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系统辨识习题解答1-14、若一个过程的输入、输出关系可以用MA模型描述，请将该过程的输入输出模型写成最小二乘格式。 提示： MA模型 定义解：因为MA模型，其中，从而所以当定义，则有最小二乘格式： ，其中e(k)是误差项。2-3、设是一个平稳的有色噪声序列，为了考虑这种噪声对辨识的影响，需要用一种模型来描述它。请解释如何用白噪声和表示定理把表示成AR模型、MA模型和ARMA模型。解：根据表示定理，在一定条件下，有色噪声e(k)可以看成是由白噪声v(k)驱动的线性环节的输出，该线性环节称为成形滤波器，其脉冲传递函数可写成 即 其中 根据其结构，噪声模型可区分为以下三类：自回归模型（AR模型）： 平均滑动模型（MA模型）： 自回归平均滑去模型（ARMA模型）： 34、根据离散Wiener-Hopf方程，证明解：由于M序列是循环周期为，为序列移位脉冲周期，自相关函数近似于函数，为序列的幅度。设数据的采样时间等于，则离散Wiener-Hopf方程为： 当序列的循环周期大于过程的过渡过程时间时，即充分大时，离散Wiener-Hopf方程可写成： 由于M序列的自相关函数为，代入上式得 4 证明： （1） (2) ， (3) , (4) ,解： (1) 由于，所以 （2）由于，及 （3）由于，所以 （4）由于，所以418、考虑如下模型其中，u(k)和z(k)是模型的输入输出变量，v(k)是零均值白噪声。定义参数向量请利用增广最小二乘思想，写出模型参数的递推辨识算法。解：令及 则模型化成最小二乘格式： 令，及 则噪声模型也化成最小二乘格式：数据向量he(k)包含着不可测的噪声量，这可用相应的估计值代替：其中， 则可写出利用增广最小二乘法得到的递推算法：可表示成：419、考虑如下模型其中，u(k)和z(k)分别为模型的输入和输出变量，它们是可测的；v(k)是零均值白噪声，它是不可测的。试从Markov估计概念出发，证明该模型的参数向量的估计值可以写成如下加权最小二乘算法的形式，式中，为数据矩阵，为输出向量，加权矩阵取，其中矩阵C为解：令及 则模型化成最小二乘格式：准则函数取，其中为加权因子，对所有的k，都必须大于零。对于 (L为数据长度)，可以构成线性方程组式中 则，式中为加权矩阵，它是正定的对角阵，由加权因子构成， 设使得J（）最小，则有：从而：，当是正则矩阵时，模型的加权最小二乘解为。由于，所以 由Markov估计，,其中矩阵C为，取加权阵。P532/4：解：（1）由参数估计值偏差的估计式：我们有： （A）由于为独立同分布，均值为零的不相关随机变量，因此有：对（A）式两
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