次课条件概率全概率公式

1,3、条件概率,一、条件概率的概念与计算,解易知：,【引例】将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情况。设事件A：“两次同面”，事件B:“至少有一次正面”，求“在事件B发生的条件下事件A发生”的概率P(A|B)。,在“至少有一次正面”发生的条件下计算A发生的概率时，可取B为样本空间（缩减样本空间），此时，A只含一个样本点HH，故,2,显然，P(A|B)P(A)=1/2。,定义1设A,B为两个事件,且P(B)0,称,为“在事件B发生的条件下事件A发生”的条件概率。,由此，一般可定义条件概率。,此外,在样本空间中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=1/4,且有,3,不难看出，计算条件概率P(A|B)有两种方法：,在原样本空间中分别求出P(A),P(AB),再按定义公式计算；在缩减样本空间B中按一般概率计算P(A).,4,解：由条件可得：,【例1】一盒子装有5只产品，其中3只正品，2只次品。从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到也是正品的概率.分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取到正品”，则问题转化为求条件概率P(B|A).,故有,【例2】:某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求：,（1）在下雨条件下下雪的概率；,（2）这天下雨或下雪的概率.,解：设A=下雨，B=下雪.,（1）,（2）,6,1、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公理及其各个性质。,对立事件概率公式:,等等,此处不一一列举.,二、条件概率的性质,例如，加法公式:,7,注意：当P(A)0时,乘法公式与条件概率定义式是等价的;当P(A)0,P(B)0时,有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B);乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)（其中P(AB)0）.,由条件概率定义即可得:,乘法定理设A,B为两个事件,且P(A)0,则,2、乘法定理,8,【例3】据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病的概率有以下规律:P孩子得病=0.6,P母亲得病|孩子得病=0.5,P父亲得病|母亲及孩子得病=0.4.求“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。,解设A,B,C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事件。由题意知:,现求,由乘法公式得:,9,注意由于本例中都是地位平等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求概率是积事件概率,而不是条件概率,【例4】:一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率.,解：设,为第,次抽到合格品的事件，则有,11,3、全概率公式与贝叶斯公式,（i）AiAj=(ij,i,j=1,2,n);,(ii),例如，在掷一枚骰子观察出现的点数试验中，,定义2设为随机试验E的样本空间,A1,A2,，An为E的满足下列条件的事件组：,则称A1,A2,，An为样本空间的一个划分.,B1=1，2，3，B2=4，5，B3=6就是样本空间的一个划分.,12,【证】因为A可互斥分解为,所以由有限可加性与乘法定理得：,定理1(全概公式)设为试验E的样本空间,A1,A2,，An为的一个划分，且P(Ai)0(i=1,2,n),则对任意事件B有全概率公式：,13,【例5】：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率：,一批产品中的次品数0,1，2，3,4，,概率0.1,0.2,0.4,0.2，0.1，,现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率.,解：以表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表示通过检验，则由题意得,14,【证】由条件概率、乘法定理与全概率公式得,定理2(贝叶斯公式)设为试验E的样本空间,A1,A2,，An为的一个划分,B为E的事件,且P(Ai)0(i=1,2,n),P(B)0,则有：,15,在应用全概率公式与贝叶斯公式时，有两个问题需要弄清楚：,当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的，可以将这些“原因”看作划分.,2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式,1、如何确定划分,“由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯公式.,16,【例6】设工厂甲和工厂乙的产品次品率分别为1%和2%,现从甲与乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属甲厂生产的概率是多少?,解由于产生次品的“原因”是“甲厂生产”和“乙厂生产”,因此,划分可设为:,事件B为“随机抽取一件为次品”.,由全概率公式得:,17,由贝叶斯公式得:,【例7】设某工厂有甲，乙，丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%，,35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出,1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？,解：设A1，A2，A3表示产品来自甲，乙，丙3个车间，B表示产品为“次品”,的事件，易知A1，A2，A3是样本空间的一个划分，则有,【例8】由以往的临床记录，某种诊断癌症的实验具有如下效果：被诊断者有,癌症，实验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，实验反应为阴性的概,率为0.95.现对自然人群进行普查，设被实验的人群中患有癌症的概率为0.005，,求：已知实验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.,解：设A表示“患有癌症”，表示“没有癌症”，B表示“实验反应为阳性”