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文档简介
一、可对角化的概念,二、可对角化的条件,2矩阵的相似与对角化,三、对角化的一般方法,定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，,如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对,角矩阵，则称线性变换可对角化.,矩阵，则称矩阵A可对角化.,定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果,存在一个上的级可逆矩阵，使为对角,一、可对角化的概念,1.(定理7)设为维线性空间V的一个线性变换，,则可对角化有个线性无关的特征向量.,证：设在基下的矩阵为对角矩阵,则有,二、可对角化的条件,就是的n个线性无关的特征向量.,三、对角化的一般方法,1求出矩阵A的全部特征值,2对每一个特征值，求出齐次线性方程组,设为维线性空间V的一个线性变换，,为V的一组基，在这组基下的矩阵为A.,步骤:,的一个基础解系（此即的属于的全部线性无关,的特征向量在基下的坐标）.,3若全部基础解系所合向量个数之和等于n，则,（或矩阵A）可对角化.以这些解向量为列，作一个,n阶方阵T，则T可逆，是对角矩阵.而且,有n个线性无关的特征向量从而,T就是基到基的过渡矩阵.,下的矩阵为,基变换的过渡矩阵.,问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出,例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基,解：A的特征多项式为,得A的特征值是1、1、1.,解齐次线性方程组得,故其基础解系为：,所以，,是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.,再解齐次线性方程组得,故其基础解系为：,所以，,是的属于特征值1的线性无关的特征向量.,线性无关，故可对角化，且,在基下的矩阵为对角矩阵,即基到的过渡矩阵为,例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使,为以角矩阵.这里,得A的特征值是2、2、-4.,解:A的特征多项式为,对于特征值2，求出齐次线性方程组,对于特征值4，求出齐次方程组,的一个基础解系:（2、1、0），（1、0、1）,的一个基础解系:,令,则,所以A可对角化.,是对角矩阵（即D不可对角化）.,项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能,练习：在中,求微分变换D的特征多,解：在中取一组基：,则D在这组基下的矩阵为,于是,D的特征值为0（n重）.,的系数矩阵的秩为n1，从而方程组的基础解系
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