线性代数习题答案.ppt

一、选择题,1n阶行列式等于.,习题一（26页）,(A)1;(B)(-1)n-1;(C)0;(D)-1.,B,2行列式等于.,(A)1;(B)2;(C)0;(D)-1.,C,3.方程组有解:.,C,二、填空题,.,14阶行列式等于.,1,2.行列式中元素a11的代数余子式等于.,6,3.中,x3的系数是.,.,4.设a,b为实数,则当a=,b=时,00,-2,5的第四行各元素余子式之和的等于.,M41+M42+M43+M44,.,所以，第四行各元素余子式之和等于-28.,=-A41+A42-A43+A44,三、解答题,1设，试求A41+4A42+2A43的值.,解A41+4A42+2A43,2.设,已知代数余子式A31=-2,求A12.,解由于A31=2-4x=-2,所以,x=1.于是A12=-9.,3、计算下列行列式,(1)D=,解D=,解,解按第一列展开,有,解按第一列展开,有,解n=1时,原式=|1|=1,n=2时,n3时,让各列都减去第三列,则有,=6(n3)!,解,解,解,解,解,解,解构造n+1阶Vandermonde行列式,可见,Dn就是D的余子式Mn,n+1.,利用Vandermonde行列式结果有,将D按第n+1列展开则有,比较上两式中xn-1项系数可得,4.解下列方程式,解(1)由于,所以,x=4或x=2.,(2)由于(x2)(x22x1)0，,即，(x2)(x1)20，,所以，x2或x1.,解将行列式按第一行展开可见,此方程式是关于x的n-1次多项式方程.所以方程应该有n-1个解.,而由行列式性质可见,当x=ai时,行列式等于零.所以x=ai(i=1,2,n-1)是方程的n-1个解.,所以方程共有n-1个解,分别为a1,a2,an-1.,解将行列式2n列都减去第1列可得,即:-x(1-x)(2-x)(n-2-x)=0,所以方程共有n-1个解,分别为0,1,2,n-2.,(4),5.利用Laplace展开定理计算下列行列式,解按一、三行展开可得：,解按一、二行展开，再按一、二行展开可得：,6.用Cramer法则解下列方程组,解因为,而且:,所以,方程组的解为:,解因为,所以,方程组的解为:x1=1,x2=-1,x3=0,x4=2.,解由已知有xD1/D=1，所以,于是,7已知线性方程组有唯一解，且x1，求,解取=AB=(0,3),=AC=(2,2),则有,9证明点A(1,2,3)、B(1,5,6)、C(3,4,3)、D(2,-1,-1)在同一平面上，并求出该平面的方程.,8.求顶点分别为A(1,2),B(1,5),C(3,4)的三角形的面积.,解由于,所以,点A、B、C、D在同一平面上.,即：x-y+z=2.,10.求一二次多项式p2(x),使p2(-1)=6,p2(1)=2,p2(2)=3.,过点A、B、C、D的平面方程为,解令p2(x)=ax2+bx+c，带人条件可得,解得，a=1,b=-2,c=3,所以，p2(x)=x2-2x+3.,1.设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若|A|2,|B|=3,则分块矩阵的伴随矩阵为.,一.选择题,习题二（54页）,B,(A);(B);(C);(D).,解由于AA*=|A|E=2E,BB*=|B|E=3E,所以有：,所以,应选“B”。,2.设A为3阶矩阵,将A的第二列加到第一列得矩阵B,再交换B的第二行和第三行得单位矩阵,记,则A=.,解由已知有:AP1B,(A)P1P2;(B)P11P2;(C)P2P1;(D)P2P11.,所以,ABP11,所以,应选“D”。,D,P2B=E,P21P11,P2P11,5.设F,G都是4阶方阵,且|F|=2,|G|=-5,则|-3FG|等于.,3.设A是4阶方阵,且|A|=8,B=-1/2A,则|B|=.,D,4.设G是5阶的可逆方阵,且|G|1,G*是G的伴随矩阵,则有.,C,D,6.n阶矩阵A满足A2O,E为n阶单位矩阵,则.,解由于,(AE)(A+E)=A2E=E,所以,(A)|AE|0,但|A+E|=0;(B)|AE|=0,但|A+E|0;,|AE|AE|=|E|=1，,所以,应选“D”。,D,(C)|AE|=0,且|A+E|=0;(D)|AE|0,且|A+E|0;,二.填空题,2.设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|是A的行列式,Aij是A的代数余子式,若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=().,解由aij+Aij=0可得,A*=AT,于是AAT=|A|E.,所以,|A|AT|=|A|3,因此,|A|=0或|A|=1.,又由于,AO,所以,AATO,因此,|A|0.,所以,|A|=1.,1,两边同取行列式，A的行列式相当于一个数kp36且和转置行列式相等,解因为,3.设,B=P1AP,其中P为三阶可逆矩阵,则B20042A2=().,所以,B2004-2A2=P-1A2004P-2A2=P-1E501P-2A2=E-2A2,4.设1,2,3,均为41矩阵,A=(1,2,3,),B=(1,2,3,),且|A|=2,|B|=3,则|A-3B|=().,56,解|A-3B|=|-21,-22,-23,-3|,=-8|1,2,3,-3|,=-8(|1,2,3,|,+|1,2,3,-3|),=-8(|A|-3|B|)=56,5.若对任意n1矩阵X,均有AX=O,则A=().,解A=AE=A(e1,e2,en)=(Ae1,Ae2,Aen)=O.,O,三.解答题,1.设阶矩阵A,B满足AB=BA,试证明下列等式：,证明(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2,=A2+2AB+B2,(1)(A+B)2=A2+2AB+B2,(2)A2B2=(A+B)(AB)=(AB)(A+B),证明(A+B)(AB)=A2AB+BAB2=A2B2,(AB)(A+B)=A2+ABBAB2=A2B2,解令,则有,所以，z=0，x=w.,2.求与乘法可交换的所有矩阵.,即与乘法可交换的所有矩阵为：,所以A6=(-E)(-E)=E,A12=E,3.设,求A6及A11.,解由于,A11=A-1=,4.设,求(P-1AP)n,An(n为正整数).,解(P-1AP)n=P-1AnP.,所以,解利用分块对角矩阵求逆公式可得,5.求下列矩阵的逆矩阵,解因为,所以，,解法2由于,所以，A(1/4A)=E.,于是，A-1=1/4A.,6.已知X=AX+B,其中求矩阵X.,解由X=AX+B可得,(E-A)X=B,X=(E-A)-1B,所以,解由于A*=|A|A1=aA1,所以,|A*|=|aA1|=an|A1|=an1,7.设A是n阶方阵,且|A|=a0,求|A*|.,8.设实方阵AO,且A*=AT,证明|A|0.,证明由于AAT=AA*=|A|E,记A=(aij)n,则ai12+ai22+ain2=0,i=1,2,n,所以|A|0.,由于A是实矩阵,所以有aij=0,i,j=1,2,n,若|A|=0,则有AAT=O,即A=O,矛盾.,9.设A是n阶方阵,满足Am=E,其中m是正整数,E为n阶单位矩阵,A*是A的伴随矩阵,证明(A*)m=E.,证明由于|Am|=|A|m=|E|=1,所以，|A|=1.,(A*)m=(A*)mE=(A*)mAm=(A*A)m=Em=E,又由于A*A=|A|E=E,所以有,解由已知可得:B(AE)=2E,所以,|B|AE|=|2E|=4,又由于|AE|=2,所以|B|=2.,10.设矩阵,且满足BA=B+2E,求|B|.,11.设A,B为3阶方阵,且|A|=3,|B|=2,|A1+B|=2,求|A+B1|.,解由于A(A1+B)(A+B1)B,所以,|A|A1+B|A+B1|B|,于是,|A+B1|3.,证明(EA)(E+A+A2+Ak1),=EAk=E,12.设A为n阶方阵,若Ak=0,其中k为正整数,证明,(EA)1=E+A+A2+Ak1,=(E+A+A2+Ak1)(A+A2+Ak1+Ak),所以(EA)1=E+A+A2+Ak1,13.若A,B为n阶方阵,且E+AB可逆,试证,证明,(E+BA)EB(E+AB)1A,(E+BA)1=EB(E+AB)1A,所以,=EB(E+AB)1A+BABAB(E+AB)1A,=EB(E+AB)1E+AB(E+AB)1A,=EB(E+AB)(E+AB)1EA,=EBEEA,=E,(E+BA)1=EB(E+AB)1A,14.若A,B为n阶方阵,且2A1BB4E,E是n阶单位矩阵,试证:A2E是可逆矩阵.,证明由已知有：,2B=AB4A,(A2E)B=4A,所以,|A2E|B|=|4A|=4n|A|0,因此,A2E是可逆矩阵.,15.设A,B,C均是n阶方阵,如果C=A+CA,B=E+AB,求证:B-C=E.,证明由C=A+CA可得C=A(E-A)-1，,由B=E+AB可得B=(E-A)-1,所以,B-C=(E-A)-1-A(E-A)-1=(E-A)(E-A)-1=E,16.设方阵A满足A2A3E=O,证明AE和A+2E都可逆,并求(AE)1.,证明由A2+A-3E=O可得:(AE)(A+2E)=E,所以,AE和A+2E都可逆,而且,(AE)1=A+2E,17.对下列每一对矩阵A,B,求一个可逆矩阵P,使得,PA=B.,解由于交换A的2,3行得B,所以,P=E2,3.,解由于A的三行减二行2倍得B,所以P=E3+2(-2).,或P=P3+2(2)P1,2,解由于将A的第一行2倍加到第三行,再交换1,2行得B,所以，P=E1,2E3+1(2).,18.设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q.,解由已知有:AE1,2=B,BE2+3(1)=C,所以有,AE1,2E2+3(1)=C,于是,Q=E1,2E2+3(1),用分块矩阵求:(1)AB;(2)BA;(3)AB-BA;(4)A-1.,19.设,解,20.设对角矩阵A=diag(a1,a2,an),其中aiaj(ij),证明:与A可交换的矩阵一定是对角矩阵.,证明设矩阵B=(bij)与矩阵A可交换,即AB=BA,则,(AB)ij=(BA)ij,即aibij=bijaj,由于aiaj,所以bij=0,(ij),所以,B是对角矩阵.,21.某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为3岁,将其分成三个年龄组:第一组,01岁;第二组,12岁;第三组,23岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二组和第三组的繁殖率分别为4和3只.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4.假设农场现有三个年龄段的动物各1000只,问2年后和3年后农场三个年龄组的动物各有多少只?,解用xi,yi,zi分别表示第i年后三个年龄组动物只数,则，,故,2年后为(2750,3500,125),3年后为(14375,1375,875).,(A)该向量组的任何部分组必线性相关;(B)该向量组的任何部分组必线性无关；(C)该向量组的秩小于m;(D)该向量组的极大线性无关组是唯一的.,习题三（63页）,2.已知向量组1,2,m线性相关，则.,C,一.选择题,A,C,B,B,A,C,解因为,所以,向量组1,3,4线性相关.,1.设,则k=_时,1,2,3,4线性相关,所以，k=-5/13时,1,2,3,4线性相关.,-19/2,二.填空题,-5/13,解由于,2.当k=_时,向量=(1,k,5)能由向量线性表示.,解由于91-82=(2,-19,10)，所以,2k=-19线性相关.,4.设向量组线性无关,则a,b,c必满足关系式.,所以，R(1,2,3,4)=4,abc0,4,解由于,解由于，所以，abc0.,3.设,则秩(1,2,3,4)=_.,解(1)31+523=(1,4,25,7),2.设向量组1,2,3线性相关,2,3,4线性无关,问(1)1能否由2,3线性表出?证明你的结论;(2)4能否由1,2,3线性表出?证明你的结论.,三.解答题,(2)1,2=11,|1|=,解(1)由2,3,4线性无关知2,3线性无关,再由1,2,3线性相关知1可由2,3线性表示.,(2)由2,3,4线性无关知4不能由2,3线性表示,再由(1)知4不能由1,2,3线性表示.,3.判断下列向量组的线性相关性：,解令k1(1,1,0)+k2(0,1,1)+k3(3,0,0)=0,即,(2)(2,0,0),(0,1,2),(0,2,1);,解因为向量组是正交向量组,故线性无关.,(1)(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0);,所以,k1=k2=k3=0,故(1,1,0),(0,1,1),(3,0,0)线性无关.,解因为,(4)(1,0,0,2,5),(0,1,0,3,4),(0,0,1,4,7),(2,3,4,11,12);,(3)(4,-5,2,6),(2,-2,1,3),(6,-3,3,9),(4,-1,5,6);,所以,向量组的秩等于3，故向量组线性相关.,解因为,所以,向量组的秩等于4，故向量组线性无关.,4.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.,解由于,而且有,所以，1,2,3是一个极大线性无关组.,4=-3/21+1/22-3/23,解由于,所以，1,2,4是一个极大线性无关组,而且有,3=31+2，5=21+2,解只当1,2,3线性无关时,可由它们唯一表示.又由于,所以,当k0且k1时,可由1,2,3唯一线性表示.,5.设有三维向量,问k取何值时，可由1,2,3线性表示,且表达式唯一.,证明(1)如果有某个ki=0，则有,6.已知m个向量1,2,m线性相关,但其中任意m1个都线性无关,证明:(1)如果存在等式k11+k22+kmm=0,则这些系数k1,k2,km或者全为零,或者全不为零;(2)如果存在两个等式k11+k22+kmm=0,l11+l22+lmm=0,其中l10,则,k11+k22+ki-1i-1+ki+1i+1+kmm=0,由于这m1个向量线性无关,故这些系数全为零.,所以,系数k1,k2,km或者全为零,或者全不为零.,(2)由于l10,由(1)知l1,l2,lm都不为零.,(2)如果存在两个等式k11+k22+kmm=0,l11+l22+lmm=0,其中l10,则,如果k1,k2,km全为零,结论显然成立.,如果k1,k2,km全不为零,则存在c0,使得k1=cl1，,由已知可得：,(k1-cl1)1+(k2cl2)2+(km-clm)m=0,由于k1-cl1=0,由(1)知k2cl2=0,km-clm=0,即，k1=cl1,k2=cl2,km=clm,所以有,证明因为01+1i+(-1)j+0m=0,而数0,1,(-1),0不全为零.,7.证明:若存在,使，则向量组线性相关.,所以1,2,m线性相关.,8.设向量组1,2,3线性无关,问常数a,b,c满足什么条件时,a12,b23,c31线性相关.,解,所以,abc=1时,a12,b23,c31线性相关.,证明只证必要性：设1,2,s线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,ks,使得k11k22kss0,因此有k11k22kii0，即,9.证明:1,2,s(其中10)线性相关的充要条件是至少有一个i(1is)可被1,2,i-1线性表示.,由于10，故k2,ks不全为零，于是存在i(1is)使,ki0,但ki1ki+2=ks=0,所以i(1is)可被1,2,i-1线性表示.,10.设1,2,n线性无关,问向量组:1+2,2+3,n-1+n,n+1是线性相关,还是线性无关?并给出证明.,故，n为奇数时线性无关,n为偶数时线性相关.,证明令k1(1+2)+k2(2+3)+kn(n+1)0,则有(k1+kn)1+(k1+k2)2+(kn-1+kn)n0,所以(k1+kn)(k1+k2)(k2+k3)=(kn-1+kn)=0,11.设i=(ai1,ai2,ain)(i=1,2,n),证明:向量组1,2,n线性相关的充分必要条件是det(aij)=0.,证明1,2,n线性相关R(aij)ndet(aij)0.,12.设1,2,n是一组n维向量,已知n维标准单位向量组能由它们线性表示,证明1,2,n线性无关.,证明1,2,n与n维标准单位向量组等价，所以R(1,2,n)=n,故，1,2,n线性无关.,证明充分性由10题可得；,13.设1,2,n是一组n维向量,证明:它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示,必要性:设1,2,n线性无关,则对任一n维向量,由于，1,2,n，线性相关,所以,向量可由向量组1,2,n线性表示.,14.将向量组1(1,1,0)T,2=(0,2,1)T,3=(0,0,3)T正交规范化.,解先正交化，取11(1,1,0)T,再规范化，得,1,2,3就是所求的正交规范向量组.,15.设1(1,0,2,3)T,2=(1,1,3,5)T,3=(1,-1,a+2,1)T,4=(1,2,4,a+8)T,=(1,1,b+3,5)T,解由于,(1)a,b为何值时,不能由1,2,3,4线性表示？,(2)a,b为何值时,能由1,2,3,4唯一线性表示？并求出表示式.,(1)当a1,b0时,不能由1,2,3,4线性表示.,(2)当a1时,能由1,2,3,4唯一线性表示,由于,所以,16.设1(1,1,1,1)T,2=(3,1,1,3)T,1=(2,0,1,1)T,2=(3,1,2,0)T,3=(1,1,0,2)T,证明向量组1,2与向量组1,2,3等价.,证明由于,所以,R1,2,1,2,3=R1,2=R1,2,3=2.,因此,1,2和1,2都是向量组1,2,1,2,3的极大无关组.故,向量组1,2与向量组1,2,3等价.,证明设向量组1,2,s的秩为r,任取它的一个线性无关组,线性无关.,17.证明:一个向量组的任一线性无关组都可以扩充为一个极大线性无关组.,如果tr,则向量组中一定存在向量j使,所以任一线性无关组都可以扩充为含有r个向量的线性无关组，也就是向量组的一个极大线性无关组.,18.用初等变换化下列矩阵为阶梯形，并求其秩.,解,可见，R(A)=3.,解,可见，R(A)=2.,(2),解,可见，R(A)=2.,解,可见，R(A)=3.,解由于,所以,R(A)=,19.已知三阶矩阵,讨论R(A)的情形.,20.求一个秩是4的方阵,它的两个行向量是(1,0,3,0,0),(1,1,0,0,0).,解可取为,可见，R(A)=4.,21.证明两个矩阵和的秩不超过两个矩阵秩的和，即,证明记A的列向量为1,2,n，其极大线性无关组为1,2,r,B的列向量为1,2,n,其极大线性无关组为1,2,s,则,1,2,n可由1,2,r线性表示，1,2,n可由1,2,s线性表示，于是有,R(A+B)r+s=R(A)+R(B),R(A+B)R(A)+R(B),1+1,2+2,n+n可由1,2,r,1,2,s线性表示，所以,22.设A与B可乘且AB=0,证明,证法一由于,R(A)+R(B)A的列数,所以,即：R(A)+R(B)A的列数,证法二由于AB=0,故B的列向量都是A=0的解,记A的列数为，R(A)=，则R(B)，于是,R(A)+R(B),23.设A为n阶方阵,且A2=A,证明:若A的秩为r,则AE的秩为nr,其中E是n阶单位矩阵.,证明由A2=A可得A(E-A)=0，A+(E-A)=E,由A(E-A)=0，可得R(A)+R(E-A)n,由A+(E-A)=E，可得R(A)+R(E-A)R(E)=n，,于是,R(A)+R(E-A)=n,即R(A-E)=n-r.,24.设A为n阶方阵,且A2=E,证明:R(A+E)+R(AE)=n.,证明由A2=E可得(A+E)(A-E)=0，A+E+(E-A)=2E,由(A+E)(E-A)=0，可得R(A+E)+R(E-A)n,由A+E+(E-A)=2E，可得R(A+E)+R(E-A)R(2E)=n，,于是,R(A+E)+R(E-A)=n.,证明因为R(A)=r,所以存在n阶初等方阵P1,P2,Ps和m阶初等方阵Q1,Q2,Qt，使得,25.设nm阶矩阵A的秩为r,证明:存在秩为r的nr阶矩阵P及秩为r的rm阶矩阵Q，使A=PQ.,于是,则，A=PQ,且P是nr阶矩阵，Q是rm阶矩阵,记,于是，R(P)=R(Q)=r.,又由于P1-1,P2-1,Ps-1和Q1-1,Q2-1,Qt-1都是初等方阵，所以,解利用行列式性质，有,或，由于,26.设,其中i(i1,2,3)是三维列向量,若|A|=1,求|B|.,解()由已知有R1,2,33，又由于,所以，a=1.,()a=1时，又由于,所以,有,解由于s1=-2s2，所以L1，L2平行.,又由于M1-M2=(3,6,-9/2)=-3S2,所以，L1,L2重合.,28.试判断空间两直线：与的位置关系.,习题四（97页）,1设A=(1,2,3,4)是4阶矩阵,A*为A的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T是Ax=0的一个基础解系,则A*x=0的基础解系可为.,一.选择题,解由已知可得R(A)=3，且1+3=0,所以,R(A*)=1,且2,3,4线性无关,所以,2,3,4就是A*x=0的一个基础解系.,D,解因为R(A)=m时，总有R(A|b)=m,方程有解.,3若齐次线性方程组Ax=0有无穷多解,则非齐次线性方程组Ax=b.(A)必有无穷多解；(B)可能有唯一解；(C)必无解；(D)有解时必有无穷多组解.,解由已知有R(A)n,故D保证成立.,B,2若方程组Amnx=b(mn)对于任意m维列向量b都有解，则.,D,4若方程组Ax=b中,方程个数少于未知量个数,则有.(A)Ax=b一定有无穷多组解；(B)Ax=b一定无解；(C)Ax=0必有非零解；(D)Ax=0只有零解.,解因为R(A)mn,所以,Ax=0必有非零解.,5n元线性方程组Ax=b有唯一解的充分必要条件.(A)R(A)=n；(B)A为方阵且|A|0；(C)R(A|b)=n;(D)R(A)=n,且b可由A的列向量组线性表示.,解只有D保证有R(A)=R(A|b)=n,方程有唯一解.,C,D,6设A=(aij)是n阶方阵且|A|=0,若A中某元素aij的代数余子式Aij0，则Ax=0的基础解系中解向量个数是.(A)1；(B)i；(C)j；(D)n.,解因为|A|=0,Aij0，所以R(A)=n-1.,7设A为n阶方阵,且R(A)=n-1,1,2是非齐次方程组Ax=0的两个不同的解向量,则Ax=0的通解为.(A)k1；(B)k2；(C)k(1-2);(D)k11+k22.,解由于R(A)=n-1,Ax=0的基础解系只有一个解.,A,C,又由于1-2是Ax=0的非零解.,8方程组Ax=0有非零解的充要条件是.(A)A的任意两列向量线性相关；(B)A的任意两列向量线性无关；(C)A中必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)A中任一列向量都是其余列向量的线性组合.,解因为A的列向量组线性相关C,9方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是.(A)A的行向量组线性无关;(B)A的列向量组线性无关;(C)A的行向量组线性相关;(D)A的列向量组线性相关.,解Ax=0只有零解R(A)=nB,C,B,10设A是mn矩阵,Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b对应的齐次线性方程组，那么.(A)若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解；(B)若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解；(C)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0仅有零解；(D)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0有非零解.,11.设n阶行列式|A|=0,对非齐次线性方程组Ax=b,若D1,D2,Dn中(Dj是将|A|中第j列换为b后得到的行列式)至少有一个不等于零,则该方程组.(A)无解；(B)尚不能确定是否有解；(C)有唯一解；(D)有无穷多解.,解由已知可得R(A)n,R(A|b)=n,故无解.,D,A,C,解由已知可得2-1和3-1是Ax=0的两个线性无关的解.于是R(A)1，所以R(A)=1.,于是2-1和3-1是Ax=0的基础解系.,又由于(2+3)/2是Ax=的解.故应选C.,1.设A是mn矩阵,在齐次线性方程组Ax=0中,若R(A)=r,则当1,2,k是Ax=0的一个基础解系时k_,当r=_时,此方程组只有零解.,二.填空题,2.若n元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当_时,方程组有唯一解;当_时,方程组有无穷多解.,3.设A=(aij)33是实正交矩阵,且a11=1,b=(1,0,0)T,则线性方程组Ax=b的解是_.,解由已知可得：，且A-1=AT.,n-r,n,r=n,rn,(1,0,0)T,4.设A为m阶方阵,存在非零的mn矩阵B,使AB=O的充分必要条件是_.,5.设A为mn阶矩阵,存在两个不相等的nr阶矩阵B,C使AB=AC的充分必要条件是_.,解由于,R(A)m或|A|=0或A不可逆,R(A)1)阶非零矩阵,且有正整数k使Ak=0,证明A不能与对角矩阵相似.,5.设A2=E,证明A的特征值只能是1或-1.,证明设是A的特征值,是属于的特征向量,则,=E=A2=AA=A=2,即(2-1)=0,由于0,故2=1,所以等于1或-1.,证明设A能与对角矩阵相似,即存在P使P-1AP=.,由A是非零矩阵知是非零矩阵.于是k是非零矩阵,但是,k=P-1AkP=0,矛盾,所以A不能与对角矩阵相似.,7.设An阶矩阵,证明A和AT有相同特征值.,证明因为|E-A|=|(E-A)T|=|E-AT|,所以A和AT有相同特征多项式,于是有相同特征值.,(1-0)1+(2-0)2=0,8.设1,2是矩阵A的两个不等的特征值,1,2分别是属于1,2的向量,证明1+2不是A的特征向量.,证明设1+2是属于特征值0的特征向量,则,0(1+2)=A(1+2)=A1+A2=11+22,即,9.设A与B相似,证明:(1)|A|=|B|;(2)AT与BT相似;,(3)A是可逆矩阵当且仅当B是可逆矩阵,且A-1与B-1相似.,证明(1)设A=P-1BP,则|A|=|P-1BP|=|P-1|B|P|=|B|,(2)因为A=P-1BP,所以AT=PTBT(PT)-1=Q-1BTQ,Q=(PT)-1.,(3)由(1)知A是可逆矩阵当且仅当B是可逆矩阵,而且由,由于1,2线性无关,所以1-0=2-0=0,矛盾.,A=P-1BP,可得A-1=P-1B-1P,所以A-1与B-1相似.,解设P1-1AP1=B,P2-1CP2=D,记,10.设A,B都是n阶方阵,且|A|0,证明AB与BA相似.,证明取P=A可逆,有P-1ABP=BA,故AB与BA相似.,于是有,11.设A与B相似,C与D相似,证明与相似.,所以与相似.,解由已知i是A的特征值,i是相应的特征向量.,设三阶矩阵A满足Ai=ii(i=1,2,3),其中,试求矩阵A.,取，,得,则有A=PP-1，即,解因为2A+E的特征值为2k+1，k=1,2,n,13.设n阶矩阵A的特征值为1,2,n,试求|2A+E|.,所以有：,14.证明n阶方阵A可逆的充要条件是它不以0为其特征值.,证明A可逆detA0det(0E-A)0(0不是A的特征值),解设是矩阵A属于特征值的特征向量,即A=.,于是有0,故有A-1=(1/),即1/是A-1的一个特征值.,15.已知是n阶可逆矩阵A的一个特征值,试确定A-1和A*的一个特征值.,而A*=|A|A-1=(|A|/),所以|A|/是A*的一个特征值.,16.设3阶实对称矩阵A的特征值1=6,2=3=3,1=(1,1,1)T是属于特征值1=6的一个特征向量,求A.,解设矩阵A的属于特征值2=3=3的特征向量为=(x1,x2,x3)T,则与1正交,所以有x1+x2+x3=0.,所以属于特征值2=3=3的特征向量可取为:2=(1,-1,0)T,3=(1,0,-1)T,记P=(1,2,3),则有,所以有,17.设2阶矩阵A的特征值为1,-5,对应的特征向量分别为:(1,1)T,(2,-1)T,求A.,解由已知有,所以有,解由A与B相似,得A的特征值为1,1,-1,即x=1,y=-1.,(1)求x和y的值；(2)求可逆矩阵P,使得P-1AP=B.,18.设矩阵A与B相似,其中,由于,可得属于特征值-1的特征向量为:1=(1,0,0)T.,又由于,所以，可取矩阵,所以,属于特征值1的特征向量可取为:2=(1,-1,0)T,3=(1,0,1)T.,满足,P-1AP=B.,解由于,19.设矩阵的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.,可见,当a=2时,A的特征值为1=2=2,3=6.,当a=2/3时,A的特征值为1=2,2=3=4.,所以,a=2或a=2/3.,可见,R(A2E)=1,所以存在两个线性无关的特征向量.,当a=2/3时,对特征值2=3=4,由于,当a=2时,对特征值1=2=2,由于,因此,矩阵A有三个线性无关的特征向量,A可相似对角化.,可见,R(A-2E)=2,无两个线性无关的特征向量,不能对角化.,即,a=-2时,A可相似对角化,a=-2/3时,A不能相似对角化.,20.设A,B都是n阶实对称矩阵,证明A与B相似的充分必要条件是A,B有相同的特征值.,证明必要性显然，下面证明充分性：,若A与B特征值相同,则A、B与同一个对角矩阵相似,由相似的传递性知A与B相似.,证明由A2=A知,A的特征值只能是1和0.,21.设A2=A,证明A能与对角矩阵相似.,所以，R(A)+R(EA)n，R(A)+R(EA)n,而由A2=A还有:A(EA)=0,A+(EA)=E,于是，R(A)+R(EA)n，,若记，R(A)r，则R(EA)nr，,所以，特征值0有nr个线性无关特征向量，特征值1有r个线性无关特征向量.,于是,矩阵A有n个线性无关特征向量,故A与对角矩阵相似.,22.设A,B均是n阶方阵,且R(A)+R(B)n,解由于的特征值为6,0,0,或R(A)=1.,6.已知二次型经正交变换x=Py可化为标准形f=6y12,则a=_.,2,解由已知可得A的三个特征值为0,0,3.,7.设二次型f=xTAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准型为_.,所以,f在正交变换下的标准形为:f=3y12或f=3y22或f=3y32.,f=3yi2,i=1,2,3,三、解答题,解二次型的矩阵为,1.用正交变换化下列二次型为标准形,并给出正交变换.,(1)=2x12+5x22+5x32+4x1x24x1x38x2x3,A的特征多项式为,=(1)(211+10)=(1)2(10),A的特征值为:1=2=1,3=10,由于,属于1=2=1的特征向量可取为:,属于3=10的特征向量可取为:,再由,所以,得正交矩阵:Q=(1,2,3),作正交变换x=Qy,即,二次型变成标准形:,解二次型的矩阵为,A的特征多项式为,(2)=3x12+3x22+6x32+8x1x24x1x3+4x2x3,=y12+y22+10y32,矩阵A的特征值为1=2=7,3=2.,属于特征值1=2=7的特征向量可取为:,由于,=(7)(2514)=(7)2(+2),再由,属于3=2的特征向量可取为:,所以,得正交矩阵:Q=(1,2,3),作正交变换x=Qy,即,二次型变成标准形:,=7y12+7y222y32,解二次型的矩阵为,(3)=2x1x22x3x4,A的特征多项式为,=(21)2=(1)2(+1)2,A的特征值为:1=2=1,3=4=1.,属于1=2=1的特征向量可取为:,由于,又由,所以,得正交矩阵:Q=(1,2,3,4),作正交变换x=Qy,即,二次型变成标准形:,=y12+y22y32y42,属于3=4=-1的特征向量可取为:,解二次型的矩阵为,(4)=x12+4x22+4x324x1x2+4x1x38x2x3,A的特征多项式为,=(29)=2(9),A的特征值为:1=2=0,3=9.,由于,属于1=2=0的特征向量可取为:,又由,属于3=9的特征向量可取为:,所以,得正交矩阵:Q=(1,2,3),作正交变换x=Qy,即,二次型变成标准形:,=9y32,解=x12+2x22+2x1x22x1x3,2.用配方法化下列二次型为标准形,并给出所用可逆变换.,(1)=x12+2x22+2x1x22x1x3,只要作可逆线性变换:,化成标准形:=y12+y222y32,=(x12+2x1x2-2x1x3+x22+x32-2x2x3)+x22x32+2x2x3,=(x1+x2x3)2+(x22+2x2x3+x32)2x32,=(x1+x2x3)2+(x2+x3)22x32,解=x12x32+2x1x2+2x2x3,(2)=x12x32+2x1x2+2x2x3,只要作可逆线性变换:,化成标准形:,=(x12+2x1x2+x22)x22x32+2x2x3,=(x1+x2)2(x222x2x3+x32),=(x1+x2)2(x2x3)2,=y12y22,解先作可逆线性变换,(3)=x1x2+x1x3+x2x3,化成标准形:,=x1x2+x1x3+x2x3=y12y22+2y1y3,=(y12+2y1y3+y32)y22y32=(y1+y3)2y22y32,=z12z22z32,只要作可逆线性变换,解=(x12+4x1x2+4x1x3+2x1x4+4x22+4x32+x42+8x2x3,(4)=x12+2x22+x42+4x1x2+4x1x3+2x1x4+2x2x3,只要作可逆线性变换,+2x2x4+2x3x4,+4x2x4+4x3x4)-2x22-4x32-6x2x3-2x2x4-2x3x4,=(x1+2x2+2x3+x4)2-2(x22+3x2x3+x2x4+9/4x32+1/4x42,+3/2x3x4)+1/2x32+1/2x42+x3x4,=(x1+2x2+2x3+x4)2-2(x2+3/2x3+1/2x4)2+1/2(x3+x4)2,3.判断下列二次型的正定性.,得的标准形:=y122y22+1/2y32,由于D1=50,D2=260,D3=840,故是正定二次型.,(1)=5x12+6x22+4x324x1x24x2x3,解的矩阵为,(2)=4x1x32x124x225x32,解=2(x122x1x3+x32)4x223x32,=2(x1x3)24x223x32,所以,是负定二次型.,4.t取何值时,下列二次型为正定二次型?,可见,t2时,是正定二次型.,(1)=5x12+x22+tx32+4x1x22x1x32x2x3,(2)=x12+x22+5x32+2tx1x22x1x3+4x2x3,解的矩阵为,由于,D1=10,D2=1t20,D3=5t24t0,所以,4/50,即=xTAx为正定二次型.,而=1/21/2,其中1/2=diag(11/2,21/2,n1/2).,证明设对称矩阵A与矩阵B合同,则存在C使CTAC=B,所以,BT=(CTAC)T=CTAC=B,即B是对称矩阵.,8.设A为n阶可逆矩阵,如果A与A合同,则n必为偶数.,而,证明由于A与A合同,故存在可逆矩阵C使CTAC=-A,所以有,det(CTAC)=det(A),即,所以,n必为偶数.,det(CTAC)=det(CT)det(A)det(C),=det(C)2det(A),det(A)=(1)ndet(A),(1)ndet(A)=det(C)2det(A),(1)n=det(C)20,解二次型的矩阵为,9.已知二次型=5x12+5x22+kx322x1x2+6x1x36x2x3的秩为2,求k的值及的矩阵的特征值.,由于R(A)=2,故|A|=0,所以求得k=3.再由,=(4)(29)=(4)(9),所以,A的特征值为1=0,2=4,3=9.,解二次型的矩阵为,10.已知二次型=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(a0),经正交变换化为标准形=y12+2y22+5y32,求a和正交变换矩阵P.,矩阵A的特征多项式为,所以,A的特征值为1=2,2=3+a,3=3a.,故a=2.,由于,所以,属于特征值1=2的特征向量可取为1=(1,0,0)T.,再由,又由,所以,属于特征值2=5的特征向量可取为:,由于,所以,属于特征值3=1的特征向量可取为,P=(3,1,2),所以,对应的正交矩阵为:,解二次型的矩阵为,11.设二次型=x12+ax22+x32+2bx1x2+2x1x3+2x2x3,经正交变换x=Py化为=y22+4y32,求a,b的值及正交矩阵P.,由已知可得,A的3个特征值为0,1,4.所以,a25，即a3.又由于,所以,b1.即，a3，b1.,由于,所以,属于特征值1=0的特征向量可取为,由于,所以,属于特征值2=1的特征向量可取为,由于,所以,属于特征值3=4的特征向量可取为,P=(1,2,3),所以,对应的正交矩阵为:,解(1)由已知可知,A的特征值为1,1,0.且(1,0,1)T是对应特征值0的特征向量。,又由于A对应不同特征值的特征向量正交,所以,对应特征值1的特征向量满足方程x1+x3=0.故可取为：,(0,1,0)T和,取正交矩阵：,(1)求矩阵A；,(2)证明AE为正定矩阵,其中E为3阶单位矩阵.,则有，,(2)由于A的特征值为1，1，0，所以AE的特征值为2，2，1.,由于AE的特征值都大于0，所以A+E是正定矩阵.,解(1)二次型的矩阵为,于是有：,所以,A有一个特征值为0,两个特征值大于0,因此，只有a=2。此时A的3个特征值为0，2，3。,所以,矩阵A的所有特征值为：,(2)由于二次型f的规范形为,所以其正惯性指数为2,负惯性指数为0。,14.设n阶方阵A正定,证明A-1,A*也正定.,A-1的特征值1/i(i=1,2,n)都大于0,所以A-1是正定的.,证明由A正定知其特征值1,2,n都大于0,|A|0.,A*的特征值|A|/i(i=1,2,n)都大于0,所以A*是正定的.,15.设n阶方阵A,B正定,证明A+B也正定.,证明因为A,B正定,所以对任意x0,有,xT(A+B)x=xTAx+xTBx0,所以,A+B是正定矩阵.,而且A+B是实对称矩阵.,16.证明实二次型=xTAx,当|x|=1时的最大值为A的最大特征值.,证明设经正交变换x=Qy将化为标准形,由于|x|=xTx=yTQTQy=yTy=|y|=y12+y12+yn2,=1y12+2y12+nyn2,所以,当|x|=1时的最大值为A的最大特征值.,17.设A为n阶实对称矩阵,且满足A3+A2+A=3E,证明A是正定矩阵.,证明设是A的特征值,则有3+2+=3,即,(-1)(2+2+3)=0,由于实对称矩阵特征值全是实数,所以=1.,所以,矩阵A是正定矩阵.,证明由已知可得A-aE和B-bE都是正定矩阵，,18.设实对称矩阵A的特征值全大于a,实对称矩阵B的特征值全大于b,证明A+B的特征值全大于a+b.,利用15题结果知(A+B)-(a+b)E也是正定矩阵.,所以，A+B的特征值全大于a+b.,19.设A为n阶实对称矩阵,证明:R