级数求和的方法及应用

内蒙古财经学院本科毕业论文级数求和的方法及应用作 者：张男系 别：统计与数学学院专 业：数学与应用数学年 级：2010级学 号：指导教师：陈济和内 容 提 要级数,重要的数学工具。级数不但对数学本身意义非凡，还在其他学科和其他技术的研究方面起着相当重要的作用。它与我们的生活息息相关，需要我们去将其掌握并利用，我们也应该去挖掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究和学习奠定良好基础。级数的理论和应用中很重要的一部分内容就是级数求和，它不但方法极为繁多，而且技巧性特别强，并且它在我国国内大多数数学教材或者其他相关此类书籍中并没有专门的板块，如果想要更为深入的去理解级数求和的方法和掌握级数求和的技巧，我们就需要去寻找国内外有关的书籍来进行内容的提炼和总结.此文章把常用的数项级数和函数项级数放在典型的例题中进行了分析，通过对这些问题的讨论和解决，向读者展示了级数求和的常用方法并传达了其基本思想，逐步找出级数求和的规律.首先，我运用常用都是收敛论融汇在们要考例题和虑它的收面对级数的将方法敛性，然后方更求此文中的级数的，把理一起能级数的和.展示出来，让学习者轻选题中松为明确法刻现其并深中的掌巧，发的握解题技规律，从而达到对级数理论的理解与合理应用.关键词：级数求和 数项级数求和 函数项级数求和 方法及应用 summarySeries is a very important tool for the mathematical . 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Firstly, the of the series , we have to consider its convergence, then be understanding methods method the use of common and requirements for this series . convenience talk , text topics in the clearly series are convergence of the examples and theories to displayed, draw achieve a together the can more and allow learners to easily grasp discover the profound problem-solving skills, the law so as to theoretical reasonable progression and application .目 录一、级数的分类及定义1（一）数项级数11.数项级数的概念12.数项级数的收敛性1（二）函数项级数11.函数项级数的概念12.函数项级数的收敛性2 （三）三个重要级数2二、数项级数求和的方法3（一）据定义用极限法求和3（二）数学运算巧求和31.等差数列求和（首尾相加法）32.等比数列求和（错位相减法）4 3.方程式法54. 裂项相消法5 5.蕴含型展项消去法 7（三）根据幂级数理论求和（亚伯尔方法）71.逐项微分求和72.逐项积分求和8（四）三角级数求和（欧拉.棣莫弗）9（五）原级数转化为子序列求和11（六）原级数分解为子序列求和11（七）两端逼近法12三、函数项级数求和13（一）利用傅里叶级数理论求和13（二）逐项微分求和15（三）逐项积分求和16（四）将原级数分解转化为已知级数再求和16（五）微分方程式法（并加以证明）16四、级数的应用18（一）幂级数的应用18 1函数值的近似计算19 2. 定积分的近似计算19（二）泰勒级数的应用20 1.函数展开成幂级数202.近似计算213.极限计算214.级数与广义积分的敛散性22（三）傅里叶级数的应用22 1.数字信号处理22 2.声音信号处理22 3.交流电中显示波形225、 参考文献246、 致谢25 级数求和的方法及应用一、级数的分类及定义（一）数项级数1.数项级数及其部分和的概念定义 1 设一数列个每一项数列，把的依达式次这个用“+”号连来，则接起表 （1）叫做项无常数简级数，穷级者数项数或级数，其中叫做称其为级数（1）的通项.数项级数（1）一般可以写作或.数项级数（1）的前n项和可以记做=， （2）它是数项级数（1）的第n个部分和，或者简称其为部分和，此部分和数列记做.2.数项级数的收敛性定义 2 如果和数级数（1）列在（即 ）处收的部分敛，说级就可以数（1）收则级数敛，（1）的和为，记作或数）发散项（1的前级数提散数是是发列.（二）函数项级数1.函数项级数及其部分和函数列的概念定义 3 设是定义在数集上的一个函数列，表达式 （3）叫做定义在上的函数项级数，可以记做、.称=， （4） 为函数项级数（3）的部分和函数列. 2.函数项级数的收敛性定义 4 若，数项级数 （5）发敛，则可散或者收以说（3）在级数点处收敛，如发散或果（3）在E级数的某个子集D都可敛，则每上收点以数（3）在D上说级收敛.（3） 三个重要级数1.几何级数 几何级数也可以叫做等比级数，它的格式为： 公比是，。2.调和级数 3.p-级数 二、数项级数求和的方法（一）据定义用极限法求和由无穷级数的定义可以看出，无穷级数的部分和就是收敛无穷级数的和，就是.由于则有无限多个项数，所以想要求出级数的和则需要求其极限，就是数项级数的和.例 1设，求级数的和.分析 要示出想要将它求出的和，只已部需的用分和知数和列已数部分知级和表来.解 因，则，于是.故原级数的和 （二）数学运算法巧求和我四则数列运们可程中以、在解题利数的和的用等差比数这些和列的常数求见的公式，同时算结合以达到列等求过出级等目的.1.等差数列求和（首尾相加法）等差比较级数的级数是简单类型，比各项来较其得到差，然它的公后求出级运用公式数和.，其中为首项，为公差 证明：，+得：因为等差级数所以可得出“首尾相加法”这一方法，这种首尾数一项都是把的每逆次序放由各置后与项四级数则的的原运算得出级数相类型的的结果是级同，于是的可以作易级数为一项简求和.例 2 求.解：，两式相加得：，即：.故原级数的和 2.等比数列求和（错位相减法）等比级数用公式便这种简数类型是单的级找到然后利可其公比以求和.当=1，；当1，其中为首项，为公比.证明：当=1，易得，当1， ， ，-得.便是“错位相减”的方法，这种方法在等差和等比的混合型级数中经常用到，先乘以公比然后与四则运算后称为等差或等比级数的原基数求和.例3 计算.解： ， ，-得： ，=3.故原级数的和 3.方程式法经过各种运算能得到可以求出级数和的方程式，然后解方程便可求得级数的和.最主要的问题是需要准确的建立方程，根据具体情况建立类型不同的方程，并准确的解出方程，然后求出准确的级数和.例4 计算，其中.解：记= 两边同时乘以得即：解此方程得：.(当时).故原级数的和 4. 裂项相消法对分数形式的级数求和，有一种好用的方法，就是先把各项拆分然后再把各项连锁消去，这样也满足多项乘积分母的形式.裂项一般形式：，此处.例 5 计算.解 由于而所以 故原级数的和 .说明 （1）先拆再组合，求如此类的级数之和. = （2）.又如求的和.需要先利用有关公式将其转化然后求和.此题公式： 5蕴含型展项消去法这种级数的每一项是有蕴含关系的，分解级数的一般项，或者把它变为部分分式，然后后把多项展开会发现其中可以相互消除的部分项，达到化简级数求和的目的.例 6 计算.解：将各项展开可得： ，所以.故原级数的和 说明 ：有一些级数的通项里面可以发现分式根式，将它“有理化”.如计算.此级数含根式较多，将其分母有理化，我们便用此法求出这个级数的和的极限是1. （三）根据幂级数理论求和如果收，可敛得以出=，把化为，有常用方两种法求：一是分积分求求和，一是逐逐项微项和.1.逐项微分求和，如果求和比较容易，简化为，用逐项微分法较好，如果，是n的多项式而且有n可以容易求得结果.例 7 求数项级数的和.解 构造幂级数，求得收敛半径.收敛区间是.设它的和函数是，即.由幂级数可逐项可导，有.，有.因为，所以.即.令，有 2.逐项积分求和，是多项式则要分解为等式子.由Abel第二是幂意定理：若级数的收致收敛，则敛半径在任间上的闭区都一幂级数.计算的和，便求在内的和函数，令然后求得极限，.例 8 计算解 因为而的收敛半径是1，并在收敛，让，取极限于式子左右两边， 则.（四）三角级数求和对于此类问题，从数把三求复数由于复系角型数复数的级域上项级数为转化数，又数应于此数项的实部化为级数我们想而式三将用公角级对级数，转求原进办法而数和级和.欧拉公式 ： ，.棣莫弗公式：.设为复数，令，是实数有 例 9 计算解 因为复述级数，令，有 而 于是例 10 设，求.解：由于，令为复数，其中，其中，得：而另一方面=+取实部对应原级数和即得：即：当，且时.故原级数的和 （五）原级数转化为子序列求和若的通项(当时)，的子序列 （是某个正整数），则. :当通项没打乱级数各项额次序得到了新的序列收敛，便用此法.例 11 计算.解：通项曲进与零，便球的及先，用偶啦供式，其中为欧拉常数，因此，对原级数， ，.故原级数的和 .（六）原级数分解为子序列求和若及书与二这都收联，=；便看关于角的问题.例 12 计算：.解：据敛散性得出原来的级数是绝对收敛的，和为.将分三类，按角的幅度：，.则： ，所以：.故原级数的和 （七）两端逼近法在此，在求极个级数类例题中限和数学时借用分析来求解极逼近限，此是运用方法就两个级数原级来逼近数，原便可中的方法级数和等于两的和.例13 设为一给定的正整数，求.解：且时，且，所以，即故原级数的和 三、函数项级数求和（一）利用傅里叶级数理论求和通过构，并通函数值就造函数过延求此函拓的方式数的展式，再由理求解能得到傅原级定立数和，要立叶找到傅收敛叶函数.傅里叶展开的基本方法：1.按系数公式计算系数其中.2.将算出的系数代入级数.3.据收敛定理，判断出可改=的范围.如果上分段光滑，和函数例 14 设函数，.试求的值.解 将函展开成数在级上Fourier数，于是，因为在内连续，所以由Parseval等式有 所以说明 求此，类的和，我们可级数以在一定，把一些区的项域内特殊变成的函数Fourier，进级数而取或者来逐恰当积分.例 15 计算，其中满足.解：任意（0，1），记=，由韦尔思特拉思定理，由于级数收敛，所以原来级数在（ 0 ， 1 ）上一致收敛.，因为，所以带入上面式子可得级数和为.（二）逐项微分求和根据幂级数，对原级数导收理级数逐项，求逐项求导后敛半径化不变原为一的幂些易求和级往回求原数，再积分而从和.先求的紧缩式，然后再利用积分公式：例 16 计算解 收它的敛半径1，我们设出和函数为，也就是，有逐项微分有，对上式从到积分，得 （三）逐项积分求和通出原级过级可求分收敛数逐径不项积半变，对原理原逐项级数积为一分后化些求易的幂往回求级再导数和.例 17 计算.解：记，对其逐项积分得：=，其中， 所以=.（四）将原级数分解转化为已知级数再求和把一些复杂的问题通过一系列分解化成我们知道的知识，便于求解。例 18 计算.解：记，利用的麦克劳林展式得：=.（五）微分方程式法类似于数想是为数思求方函数项求出项了幂或函级数和函数级数项的数，主建立级要起是数级基的式数，通某个本的程和方过求解程级和.例19 计算.提示 收敛半径，逐项微分得到 .解 设逐项微分所以，并且有.解此微分方程的初值问题得 .例20（证明）：若函数在上连续，令，则在上一致收敛于.证 1.（先证明该级数一致收敛）因在上连续，所以有界.即，使于上，由此知，由数学归纳法易证 .但在全数轴上成立，上一致收敛.所以在上绝对一致收敛.2.（证明和满足微分方程）记原级数之和为. (1)次式两端同时加以，再同时在上取积分得 . (2)由此求得 . (3)从(2)式可以看出 （4） 在条件（4）下求解微分方程（3）可得 .未学过微分方程的读者可以这样来求解;设，则代入（3）式得，所以 . （5）根据（4）式应有故知代入（5）从而 .因此 .四、级数的应用（一）幂级数的应用由于前此幂幂展开着级数的项是的部分，实个函和多式多是项式最的函数简单之一，用因逼近替级应泛数代某数，而项际数上件由为项式创造.正是了条于原因这个，函数的函的多幂级数式有的用.1.函数值的近似计算利的函可幂级用函要求计数数可以近利个精确展开式似数值计算函，即式的在展开收上敛，以数值近用这似地级数按度算出来例 21计算常数，精确到小数第四位解利用，令，有为达到这个精确度，可观察余项若取，则，故计算出2.定积分的近似计算利后的幂级可计这个幂级算级数就出定能展开函值，而且还些定成幂级数积分的，具积函数体地说近不仅积分似值，如果被在积分数的近似区间可以计算一上，那么把数逐算一些项积分，用积分用可以计数的近似值例 22 计算，精确到小数第四位解由于，因此用积分分，如果定义在处的积等函数值它在1，那初所数不能给间上连么分区续由于的原函不是积为广义表示，因此过展来计需要通开式幂级数算利用正弦函数的展开式，两边同除以，得到再逐项积分这是收敛的交错级数，其误差，取，有，故幂学研法也可以被究的看做幂之一，被作为应用到了实占有一变函数、数等众多领域当中.然而幂是分析合数学多组合恒等式基工程学础内之地，作为容中也席母复变函函数，由幂级数概念来的级数重的小级数在是许的来源.在电力中，幂级数则被称为发展出变换.实点形式幂级数数组数计数级数的一种.（二）泰勒级数的应用 泰勒以下三面：首先求个方导和的函分可行，因此求分数积析这种相对和函数性体现泰阶级似比较数在近容第二，一个解析延易.伸为一个定面上的一个开区域义在复平上的泰的重要勒级即利用，数通过解析数可被得，幂级延拓函数的到，并使求解得以进复手法可行.第三勒逐项展开式一级数可以解决解来近似计用前算函值. 目决非数的线将非线化的一种有，泰勒性问题效工性问题线数，达到泰级近勒性具是似目的。1. 函数展开成幂级数例 23 将展开成的幂级数解 , ， , ； , 而；,(). 所以 , .2.近似计算目前解决题线性问题的一种有工用泰具是，即利勒展泰勒级阶数开式一近似，将效非线性问化，达求解的到近似非线目的.例 24 求的近似值解 由，可以得到，此时误差.例 25 计算定积分的近似值，求解 ,. 因此得到 ，由此得到 此时误差3.极限计算例 26 计算 解 ，分部分可，写出母小阶是3阶较高无数的穷分子开式，关于各泰上展勒级以略去：，4.级数与广义积分的敛散性例 27 讨论广义积分的敛散性解 ，是暇点，由比较判别法可知：若，其中，则时，收敛；时，发散，.因为，所以广义积分发散（3） 傅里叶级数的应用傅里我们把抽时候，提供学变了一种新的象事物析事物的且在换显很多一角度比更接近事物为的本察、分里叶级到其对数不但会这上解决象数换前中生活中很多原叶变换空间中难质.傅观以解决的问题就角度，而偶空间，还会把的抽进行转形.1.数字信号处理傅里变换,拉普拉等都是数字理需要的核,常见的数数和产品中换核心器件斯变换等DSP傅里叶就是信号处用这些速算函数一般都是心技术编写的程码叶级序.举子的,z变个例就是你发方DSP就是用的程彩给对序,不对方接后写过快法必收到以须经傅里叶变些数换过这码产的核心品中器件信这数编,比如.些函常见的快速.2.声音信号处理可空间信号里叶穷的级变换续的信号，写成后通过滤傅里叶舍高频的