《数值积分》PPT课件

第八章数值积分,近似计算,问题的提出：,在a,b上取ax0x1xnb，做f的n次插值多项式，即得到,节点,f(x),插值型积分公式,误差,梯形公式,解：逐次检查公式是否精确成立,代入P0=1：,=,代入P1=x：,=,代入P2=x2：,代数精度=1,抛物型求积公式：,二次插值求积公式：,Simpson公式,定义,若某个求积公式所对应的误差Rf满足：RPk=0对任意kn阶的多项式成立，且RPn+10对某个n+1阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为n。,代数精度：,怎样验证代数精度：,注：形如的求积公式至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）,思考：,代数精度是否是越高越好？,梯形公式的误差,定理证明,辛普森(Simpson)求积公式的误差：,思考：,结论是什么？,怎么办？,复合求积：,高次插值有Runge现象，故采用分段低次插值分段低次合成的复合求积公式。,复合梯形公式：,在每个上用梯形公式：,=Tn,/*中值定理*/,怎么办？,=Sn,注：为方便编程，可采用另一记法：令n=2n为偶数，这时，有,复合Simpson公式：,复化求积例：,复化求积例：,两种方法谁好？,给定精度，如何取n?,通常采取将区间不断对分的方法，即取n=2k,上例中2k68k=7,注意到区间再次对分时,可用来判断迭代是否停止。,5.2高斯型积分,构造具有2n+1次代数精度的求积公式,将节点x0xn以及系数A0An都作为待定系数。令f(x)=1,x,x2,x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1次代数精度。这样的节点称为Gauss点，公式称为Gauss型求积公式。,例：在两点数值积分公式中，如果积分点也作为未知量，则有4个未知量,可以列出4个方程：（在-1,1为例）,可解出：,数值积分公式,具有3阶代数精度，比梯形公式1阶代数精度高,推广：,加权Gauss积分公式,权函数,例：求的2点Gauss公式。,代入f(x)=1,x,x2,x3,不是线性方程组，不易求解。,求Gauss点求w(x),证明：“”,x0xn为Gauss点,则公式至少有2n+1次代数精度。,对任意次数不大于n的多项式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：,=0,“”要证明x0xn为Gauss点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式Pm(x)精确成立，即证明：,设,正交多项式族0,1,n,有性质：任意次数不大于n的多项式P(x)必与n+1正交。,Step1：构造正交多项式2,即：,Step2：求2=0的2个根，即为Gauss点x0，x1,Step3：代入f(x)=1,x以求解A0，A1,解线性方程组，简单。,结果与前一方法相同：,利用此公式计算的值,Matlab积分函数,q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)参数fun是被积函数,可以是表达式字符串、内联函数、M函数文件名，被积函数的自变量一般采用字母x；a、b分别是积分的上、下限，都为确定的值；tol是一二元向量，第一个元素控制相对误差，第二个元素控制绝对误差；trace若取非零值，将以动态图形展现积分的整个过程，若取零值，则不画图，其缺省值为0；p1、p2是向被积函数传递的参数。在调用函数时，前三个参数是必须的，其余参数可缺省。,Matlab积分函数,符号积分：,int(f)对f表达式的缺省变量求积分int(f,v)对f表达式的v变量求积分int(f,v,a,b)对f表达式的v变量在（a,b)区间求定积分,5.3积分方程的