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文档简介

,6.1二元函数的偏导数与全微分,一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分,1,一、偏导数,1、偏导数的定义,2,3,4,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如函数在点处,5,例1求,解法1,解法2,在点(1,2)处的偏导数.,6,偏导数记号是一个,例2已知理想气体的状态方程,求证:,证,说明:,(R为常数),不能看作,分子与分母的商!,此例表明,整体记号,7,2.偏导数的几何意义,如图,8,（1）几何意义:,9,（2）偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在连续.,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,10,则称它们是z=f(x,y),二、高阶偏导数,设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导,数:,11,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为,z=f(x,y)关于x的n1阶偏导数,再关于y的一阶,偏导数为,第二、三个偏导数称为混合偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,12,解,13,例4求函数,解,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,14,问题,例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数,在点(x,y,z)连续时,有,15,证,16,三、全微分,全增量,17,定义2如果函数z=f(x,y)在点(x,y),可表示成,其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，,称为函数,在点(x,y)的全微分,记作,若函数在域D内各点都可微,则称函数,f(x,y)在点(x,y)可微，,的全增量,则称此函数在D内可微.,18,证,“可微”与“连续”的关系？,19,“可微”与“偏导数存在”的关系？,20,反例:函数,易知,但,注:定理3的逆定理不成立.,偏导数存在函数不一定可微!,因此,函数在点不可微.,21,定理4(可微的充分条件),若函数,的偏导数,则函数,在点,连续，,在该点可微.且,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,.,例如,三元函数,的全微分为：,22,例6计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解,例7计算函数,的全微分.,解,23,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限
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