一元二次方程根与系数的关系难题(精品)

韦达定理及其综合应用,韦达定理的应用：1.已知方程的一个根，求另一个根和未知系数2.求与已知方程的两个根有关的代数式的值3.已知方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值4.已知两数的和与积，求这两个数5.已知方程的两根x1，x2，求作一个新的一元二次方程x2(x1+x2)x+x1x2=06.利用求根公式在实数范围内分解因式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),题1：（1）若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0的一根是另一根的4倍，则k=_（2）已知：a,b是一元二次方程x2+2000 x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=_,考考你！,解法一：（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（1+2000a+a2+6a)（1+2000b+b2+5b)=6a5b=30ab,解法二：由题意知a2+2000a+1=0；b2+2000b+1=0a2+1=-2000a;b2+1=-2000b（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（2006a-2000a)（2005b-2000b)=6a5b=30ab,ab=1，a+b=-200（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（ab+2006a+a2)（ab+2005b+b2)=a(b+2006+a)b(a+2005+b)=a(2006-2000)b(2005-2000)=30ab,解法三：由题意知a2+2000a+1=0；b2+2000b+1=0a2+1=-2000a;b2+1=-2000b（1+2006a+a2)（1+2005b+b2)=（2006a-2000a)（2005b-2000b)=6a5b=30ab,题2：已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x2-（k+2）x+2k=0的两个实数根,另一条边c=1，求:k的值。,考考你！,题3：已知关于x的一元二次方程x2+3x+1-m=0,（1）请为m选取一个你喜爱的数值，使方程有两个不相等的实数根。,（2）设x1,x2是（1）中方程的两个根，不解方程求：（x1-2）（x22）（x1-x2)2,（3）请用（1）中所选取的m值，因式分解：x2+3x+1-m,（4）若已知x12+x22=10，求此时m的值。,（5）问：是否存在符合条件的m，使得x12+x22=4？若存在，求出m，若不存在，请说明理由。,考考你！,题4：已知是方程x2x70的两个实数根。求34的值。,解法1、是方程x2x70的两实数根270270且2727234723（72）4282（）282（2）32,解法2由求根公式得121234（12）23(12)4(12)943(9448)32,解法3由已知得：27（）218令34A34BAB4（）4（）4184（2）64AB2()4()2()()4()0得：2A64A32,题5：已知x1、x2是方程x2x90的两个实数根，求代数式。x137x223x266的值。,解：x1、x2是方程x2x90的两根x1x21且x12x190 x22x290即x12x19x22x29x137x223x266x1(x19)7(x29)3x266x129x110 x23x199x110 x2310(x1x2)616,题6：已知aa210，bb210，ab，求abab的值,分析：显然已知二式具有共同的形式：x2x10于是a和b可视为该一元二次方程的两个根再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解,解：由已知可构造一个一元二次方程x2x1=0，其二根为a、b由韦达定理，得ab1，ab1故abab2,题7：若实数x、y、z满足x6y，z2xy9求证xy,证明：将已知二式变形为xy6，xyz29由韦达定理知x、y是方程u26u(z29)0的两个根x、y是实数，364z2360则z20，又z为实数，z20，即0于是，方程u26u(z29)0有等根，故xy,由已知二式，易知x、y是t23t80的两个根，由韦达定理可得。,题9：已知方程x2pxq0的二根之比为12，方程的判别式的值为1求p与q之值，解此方程,解：设x2pxq0的两根为a、2a，