抛物线解析式的求法

抛物线解析式的求法,桃江县桃花江镇一中刘跃明,知识回顾：,（1）开口向下且过（0，3）的抛物线可能是（）A、y=-x2+x+3B、y=x2+3x+2C、y=x+3D、y=-x+3（2）开口向下，顶点为（-1，2）的抛物线可能是（）A、y=-2(x+1)2+2B、y=-2(x-1)2+2C、y=(2x+1)2+2D、y=x2+1（3）开口向上，且与x轴交于（-3，0）；（2，0）的抛物线可能是（）A、y=3(x-3)(x+2)B、y=2(x+3)(x-2)（4）将抛物线y=x2向右平移5个单位后的解析式是。,A,A,B,y=(x5)2,二次函数常见的几种模型一般式：y=ax2+bx+c(a0）顶点式（平移式）：y=a(x-d)2+h(a0）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0）,题一：已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。,（3，0）,知识探究:,抛物线解析式的合理选择,如图一，已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,如图二，已知抛物线上顶点坐标，通常选择顶点式。,如图三，已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,一般式：y=ax2+bx+c(a0）,顶点式（平移式）：y=a(x-d)2+h(a0）,交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0）,图一,图二,图三,题二：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,（1）建立合适的直角坐标系，求点A、B、C、D的坐标，并设出抛物线的解析式。,知识巩固：,以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,可设抛物线：ya(x10)(x10),以CD的中点为坐标原点建立平面直角坐标系,可设抛物线：ya(x5)(x5),以A点为坐标原点建立平面直角坐标系,可设抛物线：ya(x20)(x0),过C点作AB的垂线，垂足为O，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系,可设抛物线：ya(x5)(x15),或：yax2bx3,ya(x10)(x10),yax2,或ya(x20)(x0),或ya(x5)(x15),yax2bx3,yax2bx,（2）求当正常水位时，拱桥的顶端离水面有多少米？,解：以AB的中点为坐标原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,可知，A(-10,0)，B(10,0),可设抛物线：ya(x10)(x10),又易知C（-5，3），D(5,3),所以3a(510)(510),所以a,所以抛物线的解析式为yx24,当X=0时，Y=4,所以当正常水位时，拱桥的顶端离水面4米,知识拓展,O,x,y,b,(0,b2),2b,(2b,b2),y=(xb)2,题三：如图，将抛物线y=x2左右平移，平移后的抛物线与直线y=x+2交于点E，与y轴交于点F，若EF/x轴，求平移后的抛物线的解析式。,E,F,y=x+2,解：不妨设抛物线的解析式为y=（x-b）2，对称轴直线xb，则F（o，b2）因为EFX轴E、F关于直线xb对称点E的横坐标为2b，且点E在直线y=x+2上E（2b，b+2）b2=b+2解之有b1=-1，b2=2平移后抛物线的解析式为y=（x+1）2或y=（x-2）2即：y=x2+2x+1或y=x24x+4,思维提炼,2.抛物线y=x2-2x-1的顶点为A,另一抛物线与轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在抛物线y=x2-2x-1的对称轴上，(1)求点A与点C的坐标(2)当四边形AOBC为菱形时，求另一抛物线的解析式,课后练习,1.已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。,二次函数常用的几种解析式的确定技巧,已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。,已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。,已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式。,1、一般式,2、顶点式,3、交点式,4、平移式,将抛物线平移，函数解析式中发生变化的只有顶点坐标，可将原函数先化为顶点式，再根据“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求新函数的解析式。,解法二：交点式,不妨设解析式为,即y=a(x+1)(x-3),又C（1，4）在抛物线上,4=a(1+1)(1-3),a=-1,y=-(x+1)(x-3),即：,例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。,三、应用举例,由题可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为A(-1,0)、B（3，0）,（3，0）,例1、已知二次函数的图像如图所示，求其解析式。,解法三：一般式,设解析式为,即：,三、应用举例,又由题可知，抛物线经过A(-1,0)、C（1，4）,（3，0）,易得B（3，0）,例2、将抛物线向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线的解析式。,解法：将二次函数的解析式,转化为顶点式得：,(1)、由向左平移4个单位得：,（左加右减）,（2）、再将向下平移3个单位得,（上加下减）,即：所求的解析式为,三、应用举例,例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；,三、应用举例,即：,E,F,a=-0.1,解：（1）、由图可知：抛物线经过O（0，0），B（-12，0）。,设解析式为,又A（-2，2）点在图像上，,即：,（-12，0）,（-2，2）,三、应用举例,例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。,P,Q,(2)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过拱桥顶点的纵坐标。,水位+船高=2.5+1.4=3.93.6,解：,顶点（-6，3.6）,当水位为2.5米时，,船不能通过拱桥。,PQ是对称轴。,2.5,三、应用举例,例3、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。（3）当水位是2米时，高1米，宽为4米的船能否通过拱桥？请说明理由。,P,Q,(3)、分析：船能否通过，只要看船在拱桥正中间时，船及水位的高度是否超过船的边缘所在位置拱桥的拱高。,水位+船高=2+1=3,解：,当水位为2米时，,船能通过拱桥。,当船宽为4米时，船边缘所在位置拱桥的拱高为：,即当x=-4时，,=-0.1(-4)2-1.2(-4),=3.2,33.2,-4,2,3.2,练习1,练习2,思想方法,应用举例,一般式,顶点式,交点式,例2应用,例1,尝试练习,二次函数的几种解析式及求法,前言,二次函数解析式,练习3,小结,平移式,例3平移式,练习4,二次函数是初中代数的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压轴题之中。因此，熟练掌握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题的基础和关键。,四、尝试练习：,练习1.已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。练习2.已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。练习3.将二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。,练习4.如右图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,O,x,y,练习5.有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m（1）建立如图直角坐标系，求点B、D的坐标。（2）求此抛物线的解析式；,练习6.探索：利用二次函数说出x2-2x-30的解集,评析：,刚才采用一般式、顶点式和交点式求解，通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。同时也培养学生一题多思、一题多解的能力，从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。,2007年中考数学命题趋势，贴近学生生活，联系实际，把实际问题转化为数学模型，培养学生分析问题、解决问题的能力，增强学以致用的意识。,1、已知二次函数的图像过原点，当x=1时，y有最小值为-1，求其解析式。,四、尝试练习,解：设二次函数的解析式为,x=1,y=-1,顶点（1，-1）。,又（0，0）在抛物线上，,a=1,即：,2、已知二次函数与x轴的交点坐标为（-1，0）,（1，0），点（0，1）在图像上，求其解析式。,解：设所求的解析式为,抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0）、（1，0）,又点（0，1）在图像上，,a=-1,即：,四、尝试练习,3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,四、尝试练习,即当x=OC=1.62=0.8米时，过C点作CDAB交抛物线于D点，若y=CD3米，则卡车可以通过。,分析：卡车能否通过，只要看卡车在隧道正中间时，其车高3米是否超过其位置的拱高。,四、尝试练习,3、如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m，跨度为7.2m一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？,解：由图知：AB=7.2米，OP=3.6米，A（-3.6，0），B（3.6，0），P（0，3.6）。,又P（0，3.6）在图像上，,当x=OC=0.8时，,卡车能通过这个隧道。,四、尝试练习,4、将二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移4个单位，求其解析式。,解：二次函数解析式为,（1）、由向右平移1个单位得：,（左加右减）,（2）、再把向上平移4个单位得：,（上加下减）,即：所求的解析式为,刘炜跳投,想一想,5.刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,c,分析：要求出他跳离地面的高度，关键是,1.首先要求出该抛物线的函数关系式,2.由函数关系式求出C点的坐标，即求出点C离地面的高度h，h-0.15米-刘炜的身高即,他跳离地面的高度.,?,h,如图，刘炜在距离篮下4米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,然后准确落入蓝筐.已知蓝筐中心到地面距离为3.05米.如果刘炜的身高为1.9米,在这次跳投中,球在头顶上方0.15米处出手,问求出手时,他跳离地面的高度是多少?,探索:,C,y,x,o,h,解：建立如图所示的直角坐标系,则抛物线的顶点A(0,3.5),蓝筐中心点B(1.5,3.05),所以，设所求的抛物线为y=ax3.5,又抛物线经过点B（1.5，3.05），得,a=-0.2,即所求抛物线为y=-0.2x3.5,当x=-2.5时,代入得y=2.25又2.25-1.9-0.15=0.2m,所以,他跳离地面的高度为0.2m,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,（2）求此抛物线的解析式；,（3）现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280km（桥长忽略不计）货车以40kmh的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？,6：有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m,解：（1）B（10，0），D（5，3）,（2）设抛物线的函数解析式为,由题意可得：,解得：,抛物线的函数解析式为：,设货车速度为xkmh，能安全通过此桥.,则4x+40280解得x60,故速度不小于60kmh，货车能安全通过此桥。,（4）现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280km，货船以40kmh的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在AB处，当水位到达CD时，禁止船只通行）试问：如果货船按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要