3 时间响应分析.ppt

第三章系统的时域响应分析,3.1时间响应及其组成,（1）时间响应概念,时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。,动力学方程为：,例1无阻尼的单自由度系统,根据微分方程的结构理论：,通解,特解,动力学方程,的解？,二阶线性非齐次方程,根据求通解y1(t),当特征方程中有一对共轭复根时,特征方程为,当时,其中：当为特征方程根,则=1；否则=0。,根据求特解y2(t),代入原方程可求得,b=max(l,n)。,特征根,代入原方程得,A、B根据初始条件及上式决定：,，,按响应的来源分为：零状态响应：初始状态为零时，系统输入引起的响应；在控制工程中，如无特殊说明，所讲的响应往往是零状态响应。零输入响应：系统输入为零时，初始状态引起的响应。按振动频率与作用频率的关系分为：自由响应：振动频率与作用频率无关；强迫响应：振动频率与作用频率相同。,（2）一般情况的时间响应,n阶线性定常系统，动力学方程表示为：,设其特征根为si(i=1,2n)，则系统的时间响应为：,系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关；由y(t)=L-1G(s)X(s)所求得的输出是系统的零状态响应；对于线形定常系统，若x(t)引起的输出为y(t)，则x(t)引起的输出为y(t)，如此可求得下式的响应：,讨论：,（3）微分方程特征根的意义,系统的所有特征根si(i=1,2n)均具有负实部，即Resi0，则其自由响应项最终会趋于0，也就是说系统的自由响应项收敛。这种系统称为稳定系统。此时自由响应项又称为瞬态响应项，强迫响应项又称为稳态响应项。,Resi0，则其自由响应项最终会趋于+，即系统的自由响应项发散。这种系统称为不稳定系统。若系统有一个特征根的实部为0，而其余特征根的实部均为负数，则其自由响应项最终会变成一等幅振荡，这种系统称为临界稳定系统。,结论：系统特征根的实部决定了系统的稳定与否；Resi绝对值的大小决定了它所对应的自由响应项衰减的快慢；系统特征根的虚部的分布情况在很大程度上决定了系统自由响应的振荡情况。,等效判据：由系统特征根与传递函数极点之间的对应关系可得：若系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内，则系统稳定；若系统传递函数在s平面的右半平面内存在极点，则系统不稳定。,(4)控制系统的时域性能指标,在典型输入信号作用下，控制系统的时间响应分为动态过程和稳态过程两个部分。因此，控制系统在典型输入信号作用下的性能指标由动态性能指标和稳态性能指标两部分组成。通常采用单位阶跃函数输入下的系统响应来衡量系统的控制性能：,5.稳态误差ess对于单位反馈系统，当时间t趋于无穷大时，系统相应的实际值（稳态值）与期望值（输入量之差。准确性,3.2一阶系统的响应分析,微分方程：,传递函数：,（1）单位脉冲响应,过渡过程：对一阶系统而言，将其单位脉冲响应曲线衰减到初值的2%之前的过程；过渡过程时间（调整时间）：过渡过程经历的时间。经过计算可得一阶系统的调整时间为4T。显然，系统的时间常数T愈小，其过渡过程的持续时间愈短，亦即系统的惯性愈小，系统对输入信号反应的快速性愈好。,瞬态项,（2）单位阶跃响应,过渡过程：其阶跃响应增长到稳态值的98%之前的过程，同样可算得相应的时间为4T。因此，时间常数T确实反映了一阶系统的固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统的响应也就愈快。,瞬态项,稳态项,（3）性能指标,调整时间（ts）：一阶系统在单位阶跃输入作用下，达到稳态值的1-所需要的时间例如：=2%时，ts=4T；=5%时，ts=3T；调整时间反映系统响应的快速性。,3.3二阶系统的响应分析,特征方程：,特征根：,典型传递函数：,无阻尼固有频率,阻尼比,其中：,（1）单位脉冲响应,当01时：,二阶系统单位脉冲响应,（2）单位阶跃响应,当00,亦即K0,故能使系统稳定的参数K的取值范围为：0K34.6,(2)劳斯判据的特殊情况,第一，劳斯表中某一行的第一个元素为零，其它各元素不为零，或不全为零。这时可用一个任意小的正数代替这一行第一个为零的元素，然后继续劳斯表的计算并进行判断。这样处理的理由是因为特征方程式的阶次不变时，根是系数的连续函数。用代替零，相当于特征方程式的某些项或所有项的系数有一很小的变动。只要变动足够小，且原特征方程式没有纯虚根（若有纯虚根必然出现下文中第二种特殊情况），则根的变动也是微小的，因此根在s平面上虚轴左、右的分布情况不会改变。,试用劳斯判据判断系统稳定性,例题,当很小时，s1行的12-（48/）0，这就可以判断劳斯表第一列元素符号改变两次，系统不稳定，并有两个正实部根。,第二，劳斯表中第k行元素全为零,这说明系统的特征根中存在关于原点对称的根（或是两个符号相异，绝对值相同的实根；或是一对共轭纯虚根；或上述两种类型的根兼而有之；或是实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复根）。此时，系统必然是不稳定的。在这种情况下，可作如下处理：（1）用k-1行元素构成辅助方程。辅助方程的最高阶次为n-k+2，然后s的次数递降2。（2）将辅助方程对s求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。（3）解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的特征根。,试用劳斯判据判断系统稳定性,例题,辅助方程,求导,符号改变一次，有一个正实部根,3.6系统误差与分析,（1）误差与偏差的关系,误差：控制系统的理想输出xor(t)与实际输出xo(t)之差，即,其拉氏变换为:,偏差：,其拉氏变换为:,当,当,时,故：,时,（2）稳态误差与稳态偏差,稳态误差：,终值定理,稳态偏差：,终值定理,（3）与输入有关的稳态偏差,当输入为单位阶跃信号,定义位置无偏系数：,系统的稳态偏差与输入信号、系统的结构特征有关。,当输入为单位斜坡信号,定义速度无偏系数：,当输入为单位加速度信号,定义加速度无偏系数：,设系统的开环传递函数为：,其中：v为系统的型次，当v分别为0、1、2、时