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文档简介
主要内容,典型例题,第四章中值定理与导数的应用,习题课,Rolle定理,Lagrange中值定理,常用的泰勒公式,Cauchy中值定理,Taylor中值定理,一、主要内容,1.罗尔中值定理,2.拉格朗日中值定理,有限增量公式.,3.柯西中值定理,推论,4.洛必达法则,定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.,注意：洛必达法则的使用条件.,5.泰勒中值定理,常用函数的麦克劳林公式,6.导数的应用,定理,(1)函数单调性的判定法,定义,(2)函数的极值及其求法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,步骤:,1).求驻点和不可导点;,2).求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3)最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;,(4)曲线的凹凸与拐点,定义,定理1,方法1:,方法2:,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5)函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,例1,解,二、典型例题,这就验证了命题的正确性.,例2,解,例3,证,由介值定理,注意到,由,有,+,得,例4,证,例5,证,则有,解1,其中,洛必达法则解题时，注意将易求极限的因式分离出来.,解2,求导时保留相同的因子，约分化简，也即相当于变量代换.,解3,其中,注意洛必达法则适用于求某些函数的极限，遇到数列极限的问题，可转为求相应函数的极限.,例7,解,奇
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