高等数学第十节第二章.ppt

*三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,回忆,一、利用直角坐标计算二重积分,设曲顶柱的底为,截面,截面面积函数,注:若(x,y)0仍然适用。,注意:1）上式说明:二重积分可化为二次定积分计算;,2）积分次序:X-型域先y后x;,3）积分限确定法:域中一线插,内限定上下，域边两线夹，外限依靠它。,为方便，上式也常记为：,同理，Y-型域下二重积分的计算：,Y型域下,于是,1）积分次序:Y-型域,先x后y;,2）积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于x轴的射线穿插区域。,注意:,说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X-型域或Y-型域,则,注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。,利用直角坐标计算二重积分的步骤,（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；,（3）确定积分限，化为二次定积分；,（2）根据积分域类型,确定积分次序；,（4）计算两次定积分，即可得出结果.,回忆,牛顿莱布尼兹公式,基本积分方法,例1.计算,其中D是直线y1,x2,及,yx所围的闭区域.,解法1.将D看作X型区域,则,解法2.将D看作Y型区域,则,例2.计算,其中D是抛物线,所围成的闭区域.,解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线,则,解,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,例6.计算,其中D由,所围成.,解:令,(如图所示),显然,例7.计算,其中D是圆域,例8.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.,解:设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,解,练习2.计算,其中D是直线,所围成的闭区域.,解:由被积函数可知,因此取D为X型域:,先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.,3.计算,解:,练习4.交换下列积分顺序,解:积分域由两部分组成:,视为Y型区域,则,解,曲面围成的立体如图.,如果积分区域为：,Y型,如果积分区域为：,X型,例,解：,先去掉绝对值符号，如图,二、利用极坐标计算二重积分,当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。,例,等.,对应有,在极坐标系下,用同心圆r=常数,则除包含边界点的小区域外,小区域的面积,在,内取点,及射线=常数,分划区域D为,即,被积表达式要换两处,注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：,2极坐标系下的二重积分化为二次积分,用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限,任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。,将直角坐标系下的二重积分化为极坐标系后，极坐标系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。,设,则,极坐标系下的计算公式：化成两次定积分,（极点在D外）,（1）区域如图1、2,具体地（如图）,如图1,如图2,（2）区域如图3,图3,（极点在D的边界上）,（3）区域如图4所示,（极点在D内）,图4,若f1则可求得D的面积,思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试,答:,问的变化范围是什么?,(1),(2),解,所以圆方程为,直线方程为,例2.,把积分,化为极坐标形式，并计算积分值,解：,因为积分区域D为,因为被积函数的特点，选择极坐标法,区域D：,原式=,例3.计算,其中,解:在极坐标系下,原式,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,故,坐标计算.,而在极坐标系下计算，面积元素中的,帮了很大的忙.,可见，不同的坐标系各有不同的好处.,注:,利用例3可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上,当D为R2时,利用例3的结果,得,故式成立.,解,例4.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解:设,由对称性可知,例5.计算,其中D是圆域,利用极坐标计算：,（上一单元的例7）,解,解,解,思考,设f(x,y)为连续函数，则,等于（）,(A）,(B）,C,(D）,(C）,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应的,证:根据定理条件可知变换T可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在xoy面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,同理得,当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四,边形,故其面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,例1.计算,其中D是x轴y轴和直线,所围成的闭域.,解:令,则,例2.计算由,所围成的闭区域D的面积S.,解:令,则,例3.试计算椭球体,解:,由对称性,令,则D的原象为,的体积V.,内容小结,(1)二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2)一般换元公式,且,则,极坐标系情形:若积分区域为,在变换,下,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,计算二重积分应该注意以下几点：,先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。,首先，选择坐标系。,其次，化二重积分为二次积分