电磁场与电池波第一章 习题解答-2015-2016(1)

第一章第一章 习题解答习题解答 1.1 已知 A、B 和 C 为任意矢量， （1） 若 AB=AC， 则是否意味着 B 总等于 C 呢？ 试讨论之； （2）试证明： A(BC)=B(CA)=C(AB)。 解： （1）A ? ? B ? ? =AB cos1 A ? ? C= AC cos ? 2 若AB=AC， 则AB cos1= AC cos2 则B cos1=C cos2，但是并不意味着B总等于C 若若 AB=AC， 而且有 AB=AC，则有则有： B cos1=C cos2 ，Bsin1=C sin2故tan1=tan2得1=2，B总等于C （2） zyx zyx zyx CCC BBBB aaa C =ax(ByCz-BzCy)+ay(BzCx-BxCz)+az(BxCy-ByCx) A(BC)= Ax (ByCz-BzCy)+ Ay (BzCx-BxCz)+ Az (BxCy-ByCx) zyx zyx zyx AAA CCCC aaa A =ax(CyAz-CzAy)+ay(CzAx-CxAz)+az(CxAy-CyAx) B(CA)= B B x(CyAz-CzAy)+ By (CzAx-CxAz)+ Bz(CxAy-CyAx) = Ax (ByCz-BzCy)+ Ay (BzCx-BxCz)+ Az (BxCy-ByCx) zyx zyx zyx BBB AAA aaa BA=ax(AyBz-AzBy)+ay(AzBx-AxBz)+az(AxBy-AyBx) C(AB)= Cx (AyBz-AzBy)+ Cy (AzBx-AxBz)+ Cz (AxBy-AyBx)= Ax (ByCz-BzCy)+ Ay (BzCx-BxCz)+ Az (BxCy-ByCx) 1.2 给定三个矢量A ? ? ，B ? ? ，： C ? A ? ? = x a ? ? +2 y a ? ? -3 z a ? ? B ? ? = -4+ y a ? ? z a ? ? =5C ? x a ? ? -2 z a ? ? 求：矢量A ? ? 的单位矢量 A a ? ? ； 矢量A ? ? 和B ? ? 的夹角 AB ； A ? ? B ? ? 和A ? ? B ? ? A ? ? （B ? ? C ? ）和（A ? ? B ? ? ） C ? ； A ? ? （B ? ? C ? ）和（A ? ? B ? ? ）C ? 解： A a ? ? = A A ? ? ? ?= 149 A + ? ? =（ x a ? ? +2 y a ? ? -3 z a ? ? ）/14 cos AB ? ? ?=A ? ? B ? ? /A ? ? B ? ? AB =135.5 o A ? ? B ? ? =11, A ? ? B ? ? =10 x a ? ? y a ? ? 4 z a ? ? A ? ? （B ? ? C ? ）=42 （A ? ? B ? ? ） C=42 ? A ? ? （B ? ? C ? ）=55 x a ? ? 44 y a ? ? 11 z a ? ? （A ? ? B ? ? ）=2C ? x a ? ? 40 y a ? ? +5 z a ? ? 1.4 已知直角坐标系中的点 P1(-3,1,4)和 P2(2,-2,3): （1） 在直角坐标系中写出点 P1、P2 的位置矢量 r1 和 r2； （2） 求点 P1 到 P2 的距离矢量的大小和方向; （3） 求矢量 r1 在 r2 的投影。 解： （1）= -31r ? x a ? ? + +4; y a ? ? z a ? ? 2r ? = 2 x a ? ? 2 +3; y a ? ? z a ? ? （2）R ? ? =52r ? 1r ? x a ? ? 3 y a ? ? z a ? ? 222 (5)( 3)( 1)R =+ + =35 （3）矢量 r1 在 r2 的投影： 12 2 4 17 rr r = ? 1.7 用球坐标表示的场 2 25 Ear r =， 求: （1） 在直角坐标系中的点(-3,4,-5)处的|E|和Ez； （2） E与矢量B=2ax-2ay+az之间的夹角。 解： （1）|E|= 2 25 r =0.5 由 aaa rxy x az yz rrr =+得 2 25 Eaaa xyz xyz rrrr =+ () 3 25 aaa xyz xyz r =+= 22 rxyz=+ 2 故() 1 345 10 2 Eaaa xyz =+ 得Ez 1 2 2 = （2）E 与矢量 B 之间的夹角 cos E B EB = 19 2 30 = = 0.896 153.64= 1.10 在圆柱体 2 x+ 2 y=9 和平面 x=0，y=0,z=0 及 z=2 所包围的区域，设此区域的表面为 S: 求矢量场A ? ? 沿闭合曲面 S 的通量，其中矢量场的表达式为 A ? ? = x a ? ? 3 2 x+（3y+z）+ y a ? ? z a ? ? (3zx) 验证散度定理。 解： sdA ? ? =A dS ? ? ? 曲 +A dS ? ? ? xoz +A dS ? ? ? yoz +A dS ? ? ? 上 +A dS ? ? ? 下 由a =cossinaa xy ? + ， cosx=，siny= 得 A dS ? ? ? 曲 =.(A a)d dz ? ? 曲 232 3 (3cos3 sinsin )zdzd = + 曲 =156.4 A dS ? ? ? xoz =()ayAdxdz ? ? xoz = 0 (3) y yz dxdz = + xoz =6 =A dS ? ? ? yoz ()axAdydz ? ? = xoz 2 0 3 x x dydz = yoz =0 +=A dS ? ? ? 上 A dS ? ? ? 下 2 ()az z Ad d ? ? ? = 上 + 0 ()-az z Ad d ? ? ? = 下 =(6cos ) d d 上 + 2 cos d d 下 = 27 2 故 sdA ? ? =193 由 =dVA V ? (66 ) V x dV+ =6(cos1) V d d dz + =193 即： s sdA ? ? = dVA V ? (cos1) V d d dz + 1.11 从 P(0, 0, 0)到 Q(1, 1, 0)计算 , 其中矢量场 A 的表达式为 lA d C A=ax4x-ay14y2 曲线 C 沿下列路径： （1） x=t, y=t2; （2） 从(0, 0, 0)沿 x 轴到(1, 0, 0)， 再沿 x=1 到(1, 1, 0)； （3） 此矢量场为保守场吗？ 解： （1）沿y=x2路径， lA d C Aaa() xy C dxdy=+=+ = 5 428- c xdxx dx 1 26 0 4 26 = -28 xx 8 3 -= （2）=lA d C 12 A aA a xy CC dxdy=+=+ 1 0 4xdx + 1 2 0 14-y dy 8 3 -= （3） 此矢量场为保守场。 （跟起始点有关，跟路径没关系） 1.15 求下列标量场的梯度： u=xyz+ 2 x =u x a ? ? u x + y a ? ? u y + z a ? ? u z = x a ? ? (yz+2x)+ y a ? ? xz+ z a ? ? xy u=4 2 xy+ 2 yz4xz u= x a ? ? u x + y a ? ? u y + z a ? ? u z = x a ? ? (8xy4z)+ y a ? ? (4 2 x+2yz)+ z a ? ? ( 2 y4x) =u x a ? ? u x + y a ? ? u y + z a ? ? u z = x a ? ? 3x2+ y a ? ? 5z+ z a ? ? 5y 1.16 求下列矢量场在给定点的散度 A ? = x A x + y A y + z A z =3 2 x+3 2 y+3 (1,0, 1) | =6 A ? =2xy+z+6z=2 (1,1,0) | 1.17 求下列矢量场的旋度： （1） A=axx2+ayy2+az3z2 （2） A=axyz+ayxz+azxy 解： A ? ? = 0 ? A ? ? = x a ? ? （xx）+（yy）+ y a ? ? z a ? ? （zz）=0 ? 1.18 现有三个矢量场 A、 B 和 C， 已知: sincoscoscossin r Aaaa =+ 22 sincos2sinBaaazzzz =+ z z 22 (32 )32Caaa xy yxx=+ （1） 试问: 哪些矢量场为无旋场?哪些矢量场为无散场？ （2） 试问： 哪些矢量场可以用一个标量函数的梯度来表示？哪些矢量场可 以用一个矢量函数的旋度来表示？ （3） 求出它们的源分布。 解：在球坐标系中 ()(sin) sinsin 2 2 111 r A Ar AA rrrr ? =+ (sincos )(sincoscos )( sin ) sinsin 2 2 111 r rrrr =+ cossincoscos sincos sinsin 22 0 rrrr =+= a aa 2 sinsin sin r r rrr A r ArArA = ? = ? sinsin sincoscoscossinsin a aa 2 r rrr r rr = =0 在圆柱坐标系中 z BB BB z () 11 =+ =+ (sin )(cos )(sin ) 22 11 2zzrz z =+ sinsin sin 22 2 zz =+sin2= z z aa a z B z BBB = = sincossin a a a 22 2 z z z zzz = =0 故矢量 B 是无旋场，可以由一个标量函数的梯度表示 在直角坐标系中 y xz C CC C xyz =+ =+ yxxz xyz 0 22 (32 )(3)(2 ) =+ =+ = = xyz zxy aaa C xyz CCC = = aaa xyz xyz yxx 22 3232 = = z azxy(66 )= = 故矢量 C 是无散场，可以由一个矢量函数的旋度表示 这些矢量的源分布为： A 无源 B 为标量源 2sin C 为矢量源 66a (- z )xy 1.25 在直角坐标中， 证明： （1） 一个矢量场的旋度的散度恒等于零， 即(A)0； （2） 一个标量场的梯度的旋度恒等于零， 即 () 0 。 证明: （1） aaaxyz xyz rotAA xyz AAA ? ? ? = = ()()(aaa zyxzyx xyz AAAAAA ) yzz