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文档简介

Chap2极限与连续,古希腊Archimede“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽“割圆术”；Newton“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。,Chap21,数列极限,一、数列,定义1函数f:NR称为数列，记为xn.即xnf(n),nN,或x1,x2,xn,xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。,几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取,例1讨论数列的单调性和有界性,（n重根号）,3,PPT学习交流,二、数列极限定义,4,PPT学习交流,5,PPT学习交流,定义2设有数列xn.若存在常数A，使得0,NN,当nN时，|xnA|，则称xn的极限为A，或称xn收敛于A，记为,若A不存在，则称数列xn无极限，或称为发散(不收敛),是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。,N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足|xnA|N成为的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.,适当放大法：,7,PPT学习交流,例7设数列xn对常数A和0yn”,结论也不能改为“AB”.,9,PPT学习交流,推论4若,推论3（保号性）若,若将“A0”换为“A0,且,则有,推论3若an0,且,则有,17,PPT学习交流,例14求极限,Ex.求极限,五、数列收敛准则,1单调有界定理设数列xn单调增加.则当xn有上界时,xn收敛，当xn上无界时,xn为正无穷大，且均成立,若xn为单调数列.则xn收敛xn有界.,想一想数列xn单调减少时的情形？,18,PPT学习交流,(n重根号),例15设,例17证明数列,e=2.7182818284是自然对数的底(lnx=logex),是无理数.,证明存在并求之.,19,PPT学习交流,且xn单调增加收敛于e,yn单调下降收敛于e.,例18设,证明cn收敛.,实际上,我们还有,20,PPT学习交流,定义5数列xn中依次取出下标为n1n2nk1时，an收敛；当p1时，an为正无穷大.,22,PPT学习交流,3Cauchy收敛准则数列xn收敛的充要条件是：,基本列(Cauchy列)满足上述必要性条件的数列！,等价形式：,否定形式：数列xn发散当且仅当,问题：数列xn为基本列与,pN有等价吗？,23,PPT学习交流,例22设,证明xn发散.,注此例中，对pN有,例23设,证明xn收敛.,思考题如何求极限值,2
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