第6章 自由曲线与曲面new

1,第6章自由曲线与曲面,6.1基础知识,6.2自由曲线的数学描述,6.3自由曲面的数学描述,2,6.1基础知识一、曲线和曲面的表示形式,（1）表示形式显式：y=f(x)，z=f(x，y)如y=mx+b表示直线(一个x对应一个y)一般，显式很难表示封闭、多值曲线。,3,隐式：f(x,y)=0，F(x,y,z)=0例如，ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0圆锥曲线(x/a)2+(y/b)2+(z/c)2=1椭球面,参数式:x=x(t),y=y(t)x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)例如，x=rcos,y=rsin表示圆,表示椭球面,4,矢量形式：,5,非参数方程的表示有以下缺点：1)与坐标轴相关;2)会出现斜率为无穷大的情况;3)非平面曲线曲面难以用常系数非参数化函数表示;4)不便于计算和编程。,(2)表示形式的比较,6,参数方程的优点：1)有更大的自由度来控制曲线曲面的形状;2)与坐标轴无关;3)便于处理斜率无穷大的问题，不会因此而中断计算;4)用参数表示曲线时，因为参数变量是规范化的，t的变化限制在0,1范围内，所以曲线总是有界的。,7,关于C0,C1,C2和G0,G1,G2的连续C0和G0连续：连接点处位置相等。G1连续：连接点处位置相等，切矢方向相同，大小不等。C1连续：连接点处位置相等，切矢方向/大小均相同。G2连续：连接点处G0、G1连续，且二阶导数方向相同，大小不等。C2连续：连接点处C0、C1连续，且二阶导数大小和方向相等。,二、曲线段间的连续性,8,9,三、曲线曲面的拟合（插值和逼近）,在工程实践中，如飞机、汽车、船舶的外形设计时，常遇到由离散点来构造曲线和曲面的问题。解决这个问题的通常方法是“拟合”。拟合包含插值和逼近两类方法：,插值法(interpolation):采用完全通过原始给定的型值点构造曲线、曲面并达到某些设计要求的方法。,给定的一组有序数据点，可以从某个形状测量得到，也可以是设计员计算给出;顺序通过这些点，构造曲线/曲面。,10,逼近法(approximation)：采用相对贴近原始给定的型值点构造曲线、曲面并达到.设计要求的方法。,如果测量所得或设计员给出的数据点本身就很粗糙，要求构造一条曲线严格通过给定的一组数据点就没什么意义。这时，要求所构造的曲线在某种意义下最为贴近给定的数据点。,插值法：三次样条（参数）曲线、双三次coons曲面。逼近法：Bezier曲线/曲面、B样条曲线/曲面、NURBS曲线/曲面等。,11,6.2自由曲线的数学描述一、三次样条曲线,给定（n+1）个点Pi(i=0,1,n),要找出一条过这些型值点的曲线C(u),有两种极端情况:1)每对点Pi，PI+1之间的线性插值。问题是只能保证各个曲线段连续，整条曲线在型值点处出现拐折现象。,为什么用“三次”？,12,2）使用n次拉格朗日多项式插值。当Pi的点数n越多，插值多项式的次数越高，曲线会引起激烈波动、振荡，甚至扭曲，且计算量很大。,另外，单一的低次多项式曲线又难以用来描述复杂形状的曲线。,唯一的选择：采用分段的低次多项式插值生成低次曲线段，并在满足一定的连接条件下逐段拼接起来。,大多数应用发现，三次是一个好的折衷。,13,三次样条函数就是一种分段三次多项式插值，它不但能保证曲线上斜率连续（一阶导数连续）变化，而且也能保证曲率连续（二阶连续）变化。这对飞机、汽车、船舶的外形来说，已能满足要求了。,14,1.三次样条函数力学背景,数学上的三次样条来自生产实践中放样员的样条。所谓的样条是一根富有弹性的均匀的细木条或塑料条。放样员先将型值点准确地点在图板上，用压铁强迫模线通过这些型值点，再适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得满意的形状，才沿着样条画出所需的曲线。,15,如果把样条看成弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某些点上的集中载荷，可把上述画模线的过程在力学上抽象为：求弹性细梁在外加集中载荷作用下产生的弯曲变形。切出两相邻压铁间的一段梁看，只在梁的两端有集中力作用，故弯矩在这段梁内是线性函数。,与材料和形状有关的常数,16,M（x）是线性函数，函数Y（x）是x的三次多项式，在整个梁上Y（x）是分段三次函数，但它处处二阶可导。这一力学背景，导致了数学上三次样条函数概念的建立。,样条特点：（1）样条本身是连续的整体，相当于函数是连续的；（2）样条左右两段在压铁处的斜率相同，相当于函数是一阶连续的。（3）样条左右两段在压铁处的曲率相同，相当于函数是二阶连续的。,17,2.三次样条函数定义,定义:在区间x0,xn上给定一个分割：x0x1xn-1xn插值条件为:,若有函数y(x)适合：1）y(xi)=yi(i=0,1,n)；2）y(x)在全区间x0,xn上二次连续可导；3）在每个子区间xi-1,xi(i=1,n)上是x的三次多项式。则称y(x)是关于已知插值条件的三次样条函数。由样条函数构成的曲线称为样条曲线。,18,1)三次样条曲线段,以自变量u表示的三次曲线方程为：y(u)=a0+a1u+a2u2+a3u3曲线的始末端点通过一对已知位置矢量y0和y1，已知切矢（对参数u求导)y0和y1,则有方程：,19,解出a0，a1，a2，a3，带入,整理后得到：,20,（6-1）,其中：,（6-2）,21,矩阵形式：,其中：,F0、F1、G0、G1称为Hermite基函数。作用：控制曲线段两端点的位置矢量和一价导矢对曲线形状的影响。,(6-3),22,2)三次样条曲线之一,现在解决区间xi-1，xi上带一阶导数的插值问题。设对应于区间两端的函数值与一阶导数(对x)值如图。从u0,1xxi-1,xi:u=(x-xi-1)/hi,(hi=xi-xi-1)故,yu=yxhi,对应于xxi-1,xi，仿式(6-3),第i段曲线的表达式为：,(6-4),(i=1,2,.,n),(用型值点处一阶导数表示),M是对x的导数,23,(6-4)式确定的函数y(x)，本身及其一阶导数y(x)在x0，xn上的连续性，是由各段的插值条件保证的，不论m0，m1，mn取什么值，y(x)、y(x)总是连续的。但任意地选取m0，m1，mn就不能保证y”(x)在x0，xn上连续。为保证各内节点处的y”(x)也连续，mi必须满足一定条件。,24,将式(6-4)对x求导两次，得y”i(x)为u的函数。,则让:第i段xi-1，xi曲线段的末点(在xi处,此点u=1)，与第i+1段xi，xi+1曲线段的始点(在xi处,此点u=0),25,的二阶导数连续：y”i(xi)=y”i+1(xi)整理后得m关系式：,imi-1+2mi+imi+1=ci(i=1,2,.,n-1)(6-5),26,式(6-4)、(6-5)包含m0，m1，,mn共n+1个未知量，对应整条曲线的x0、x1，xn的n+1型值点，式(6-5)包含n-1个方程个数，还不足以完全确定这些mi，须添加两个条件。,这两个条件通常根据对边界节点x0与xn处的附加要求来提供，故称为端点条件。常见有以下几种：,(1)已知曲线两端点处的m0与mn。(6-5)式成为关于n-1个未知量m1mn-1的n-1个线性方程。第一个方程为：2m1+1m2=c1-1m0第n-1个方程为：n-1mn-2+2mn-1=cn-1-n-1mn,27,(2)给定两端点的二阶导数M0、Mn。,得:2m0+m1=C0mn-1+2mn=Cn,i0代入,in代入,28,在求得所有mi后，分段三次曲线即可由(6-4)确定。整条三次样条曲线的表达式为：y(x)=yi(x)(i=1,2,.,n),(3)特别当M0=0或Mn=0时，称为自由端点条件。此时端点为切点，曲率半径无限大。例如，在曲线端点出现拐点或与一直线相切时。,29,与2)方法类似，先解决u0,1带二阶导数的插值问题，推广到整个x0,xn区间。曲线段两端点四个已知条件：y0，y1，y0，y”1。构作三次曲线段方程为：,y(u)=y0F0(u)+y1F1(u)+y”0G0(u)+y”1G1(u),(6-6),F0(u)=1-uG0(u)=-u(u-1)(u-2)/6F1(u)=uG1(u)=u(u-1)(u+1)/6,(6-7),3)三次样条曲线之二,(用型值点处二阶导数表示),30,在区间xi-1，xi上带二阶导数的插值。设对应于xxi-1,xi区间两端点的函数值与二阶导数(对x)值分别为yi-1，yi，Mi-1，Mi。则该曲线段的表达式为：,(6-8),它适合指定的带二阶导数的插值条件，保证了函数及其二阶导数在x0，xn上的连续性。但为了使各内节点处的一阶导数也连续，则Mi必须适合M关系式。,(i=1,2,.,n),31,根据:yi(xi)|u=1=yi+1(xi)|u=0,得M关系式：,iMi-1+2Mi+iMi+1=di(6-9),它是一个有n-1个方程的线性方程组，含n+1个未知数M0，M1，Mn，为了完全确定它们，必须加上两个端点条件。常用的端点条件有：,32,1）两端点二阶导数值M0、Mn。当M1=Mn=0时，为自由端点条件。2）两端点二阶导数值m0、mn已知。,求得Mi后，分段三次曲线可由式（6-8）确定，整条三次样条曲线可由y(x)=yi(x)(i=1，2，n)表示。,33,3.三次样条曲线的局限性,1)大斜率曲线不能处理,受样条函数力学背景假设（dy/dx1）限制,不适合大挠度情况。与坐标系的选取有关。,2)多值曲线不能处理,受样条函数定义限制，x与y须单值对应。与坐标系的选取有关。,3)无局部性,从m-关系式、M-关系式可知。,34,4.参数样条曲线累加弦长三次参数样条曲线,给定一组型值点Pi(xi,yi,zi),(i=0,1,.,n)构造三个关于参数u的插值三次样条函数：x=x(u)，y=y(u)，z=z(u)它们分别插值于点集(ui,xi)、(ui,yi)、(ui,zi)，i=0,1,n。将三者合并，形成三次参数样条曲线r(u)=x(u)，y(u)，z(u),35,累加弦长三次参数样条曲线定义：给定型值点pi(xi，yi，zi），i=0,1,n，累加弦长为：s0=0sk=lk=(xi-xi-1)2+(yi-yi-1)2+(zi-zi-1)2,(k=1,2,.,n),i=1,k,i=1,k,二阶连续可微，都是参数s的分段三次多项式。所得的参数样条曲线r(s)=x(s)，y(s)，z(s)也是二阶连续的，具有连续的斜率、曲率。,由此得数据表:,据表可构造三个插值三次样条函数x=x(s),y=y(s),z=z(s),它们在区间s0,sn上,36,举例:已知三个位置矢量P0(0,0)、P1(1,2)、P2(3,2),端点条件:自由端点。确定过三点的三次样条曲线。,提示：M0=M2=Mx，My=0，0，Mx=，My=,用M关系式求出M1；,用（6-8）式写出x=x(s),y=y(s),iMi-1+2Mi+iMi+1=di(6-9),参数用累加弦长确定,37,二、Bezier曲线1.Bezier曲线的定义,一条Bezier曲线由两个端点和若干个不在曲线上但能够决定曲线形状的点确定。下图表示一条三次Bezier曲线由两个端点V0、V3和另两个不在曲线上的点V1、V2确定。,V0、V1、V2、V3构成了来定义曲线的特征多边形。,38,一般，n次Bezier曲线由n+1个顶点构成的特征多边形确定。,Bezier曲线的表达式：由特征多边形顶点的位置矢量与伯恩斯坦基函数线性组合。,（6-10）,i=0,1,2,.,n,39,一次Bezier曲线：n=1，两个控制顶点,是一条直线。r(u)=(1-u)V0+uV1，,u,u,40,三次Bezier曲线,n=3,有四个控制顶点。B3,0(t)=1-3u+3u2-u3B3,1(t)=3u-6u2+3u3B3,2(t)=3u2-3u3B3,3(t)=u3,1000-33003-630-13-31,u,（6-11）,（6-12）,MBE,r(u)=1uu2u3,41,2.Bezier曲线的几何性质,1）端点性质位置矢量:u=0时,r(0)=V0，u=1时,r(1)=Vn切矢量:r(0)=n(V1-V0)，r(1)=n(Vn-Vn-1)二阶导矢:r(0)=n(n-1)(V2-2V1+V0)，r(1)=n(n-1)(Vn-2Vn-1+Vn-2),Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的始、末顶点；曲线在起点和终点处分别与特征多边形的第一和最后一条边相切，切矢量的模长为第一和最后边长的n倍。曲线在两端点处的k阶导矢只与它最近的(k+1)个顶点有关。,42,2)对称性特征多边形的顶点位置不变，仅仅序号相反，Bezier曲线的形状不变,仅方向相反。,43,3)凸包性,4)几何不变性Bezier曲线的形状和位置，仅与特征多边形的顶点位置有关，与坐标系的选择无关。,44,5)变差减小性若特征多边形是一个平面图形，那么平面内的任意直线，与r(u)的交点个数，不多于与特征多边形的交点个数。,45,3.Bezier曲线的几何作图法及其分割,46,B点运动，保持这个比例不变,47,V01,V11,V21,V02,V12,V03,分割过程:,V0V1V2V3,V00V10V20V30,V01V11V21,V02V12,V03,分割递推算法:,48,voidbez_to_points(degree,npoints,coeff,points)intdegree,npoints;floatcoeff,points;floatt,delt;inti;floatdecas();delt=1.0/(float)npoints;/*steplength*/t=0.0;for(i=0;i=npoints;i+)pointsi=decas(degree,coeff,t);t=t+delt;,49,floatdecas(degree,coeff,t)floatcoeff;floatt;intdegree;intr,i;floatt1;floatcoeffa10;t1=1.0-t;for(i=0;i=degree;i+)coeffai=coeffi;for(r=1;r=degree;r+)for(i=0;i=degree-r;i+),50,coeffai=t1*coeffai+t*coeffai+1;return(coeffa0);,51,4.Bezier曲线的拼接,以三次Bezier曲线为例。对于形状比较复杂的曲线，只用一段三次Bezier曲线描述就不够了。工程上往往用分段Bezier样条曲线描述。将分段的Bezier曲线连接起来构成三次Bezier样条曲线，其关键问题是如何保证连接处具有G1及G2连续性。,52,1)位置连续,r(2)(u2=0)=r(1)(u1=1)V0(2)=V3(1),2)斜率连续,r(2)(0)=r(1)(1)V1(2)=(V3(1)-V2(1)+V0(2),即，要求三顶点(V2(1)、V3(1)=V0(2)、V1(2)共线。,53,3)曲率连续,r(2)(0)=2r(1)(1)+r(1)(1),V2(2)-V3(1)=(2+2+/2)(V3(1)-V2(1)-2(V2(1)-V1(1),表明V1(1)、V2(1)、V3(1)=V0(2)、V1(2)、V2(2)五点共面。,54,5.反算Bezier曲线特征点,给定n+1个型值点Pi(i=0,1,.,n),要求构造一条Bezier曲线通过这些点。,先求过Pi的的特征多边形顶点Vi（i=0,1,.,n)。取参数u=i/n代入(6-10)式,与点Pi对应，反求Vi。,55,三、均匀B样条曲线,保留Bezier方法顶点和基函数线性组合带来的直观、方便、易修改的优点，仍然采用控制顶点定义曲线。B样条与Bezier曲线比较,区别在于：Bezier曲线的次数等于控制顶点数1，但曲线与特征多边形仍逼近不够；B样条曲线的次数与控制顶点的数量无关，曲线与特征多边形相当接近。Bezier曲线缺乏局部性质，修改一个顶点将影响整条曲线；B样条曲线具有局部性质。,56,B样条曲线的定义:给定n+1个顶点V0,V1,Vn,确定的B样条曲线其中，Ni,M是B样条基函数。,r(u)=,57,1.三次B样条曲线,1)三次B样条基函数,N0,4(u)N1,4(u)N2,4(u)N3,4(u)=1uu2u3MB,(6-13),u,先给出工程上常用的三次B样条基函数的矩阵表达式:,58,2)三次B样条曲线段,u,(6-14),端点性质:,ri(0)=Vi+1+(Vi+Vi+2)Vi+1ri(1)=Vi+2+(Vi+1+Vi+3)Vi+2,59,ri(0)=Vi+1+(Vi+Vi+2)Vi+1,60,ri(0)=(Vi+2Vi)ri(1)=(Vi+3Vi+1)ri”(0)=(Vi+2Vi+1)+(ViVi+1)ri”(1)=(Vi+3Vi+2)+(Vi+1Vi+2),(6-15),61,62,3)三次B样条曲线,当特征多边形的顶点超过四个时,每增加一个顶点,相应地增加一段样条曲线。因为特征多边形中每四个相邻的顶点按（6-14）式定义一段曲线。,u,，,(i=0,1,.,n-2),(6-15),63,ri(u),ri+1(u),u,64,2.B样条基函数定义,三次B样条基函数的Clark方法,已知n+2个顺序排列的位置矢量：V0、V1、.、Vn+1设Nj，4(u)(j=0,1,2,3)为u的三次多项式:Nj，4(u)=Aju3+Bju2+Cju+Dj,j=0,1,2,3（有16个系数）,ri(u)=N0,4(u)Vi+N1,4(u)Vi+1+N2,4(u)Vi+2+N3,4(u)Vi+3,(6-16),(i=0,1,.,n-2;u0,1),(根据曲线位置、斜率、曲率连续推导）,65,要求曲线段在连接处位置、斜率、曲率连续,即,ri(1)=ri+1(0)ri(1)=ri+1(0)ri”(1)=ri+1”(0),根据位置矢量Vi+j(j=0,1,2,3,4)的系数相等条件,每式有五个方程,共有15个方程，还差一个方程。,当Vi=Vi+1=Vi+2=Vi+3时，ri(u)=Vi（曲线退化为一点）：,N0,4(u)+N1,4(u)+N2,4(u)+N3,4(u)1,66,解方程组得到四个三次多项式Nj，4(u)(j=0,1,2,3)：,67,2）递推定义,定义：在参数轴x区间a,b上取分割a=x0x11、整数），M阶B样条基函数是一个只在M个子区间xi,xi+M非零的分段（M1m)次多项式，具有直到M2阶的连续导数。,1阶（0次）B样条基：,i,1,69,2阶（1次）B样条基：,代入(6-17):,令xi,xi+1内,u=x-xi:,Ni,2(u)=u,Ni,2(u)=1-u,i,1,70,3阶（2次）B样条基：,Ni,3(x)=,0,xixxi+1,xi+1xxi+2,xixi,xi+3,xi+2xxi+3,71,在(xixxi+1)区间,令u=x-xi,在(xi+1xxi+2)区间,令u=x-xi+1,在(xi+2xxi+3)区间,令u=x-xi+2,72,Ni,4(x)=,4阶（3次）B样条基：,0,xixxi+1,xi+1xxi+2,xi+2xxi+3,xi+3x,xi+4,xixi,xi+4,73,在(xixxi+1)区间,令u=x-xi,在(xi+1xxi+2)区间,令u=x-xi+1,在(xi+2xxi+3)区间,令u=x-xi+2,在(xi+3x,xi+4)区间,令u=x-xi+3,74,3.B样条曲线几何性质,1)端点性质,（以三次B样条曲线为例）,2)直观性,形状决定于B特征多边形，逼近度更好。,3)局部性,改变特征多边形的一顶点，只对相邻的四条曲线段产生影响。,4)凸包性5)对称性,6）几何不变性7）变差减小性,75,4.基于顶点的三次B样条曲线退化情况,1）三顶点共线,起点：拐点，切点,2）四顶点共线,起点,末点,76,3）两顶点重合,端点,4）三顶点重合,V(3),V(2),77,设计时，要求：构造一段直线，则曲线与特征多边形相切，则曲线上形成尖点，则,四顶点共线,三顶点共线或两顶点重合,三顶点重合,78,始点,末点,直线段,直线段,5.用重顶点端点条件控制曲线首末端点,79,能否使B样条曲线的端点与首末顶点重合？,利用重节点端点技术，实质是利用重节点条件改变B样条基函数。当节点重复ki次，曲线在该节点处的可微性下降为,重节点对B样条曲线的影响：1）在B样条曲线定义域内的重节点，重复度每增加1，曲线段数减少1，样条曲线在该重节点处的可微性降低1；2）当端节点重复度为k时，k次B样条曲线的端点将与相应的控制多边形的端点相重，并在端点处与控制多边形相切；3）当在曲线定义域内有重复度为k的节点时，k次B样条曲线插值于相应的控制顶点；,80,这时的节点矢量（x0，x1，xn+M）中两端节点具有重复度（k+1=M），所有内节点为均匀分布，所构造的B样条曲线称为准均匀B样条曲线。,4）当端节点重复度为k1时，k次B样条曲线就具有和k次贝齐尔曲线相同的端点几何性质；5）k次B样条曲线若在定义域内相邻的两节点都具有重复度k。可以生成在该节点区间上那段B样条曲线的贝齐尔点；6)若端节点重复度为k1的k次B样条曲线的定义域仅有一个非零节点区间，则所定义的该k次B样条曲线就是k次贝齐尔曲线。,81,（1）二次准均匀B样条曲线（k=2）,用节点矢量X=(x0，x0，x0，x1，xn，xn+1，xn+1，xn+1)构造基函数(曲线段数n3)：,首端处：,82,末端处：,83,令区间xj，xj+1内x-xj=u，则由Nj，3(x)改写为Nj，3(u):,第一段B样条曲线,在x0,x1上,j=-2,中间各段B样条曲线,在x1,x2、.、xn-1,xn上,j=-1,0,1,.,n-3,(),(),84,最后一段B样条曲线,在xn,xn-1上,j=n-2,(),将()、（）式代入：,（i=0，1，.，n-2）,85,得二次B样条曲线首、末端的位置和切矢：,r（0）=V0，r（0）=2（V1-V0）r（1）=Vn+2，r（1）=2（Vn+2-Vn+1）,即，曲线过首、末顶点，与首、末边相切。,虚线为均匀B样条曲线,实线为准均匀B样条曲线,86,6.三次参数曲线段的三种等价表示,87,Ferguson曲线:,r(u)=1uu2u3MC,r(0)r(1)r(0)r(1),88,r(u)=1uu2u3MBE,B0B1B2B3,Bezier曲线:,89,B样条曲线:,90,均匀B-Spline曲线的特点：节点等距分布，计算效率高，一般情况下可获满意效果。存在问题：1.不能贴切反映控制顶点的分布特点；2.当型值点分布不均匀时，难以获得理想的插值曲线。非均匀B样条曲线可解决这一问题。,四、非均匀B-Spline曲线,91,B样条的递推定义具有普遍意义，即使是计算非均匀B样条基函数，仍可由递推定义式来计算各幂次的B样基函数。,1.非均匀基B样条基函数,给定控制顶点Vi，i0，1，n，欲定义一条k次非均匀B样条曲线，还必须确定它的节点矢量Uu0,u1,un+k+1中具体的节点值。对于开曲线一般两端点取重复度k1，以便具有贝齐尔曲线的端点几何性质，且通常将曲线的定义域取成规范参数域，,92,2.节点矢量的确定,已知：控制顶点Vi，（i=0,1,n）节点矢量U=u0,u1,.,un+k+1,确定节点矢量方法采用Riesenfeld方法:节点的分布与各B样条曲线段的长度直接相关。把特征多边形看作为样条曲线的外接多边形，使曲线的分段连接点与特征多边形的顶点或边对应起来，然后把它展直作为参数轴（并规范化），得到节点矢量（参数序列）。,93,1）偶次B样条曲线的节点矢量,二次B样条曲线,二次B样条曲线的节点矢量为:,n-k个节点，两边除去k/2条边，后另外的边的中点。,94,节点矢量为:,四次B样条曲线,95,2）奇次B样条曲线节点矢量,三次B样条曲线的节点矢量为：,五次B样条曲线的节点矢量为：,n-k个节点，两边除去（k1）/2条边，后另外的nk个控制顶点。,96,两种曲线相比较，非均匀B样条曲线更贴近特征多边形，即更容易控制曲线形状。,非均匀B样条曲线,均匀B样条曲线,若多边形边长变化不显著，两者很接近。,97,结论：1.当特征多边形边长变化不大(邻边长比值3)时，两者接近。2.当特征多边形边长变化较大时，非均匀B样条曲线更能反映多边形特点。,3.在非均匀B样条曲线情况下，顶点位置确定了节点矢量，进而决定了基函数，故修改一个顶点的位置将影响整条曲线的形状。但各段影响程度不一。,4.对于三次非均匀B样条曲线，四顶点共线时，曲线内也能嵌入直线段，但其起止点不易直观确定。5.非均匀B样条曲线的计算量较大。,98,3、非均匀B样条曲线及其插值,1）非均匀B样条曲线,德布尔算法：,99,在某个非零节点区间,上的一组k次B样条基中仅有k1个非零的基函数：,这些B样条基由下面节点序列完全确定,100,德布尔算法,给定控制顶点di，i0，1，2n,k阶及确定节点矢量Ut0,t1,tn+k后，就定义了一条k阶曲线。求曲线定义域内以参数,计算该B样条曲线上对应一点C（u）：,101,102,bsp1_to_point(degree,l,coeff,knot,dense,points,point_num)floatcoeff,knot,points;intdegree,l,dense,*point_num;inti,ii,kk;floatdeboor();*point_num=0;for(i=degree-1;iknoti)for(ii=0;iidense;ii+),103,u=knoti+ii*(knoti+1-knoti)/dense;points*point_num=deboor(degree,coeff,knot,u,i);*point_num=(*point_num)+1;floatdeboor(degree,coeff,knot,u,i)floatcoeff,knot;floatu;intdegree,i;intk,j,104,floatt1,t2;floatcoeffa30;for(j=i-degree+1;j=i-degree+k+1;j-)t1=(knotj+degree-k-u)/(knotj+degree-k-knotj-1);t2=1.0-t1;coeffaj=t1*coeffaj-1+t2*coeffaj;return(coeffai+1);,105,2）三次非均匀B样条曲线的插值（反算）,方法：,2、根据节点矢量上相关的节点集，分别计算基函数；,3、求得反算多边形顶点方程组；,4、加端点条件，解方程组控制顶点（这与三次均匀B样条曲线反算相似）。,1、根据给定的型值点，构造节点矢量；,106,插值特点：,1、当型值点间距变化较均匀时(1:2:4:5:6)，用均匀和非均匀B样条曲线插值计算，所得的特征多边形和插值曲线两者均极为相似，差异不大，,均匀B样条曲线,非均匀B样条曲线,107,2、当型值点分布很不均匀时，两者差异明显。,均匀B样条曲线，产生拐点,非均匀B样条曲线，保凸,型值点间距比1:1:6:1:1,108,型值点间距比1:7:1:7:1,非均匀B样条曲线，保凸,均匀B样条曲线，产生拐点,109,五、有理B样条曲线,在自由曲线设计中，经常遇到传统的圆锥曲线，但无论是均匀的还是非均匀的B样条曲线都不能对其作精确表示，只有用有理B样条曲线才能作精确表示。,有理B样条方法可以对解析曲线/面和自由曲线/曲面作统一地表达。,110,其中，i为权因子，亦称齐次坐标,有理B样条曲线的表示：,111,1）构造具有权因子的顶点,2）在oxyw坐标系下得到一条非有理B样条曲线,3）把,112,1.二次有理B样条曲线,1）表达式,113,2）几何特性,114,0，1，2为转化为Bezier曲线后的权因子，C为常数。C为常数时，曲线形状唯一确定。,3）权因子对曲线形状的影响,权因子作用：调节曲线形状和控制顶点之间的关系。正权因子将曲线引向顶点；负权因子对曲线起排斥作用。在二次均匀B样条曲线中，每个顶点影响三段曲线。在有理B样条曲线中，改变一个顶点的权因子只影响两段曲线。,115,修改权因子k-1/k后的曲线,116,六、NURBS曲线,如果要用统一的形式表示一条由直线、圆锥曲线和自由曲线构造的复合曲线时，则必须用非均匀有理B样条曲线表达方法。,117,1.定义与性质,1)定义,NURBS曲线为一分段的矢值有理多项式函数，表达式为：,Bi,k(u)为k次B样条基函数，等同于Ni,M(u)表示的(6-17)式，其中M=k+1。,118,递推式定义:,ui(i=0,1,m)为节点，由其形成节点矢量U=u0,u1,um，当节点数为(m+1)，幂次为k，控制顶点数为(n+1)时，m=n+k+1。,119,即，节点矢量两端各有k+1个相同的节点，使曲线通过控制多边形首、末端点并与首、末两边相切。,对于非周期的B样条，节点矢量为,120,2）性质由有理基函数性质推得：,NURBS曲线(曲面)覆盖了多项式B样条（即当全部权因子=1时），也覆盖了有理的B样条曲线(曲面)。当节点矢量仅由两端的(k+1)重节点构成时，NURBS曲线(曲面)退化为有理Bezier曲线(曲面)。,121,2.NURBS曲线(曲面)具有多项式B样条方法所具有的一切特征:,线性变换的不变性；若无内重节点，则K次B样条是k-1阶可微的；对控制顶点(网格)多边形的逼近具有局部性；B样条曲线(曲面)包含在控制顶点所形成的凸包内；具有变差减小性质。,122,3）特点及其应用,用统一的表达式同时精确表示标准的解析形体(如圆锥曲线、旋转面等)和自由曲线/曲面。修改曲线/曲面形状时，既可借助调整控制顶点，又可利用权因子，所以有较大灵活性。与多项式B样条一样，NURBS方法的计算也是稳定的。4.NURBS曲线/曲面在线性变换(缩小、旋转、平移、剪切、平行与透视投影等)下是几何不变的。,优点：,123,缺点：,定义解析曲线/曲面时，需额外的存储空间。,例如：定义一整圆。常规方法：仅7个数（圆心x0，y0，z0），圆所在平面法矢（nx，ny，nz）和半径R；NURBS方法：以外切三角形的7个控制顶点定义时，则需要38个数(即节点矢量的10节点+顶点坐标（x，y，z，w）共28个数。,124,权因子的应用虽提供设计灵活性，也对设计人员和用户提出了更高的要求。NURBS曲面求交计算困难。,125,2.NURBS曲线的基本算法,1）NURBS曲线的求值直接由定义表达式求取与参数u对应的点，算法稳定可靠。,126,2）NURBS曲线求导,其关键是对基函数求导：Bi,0(u)=0,r(u)=,iViBi,k(u),i=0,n,iBi,k(u),i=0,n,127,可见，基函数的导数也是由递推方式定义。,128,3.NURBS曲线的应用,1)用二次NURBS曲线表示圆弧,三个控制顶点的NURBS曲线，若U0,0,0,1,1,1，则二次NURBS曲线变成：,可以证明上式是圆锥曲线的方程，其中,CSF1双曲线,表示圆的条件：V0V1和V1V2是等腰三角形的两个腰，w0w21,V0,V1,V2,f,e,w1e/f,w21,w01,W1是cos（V1V0V2）,129,对于圆心角大于180度的，分段采用上述方法，利用从节点将几段圆弧连接起来。内部重节点用二重节点。1/i,i-1/i(i为小圆弧的段数）,V0,V1,V2,V3,V4,i2节点：0,0,0,1/2,1/2,1,1,1,V5,V6,V7,V8,i4节点：0,0,0,1/4,1/4,2/4,2/4,3/4,3/4,1,1,1,130,2)复杂曲线的NURBS表示,对同时存在直线段、圆弧段、三次自由曲线段的曲线，用三次NURBS曲线统一表示的步骤：,用一次、二次NURBS曲线分别准确表示各直线段、圆弧段，后将其升阶为三次NURBS曲线；,计算整条曲线的节点矢量；,计算三次曲线段的边界条件；,用三次NURBS曲线插值各自由曲线段；,131,对求出的控制顶点及其权因子按对应型值点间的相互关系排序；,由计算得到的控制顶点、权因子、节点矢量定义一条三次NURBS曲线。,在与直线段、圆弧段对应的各节点处，取为三重节点；,132,直线,圆弧,自由曲线,组合曲线,133,多边形顶点为NURBS曲线的控制顶点,统一的三次NURBS曲线,134,6.3自由曲面的数学描述一.孔斯曲面与双三次曲面,Coons于1964年提出了由四条边界曲线定义曲面片，用曲面片光滑拼接一张曲面(只要在曲面片间相邻接的边界上，使位置、斜率、曲率、，甚至于所期望的高阶偏导矢相匹配)，就能保证整张曲面具有足够的光滑性。,135,曲面用矢量方程表示：r（u,w）=x（u,w）,y（u,w）,z（u,w）u,w0，1,参数u，w的变化区域是uw平面上的单位正方形域。,一旦参数u与w在uw平面的单位正方形域0,10,1中变化，则对应到空间，即形成一张曲面片。,136,参数域点向曲面片点的映射,137,1.曲面基本参数,1)四条边界线,r（u，0），r（u，1）r（0，w），r（1，w）,r(u,1),r(u,0),r(0,w),r(1,w),u,w,2)四个角点的位置矢量r（0，0），r（0，1），r（1，0），r（1，1）,r(0,0),r(1,0),r(0,1),r(1,1),138,3)四个角点的切矢和扭矢,r(u,1),r(u,0),r(0,w),r(1,w),u,w,r(0,0),r(1,0),r(0,1),r(1,1),对r(u，w)，将w看作常数u变化时，对u求偏导，就是u线上的切矢ru（u，w）,ru(u，w)=,u,r(u,w),同理，w线上的切矢:rw(u，w)=,w,r(u,w),r(u,w),rw(u,w),ru(u,w),139,ru(u，1)、rw(0，w)、rw(1，w)均为边界曲线上的切矢。,rw(u，1)、ru(0，w)、ru(1，w)均为边界曲线的跨界斜率。,140,r(u,1),r(u,0),r(0,w),r(1,w),u,w,r(0,0),r(1,0),r(0,1),r(1,1),r(u,w),rw(u,0),ru(1,w),141,u,r(u,w),u=0w=0,w,r(u,w),u=0w=0,称为角点r(0，0)的u向、w向切矢,ru(0，0)=,rw(0，0)=,u,r(u,w),u=1w=0,w,r(u,w),u=1w=0,称为角点r(1，0)的u向、w向切矢,ru(1，0)=,rw(1，0)=,142,u,r(u,w),u=0w=1,w,r(u,w),u=0w=1,称为角点r(0，1)的u向、w向切矢,ru(0，1)=,rw(0，1)=,u,r(u,w),u=1w=1,w,r(u,w),u=1w=1,称为角点r(1，1)的u向、w向切矢,ru(1，1)=,rw(1，1)=,143,rw(0,0),ru(0,0),r(u,1),r(u,0),r(0,w),r(1,w),u,w,r(0,0),r(1,0),r(0,1),r(1,1),r(u,w),rw(1,1),ru(1,1),144,u,w,145,146,2.具有给定边界的孔斯曲面,1)曲面片,给出两组边界：r(0，w)、r(1，w)和r(u，0)、r(u，1)，(0u，w1)要求构造这四条边界所围的曲面片方程r（u，w）,147,先构造具有边界r(0，w)与r(1，w)的曲面片r1(u，w),r1(u，w)=F0(u)r(0，w)+F1(u)r(1，w)，,当u=0时，r1（u，w）=r（0，w），当u=1时，r1（u，w）=r（1，w），,若令F0(u)=1-u，F1(u)=u，则r1(u，w)为两条边界的线性插值，得直纹曲面，所以，混合函数不唯一。,混合函数为F0（u）、F1（u）,r(0,w),r(1,w),r1(u,w),148,再构造具有边界r(u，0)、r(u，1)的曲面片r2(u，w),r2（u，w）=F0（w）r（u，0）+F1（w）r（u，1）,混合函数为F0（w），F1（w）,构造具有四条边界的曲线片,是否就是（r1+r2）的结果？,当w=0、w=1时，r1+r2对应边界是：,149,w=0：r1(u，0)+r2(u，0)=r(u，0)+F0(u)r(0，0)+F1(u)r(1，0),w=1：r1(u，1)+r2(u，1)=r(u，1)+F0(u)r(0，1)+F1(u)r(1，1),多余项,为了去掉多余项，构造r3曲面片：使之当w=0和w=1时，具有对应的边界：,F0（u）r（0，0）+F1（u）r（1，0）F0（u）r（0，1）+F1（u）r（1，1）,150,r3=F0（w）F0（u）r（0，0）+F1（u）r（1，0）+F1（w）F0（u）r（0，1）+F1（u）r（1，1）,r（u，w）=r1+r2-r3为所求曲面片,(6-18),151,u=0，1；w=0，1验证，将得到正确的边界信息。,由此构造出来的曲面片称为简单曲面片（基本曲面），除了给出的四条边界以外，再没别的限制，所以说，简单曲面片是相当一般、相当灵活的一类曲面。,改造为孔斯曲面表达式,(6-19),边界信息方阵,152,2）曲面片拼接,式(6-18)的两边对w求偏导，令w=0，且有混合函数性质:F0(0)=F0(0)=0，,有:rw（u，0）=F0（u）rw（0，0）+F1（u）rw（1，0）,这是r(u，0)上任一点处的跨界斜率，可见等于这条边界的两个端点上的跨界斜率的线性组合，而与边界曲线r(u，0)本身的形状无关。,153,类似地，其它三条边界的跨界斜率为：rw（u，1）=F0（u）rw（0，1）+F1（u）rw（1，1）ru（0，w）=F0（w）ru（0，0）+F1（w）ru（0，1）ru（1，w）=F0（w）ru（1，0）+F1（w）ru（1，1）,简单曲面片之间的拼接问题：,两曲面片r（1）、r（2）有一公共边，所以，r（1）（u，1）=r（2）（u，0）（0u1）,为了保证两曲面拼接光滑，要求它们的跨界切矢共线（保证跨界斜率相协调）,154,设公共边界的两端点上，两曲面片的两对边界分别相切，即切矢共线：,rw（1）（0，1）=rw（2）（0，0）rw（1）（1，1）=rw（2）（1，0）,于是有：rw（1）(u，1)=F0（u）rw（1）（0，1）+F1（u）rw（1）(1，1)=F0（u）rw（2）（0，0）+F1（u）rw（2）（1，0）=rw（2）（u，0）,即，表明公共边界上各点的跨界切矢共线，故光滑。,155,3、具有给定边界及其跨界斜率的孔斯曲面,四条边界曲线为：r(u，0),r(u，1)，r(0，w)，r(1，w);四条边界上跨界斜率为：rw(u，0)，rw(u，1)，ru(0，w)，ru(1，w),156,构造“以r(0，w)、r(1，w)为边界，以ru(0，w)、ru(1，w)为两边界上的跨界斜率”的曲面片,构造“以r(u，0)、r(u，1)为边界，以rw(u，0)、rw(u，1)为两边界上的跨界斜率”曲面片,157,用角点信息构造r3，把相同的插值方法应用于u向、w向两个方向，,158,r1+r2，减去r3，构造新的曲面片,159,（6-20）,边界信息方阵,160,4、双三次曲面,双三次曲面片的基函数F0(u)=2u3-3u2+1F1(u)=-2u3+3u2G0(u)=u3-2u2+uG1(u)=u3-u2,双三次曲面的形成可看成一条动的三次样条曲线r(u，w)沿w向在整个矩形域上扫描而成。,r(u,w),ru(1,w),ru(0,w),仿照带一阶导数的插值曲线，把它当成曲面的u线：,161,这条u线作为“动母线”，在两条“基线”r(0，w)、r(1，w)上滑动，让w从0变到1，这样就得到了全部u线，也就是扫出了整张曲面片。,两端点矢量,两W线的跨界斜率,(6-21),162,其中,两端点矢量:,163,两W线的跨界斜率:,164,代入式(6-21)得曲面方程：,r(u,w)=F0(u)F1(u)G0(u)G1(u),(6-22),角点信息方阵C,165,令：U=1uu2u3W=1ww2w3,r(u，w)=UMcCMcTWT,分量为Cx，Cy，Cz,(6-22),166,一般所提的“孔斯曲面”，多半指这种双三次曲面。实际上它只是几类孔斯曲面的一种特定情况下的特殊形式。,角点信息方阵C:,由曲面片角点处的ru，rw和ruw确定ru(0，w)和ru(1，w),角点处的rw和ruw确定ru(u，0)和rw(u，1)即跨界斜率有着重大的意义。,167,曲面片合成曲面时，为达到边界跨界斜率连续，只需要相邻曲面片的相应角点处的三个矢量(ru，rw和ruw)匹配就行。,从r(0，w)、r(1，w)、r(u，0)和r(u，1)的矩阵形式看出，扭矢对曲面片的边界并无影响，调整扭矢只会改变曲面片四条边界的跨界斜率，引起曲面内部形状发生变化。,费格森双三次曲面片，将C矩阵的右下四个扭矢取为零，曲面较平坦；孔斯双三次曲面片，允许角点扭矢为非零矢量。,168,二.Bezier曲面1、Bezier曲面片,与构造双三次曲面片思路类似，把三次Bezier曲线拓广成双三次Bezier曲面。,给出16个空间顶点Vij（i，j=0，1，2，3），将这些点沿参数u、w方向连接起来，构