常用范数如下：,21,3.1.3内积与内积空间,若将它推广到一般的线性空间，则有下面的定义.,22,定义3,则称为X上与的内积.,23,定义中（1）的右端称为的共轭.,当K为实数域R时.,如果，则称与正交，这是向量相互垂直概念的推广.,定义了内积的线性空间称为内积空间.,24,定理2,对有,（1.6）,称为柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式.,证明,当时（1.6）式显然成立.,现设，,则，,且对任何数有,取，,设X为一个内积空间，,代入上式右端，得,25,即得时,26,定理3,（1.7）,称为格拉姆(Gram)矩阵，,则非奇异的充分必要条件是线性无关.,设X为一个内积空间，,矩阵,27,证明,只有零解；,（1.9）,（1.8）,而,28,从以上等价关系知，,而后者等价于从（1.9）推出,即线性无关.,在内积空间X上，可以由内积导出一种范数，即对于,（1.10）,等价于从（1.8）推出,记,29,两端开方即得三角不等式,（1.11）,利用,30,例1,与的内积.,设,（1.12）,向量2-范数为,31,相应的范数为,（1.13）,若给定实数,称为权系数，,当时，,上的加权内积为,（1.13）就是前面定义的内积.,32,如果，,（1.14）,这里仍为正实数序列，为的共轭.,在上也可以类似定义带权内积.,带权内积定义为,33,定义4,（1）存在且为有限值,（2）对上的非负连续函数，如果,则称为上的一个权函数.,则,34,例2,设,是上给定的权函数,（1.15）,由此内积导出的范数为,称（1.15）和（1.16）为带权的内积和范数.,上的内积.,则可定义内积,（1.16）,35,常用的是的情形，即,36,若是中的线性无关函数族，,（1.17）,根据定理3可知线性无关的充要条件是,它的格拉姆矩阵为,记,37,3.2正交多项式,3.2.1正交函数族与正交多项式,定义5,（2.1）,则称与在上带权正交.,38,若函数族满足关系,则称是上带权的正交函数族.,若，则称之为标准正交函数族.,（2.2）,39,三角函数族,就是在区间上的正交函数族.,定义6,40,（2.3）,只要给定区间及权函数，均可由一族线性无关的幂函数利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列：,41,（1）是具有最高次项系数为1的次多项式.,得到的正交多项式序列有以下性质：,42,其中,这里,（2.4）,（4）成立递推关系,43,44,3.2.2勒让德多项式,罗德利克(Rodrigul）给出了简单的表达式,（2.5）,45,由于是次多项式，,所以对其求阶导数后得,最高项系数为1的勒让德多项式为,（2.6）,于是得首项的系数,46,勒让德多项式重要性质：,性质1,（2.7）,证明,令，,设是在区间上阶连续可微的函数，由分部积分知,正交性,则,47,下面分两种情况讨论:,（1）若是次数小于的多项式，,则,故得,48,则,（2）若,于是,49,由于,故,50,性质2,（2.8）,由于是偶次多项式，经过偶次求导仍为偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故为偶数时为偶函数，为奇数时为奇函数，于是（2.8）成立.,奇偶性,51,性质3,考虑次多项式,两边乘并从-1到1积分，,递推关系,它可表示为,得,故得,52,当时，,其中,左端积分仍为0，,故,于是,为奇函数，,53,由,从而得到以下的递推公式,（2.9）,利用上述递推公式就可推出,54,图3-1,图3-1给出了的图形.,55,在区间内有个不同的实零点.,性质4,56,3.2.3切比雪夫多项式,当权函数，区间为时，由序列正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.,它可表示为,（2.10）,若令，,则,57,性质5,切比雪夫多项式有很多重要性质：,这只要在三角恒等式,中，,令即得.,递推关系,（2.11）,58,由（2.11）可推出,的函数图形见图3-2.,59,图3-2,由递推关系（2.11）还可得到的最高次项系数是,60,性质6,（2.12）,令，,则，,于是,61,可以用的线性组合表示，,性质8,在区间上有个零点,性质7,这个性质由递推关系可直接得到.,其公式为,62,时的结果如下：,（2.13）,这里规定,63,64,3.2.4其他常用的正交多项式,区间及权函数不同，则得到的正交多项式也不同.,除上述两种最重要的正交多项式外，下面是三种较常用的正交多项式.,1.第二类切比雪夫多项式,在区间上带权的正交多项式称为第二类切比雪