等差数列的前n项和公式--上课

等差数列的前n项和（第1课时）,复习回顾,1、等差数列的定义：,2、等差数列的通项公式：,是等差数列,3、等差数列的重要性质：,我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在张丘建算经中给出等差数列求和问题.例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，,等差数列求和的历史,末日织一尺，共织三十日，问共织几何？,原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得.”,4,泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？,探究发现,问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,这是求和的问题，你能不能快速的求出呢？,问题1:图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？,获得算法：,高斯(1777年-1855年)德国著名数学家,高斯的算法,计算：12399100,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.,首尾配对相加法,中间的一组数是什么呢？,所以S100=,(1+100)100,？,？,首项,尾项,？,总和,？,项数,这就是等差数列前n项和的公式！,=5050,合作探究,已知等差数列an的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn.,如何才能将等式的右边化简？,倒序相加法,公式变形,思考：比较这两个公式，如何记忆？,等差数列的前n项和的公式：,含a1和d,求和公式,含a1和an,公式记忆,例1.根据下列条件，求相应的等差数列的,(1)解:由已知得：,整体思想认识公式,(2)解:,课堂小结,等差数列前n项和公式,在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.,公式的推证用的是倒序相加法,等差数列的前n项和（第2课时）,前n和公式：,共5个量，由三个公式联系，,知三可求二.,通项公式：,等差数列an,倒序相加法,例1、已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？,解：根据,与,可知，当时，,所以，数列的通项公式是.,所以,，是一个不含常数项的二次函数式.,，是一个常数列，,反之:,分析：,思考：一般地，若数列an的前n和SnAn2Bn，那么数列an是等差数列。若SnAn2BnC呢？,（1）数列an是等差数列SnAn2Bn,（2）数列an的前n项和是SnAn2BnC，则：,若C0，则数列an是等差数列；,若C0，则数列an从第2项起是等差数列。,结论,等差数列前n项和的性质一：,思考：若an为等差数列，那么是什么数列？,数列an是等差数列为等差数列,即等差数列an的前n项的平均值组成的数列仍然是等差数列。,等差数列an的判定方法：,则Sn最大。,则Sn最小。,等差数列前n项和的性质二：,思考：既然等差数列的前n项和是关于n的一元二次，那么它的最值怎么求呢？,不等式法求的最值：,你能理解么？,也可以用二次函数的图像求的最值，但要注意。,解：,例2.,由题意知,即,例2,解2：,由题意知,两种求等差数列前n项和最值的方法,确定,确定,练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14,C,例3.,解法2：,由已知得：,例3.,性质4：若数列an是等差数列，那么数列Sk，S2kSk，S3kS2k,仍然成等差数列,例4.等差数列an的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为()A.130B.170C.210D.260,C,例5:已知数列前n项和记数列的前项和为求的表达式,s,例5:已知数列前n项和记数列的前项和为求的表达式,变式探究,1数列an中，a18，a42，且满足an22an1an0，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设Sn|a1|a2|an|，求Sn.,(1)由an22an1an0得，2an1anan2，所以数列an是等差数列，d2，a