换元法、分部积分法

,二、定积分的分部积分法,第四节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一问题的提出（Introduction),我们知道求定积分的关键是求原函数，而求原函数的方法是求不定积分，然而不定积分中有换元法，那么定积分是否也有换元法，有哪些不同？,在一定条件下，可以用换元积分法与分部积分法来计算定积分.,不定积分的换元法,第二类换元公式,第一类换元公式,二、定积分的换元法(FormulaforIntegrationbySubstitution),二、定积分的换元法,定理1.设函数,单值函数,满足:,1),2)在,上,证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.,是,的原函数,因此有,则,则,说明:,2)当,即区间换为,定理1仍成立.,3)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.,4)换元公式也可反过来使用,即,或配元,配元不换限,1）换元的基本思路是方便有效地找出被积函数的原函数。这与不定积分的换元思路相同。,例1：求积分,解：,令,当x=0时，t=0，,当x=8时，,对换元法中的条件常用观测法加以验证。,在0,2上，,t=2，,连续可导且单调，所以,例2.计算,解:令,则,原式=,且,几何意义,想一想，为什么不能取t的范围为,例3：计算,解：,例3.计算,解：,注意被积函数在不同积分区间内的符号,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,例4.计算,解:,原式,换元时，若不写出代换变量，则不要换上、下限。,例5.,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,例6：求,解：设,例7：求,解：,奇函数,例8.计算,解:,原式,偶函数,单位圆的面积,证,（1）设,（2）设,证,证,例10：设,解：,例11计算,解,令,原式,原式=,解:(1)法一记,并由此计算,则,即,例12.设f(x)是连续的周期函数,周期为T,证明：,法二：,与a无关,所以,(2),周期的周期函数,则有,二、定积分的分部积分法(FormulaforIntegrationbyParts),定理2.,则,证:,几点注记：,（1）使用定积分的分部积分公式的方法或技巧同不定积分的情形完全相同，其目的还是要快捷、方便地求出原函数。,（2）使用分部积分法不需要变换积分上、下限.,（3）分部积分法常与换元法结合使用。,例1.计算,解:,原式=,例2.计算,解：幂函数与三角函数乘积的积分，可考虑用分部积分法，设法去掉x。,例3,计算,解,去掉绝对值时注意分积分限,例4：设f(x)有一个原函数，求,解：,例5计算,解,例6.设求,解:,例7.证明,证:令,n为偶数,n为奇数,则,令,则,由此得递推公式,于是,而,故所证结论成立.,内容小结,基本积分法,换元积分法,分部积分法,换元必换限配元不换限边积边代限,思考与练习,1.,提示:令,则,2.设,解法1.,解法2.,对已知等式两边求导,思考:,若改题为,提示:两边求导,得,得,3.设,求,解:,(分部积分),备用题,1.证明,证：,是以为周期的函数.,是以为周期的周期函数.,解：,2.,右端,试证,分部积分积分,再